Векторная диаграмма и сложение колебаний. Гармонические колебания

Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм

Гармоническое колебание x = a Cos (wt + a) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x вектора , вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w. Длина этого вектора равна амплитуде колебания, а его первоначальное направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания — a. Используя это геометрическое толкование, решим задачу о сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и направления.

Построим вектор (под углом a₁ к оси x), изображающий первое колебание. Прибавим к нему векторно вектор , образующий угол a₂ с осью x (рис. 12.8). Сумма проекций этих векторов на ось x равна проекции на эту ось вектора , равного сумме и .

= +

Приведем эту векторную диаграмму во вращение с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через начало координат — точку О. При этом равенство x = x₁ + x₂ сохранится неизменным во времени, хотя сами проекции x, x₁ и x₂ будут теперь пульсировать по гармоническому закону с одинаковой частотой w и с начальными фазами a, a₁ и a₂ — соответственно. В результате сложения двух колебаний:

= a Cos (wt + a), частота которого — w – совпадает с частотой складываемых колебаний. Его амплитуда равна модулю вектора , а начальная фаза a, как следует из рис. 12.8, равна:

Для подсчета амплитуды «а» суммарного колебания, воспользуемся теоремой косинусов:

Величина амплитуды результирующего колебания зависит не только от амплитуд складываемых колебаний а₁ и а₂, но и от разности их начальных фаз. Колебание с максимальной амплитудой, а = a_max = a₁ + a₂ возникает при сложении синфазных колебаний, то есть когда их начальные фазы совпадают: a₁ = a₂.

Если разность фаз (a₂ – a₁) = p, то амплитуда суммарного колебания будет минимальной a = a_min = |a₁ – a₂|. Если амплитуды таких колебаний, происходящих в противофазе, равны (a₁ = a₂), то амплитуда суммарного колебания окажется равной нулю.

Этим методом векторных диаграмм нам предстоит в будущем часто пользоваться при сложении не только колебаний, но и волн.

Лекция 13 «Механические колебания»

1. Энергия гармонического осциллятора.

2. Собственные затухающие колебания.

Читать еще: Каким человеком был Иисус Христос? Иисус христос биография.

3. Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Векторная диаграмма и сложение колебаний. Гармонические колебания

Решение ряда вопросов, в частности сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций), значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, которую обозначим буквой х (рис. 55.1). Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длины а, образующий с осью угол а.

Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от —а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания с помощью векторов (рис. 55.2). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а.

Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью как и векторы так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой амплитудой а и начальной фазой а. Из построения видно, что

Читать еще: Какой язык сирии является государственным. Государственные языки сирии

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот прием бывает особенно полезен, например, в оптике, где световые колебания в некоторой точке определяются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.

Формулы (55.2) и (55.3) можно, конечно, получить, сложив выражения (55.1) и произведя соответствующие тригонометрические преобразования. Но примененный нами способ получения этих формул отличается большей простотой и наглядностью.

Проанализируем выражение (55.2) для амплитуда. Если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме а и . Если разность фаз равна или , т. е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна

Если частоты колебаний неодинаковы, векторы а и будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор а пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.

Сложение колебаний. Векторные диаграммы

Пусть некоторая физическая величина изменяется со временем так, что это изменение описывается суммой функций

В таком случае величина (9.42) называется суммой однонаправленных гармонических колебаний одинаковой частоты. Покажем, что эта сумма также является гармоническим колебанием той же частоты.

Для этого, применяя тригонометрическое тождество

преобразуем выражение (9.42) следующим образом:

Возведем каждое из уравнений (9.46) в квадрат и сложим полученные равенства. В результате придем к соотношению

Так как выражение в круглых скобках есть cos (ai —

чениями а*, а все векторы Л, будут вращаться с одной скоростью и. Поэтому суммарный вектор Л также будет вращаться с той же скоростью,

т.е. суммарное колебание будет иметь ту же частоту ш. В таком случае остается только найти амплитуду А и начальную фазу а суммарного колебания. Для этого достаточно изобразить векторы Л,- только для момента времени t = 0, сложить их, найти модуль А вектора суммы и угол о, который он образует с осью х. Затем остается записать суммарное колебание в виде (9.75).

Читать еще: Как находить массу в физике. Как найти массу в физике

Пример. Для того чтобы сложить три гармонических колебания

построим векторы Ль Лг и Лз, представляющие эти колебания при t = О и найдем их сумму Л = А + Лг + Лз (рис. 9.10). Как видно, модуль вектора Л равен а, а начальная фаза – 7г/2. Таким образом, суммарное колебание будет иметь вид

Рис. 9.10. Векторная диаграмма

которые имеют одинаковые амплитуды, но различные частоты. Применим тригонометрическое тождество

Так как функция cos ( y(u>i —u>2)t ) изменяется медленнее, чем функция cos ( +u>2) t ), зависимость (9.50) можно рассматривать как * гармо

ническое” колебание частоты и = y(u>i +^2) с переменной амплитудой

График зависимости (9.50) представлен на рис. 9.11. Такие колебания называют биениями.

Движение точки на плоскости описывается двумя функциями: х = x(t) и у = y(t). Когда эти функции представляют собой гармонические колебания

говорят о сложении взаимно перпендикулярных колебаний.

Соотношения (9.51) есть записанные в параметрической форме уравнения кривой на плоскости. Когда отношение частот и а>2 есть рациональное число, т.е. может быть представлено в виде дроби

где ni и П2 ” целые числа, такие кривые называются фигурами Лиссажу. Эти фигуры заключены в прямоугольнике, определяемом неравенствами

Рассмотрим простейшие из фигур Лиссажу.

1. Положим в формулах (9.51)

Нетрудно видеть, что при этом

Таким образом, функции (9.52) описывают колебательное движение точки на плоскости ху, траекторией которого является отрезок прямой, проходящей через начало координат (рис. 9.12).

Рис. 9.12. Фигура Лиссажу

В этом случае функции (9.51) принимают вид

Используя основное тригонометрическое тождество

Рис. 9.13. Фигура Лиссажу 3. Наконец, рассмотрим случай, когда

При этом функции (9.51) превращаются в

Применяя тригонометрическое тождество

придем к уравнению траектории

В этом случае точка совершает колебательное движение, перемещаясь в плоскости ху по параболе (рис. 9.14) из точки А в точку В и обратно.

Источники:

http://studopedia.ru/3_50177_slozhenie-garmonicheskih-kolebaniy-metod-vektornih-diagramm.html

http://scask.ru/c_book_s_phis1.php?id=58

http://m.studme.org/285538/matematika_himiya_fizik/slozhenie_kolebaniy_vektornye_diagrammy