Примеры решения бином ньютона. Полное число подмножеств

Бином Ньютона

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n – целое число.

Каждое выражение – это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до “половины пути”, а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a 6 + c₁a 5 b + c₂a 4 b 2 + c₃a 3 b 3 + c₄a 2 b 4 + c₅ab 5 + b 6 .
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c_i? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно
(a + b) 6 = 1a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + 1b 6 .

Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b) n = ca n b 0 + c₁a n-1 b 1 + c₂a n-2 b 2 + . + c_n-1a 1 b n-1 + c_na 0 b n ,
где числа c, c₁, c₂. c_n-1, c_n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u – v) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u – v) 5 = [u + (-v)] 5 = 1(u) 5 + 5(u) 4 (-v) 1 + 10(u) 3 (-v) 2 + 10(u) 2 (-v) 3 + 5(u)(-v) 4 + 1(-v) 5 = u 5 – 5u 4 v + 10u 3 v 2 – 10u 2 v 3 + 5uv 4 – v 5 .
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку – скажем, 8-ю строку – без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x 2 – 2y) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x 2 – 2y) 5 = x 10 – 10x 8 y + 40x 6 y 2 – 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 – 35y 5 .

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√ x ) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√ x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√ x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x – 5y) 6 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x – 2) 10 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n :
.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество ?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
<кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр>.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Бином Ньютона

Бином Ньютона – формула

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n – 1 · b + C n 2 + a n – 2 · b 2 + . . . + C n n – 1 + a · b n – 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n – k ) ! = n ( n – 1 ) · ( n – 2 ) · . . . · ( n – ( k – 1 ) ) ( k ) ! – биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а ” ! ” является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n – k · b k – ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

• коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле C n p = C n n – p , где р = 0 , 1 , 2 , … , n ;
• C n p = C n p + 1 = C n + 1 p + 1 ;
• биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n ;
• при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n – 1 · b + C n 2 + a n – 2 · b 2 + . . . + C n n – 1 + a · b n – 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

1. Проверка справедливости разложения при n = 3 . Имеем, что
   a + b 3 = a + b a + b a + b = a 2 + a b + b a + b 2 a + b = = a 2 + 2 a b + b 2 a + b = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b + b 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3
2. Если неравенство верно при n – 1 , тогда выражение вида a + b n – 1 = C n – 1 0 · a n – 1 · C n – 1 1 · a n – 2 · b · C n – 1 2 · a n – 3 · b 2 + . . . + C n – 1 n – 2 · a · b n – 2 + C n – 1 n – 1 · b n – 1

1. Доказательство равенства a + b n – 1 = C n – 1 0 · a n – 1 · C n – 1 1 · a n – 2 · b · C n – 1 2 · a n – 3 · b 2 + . . . + C n – 1 n – 2 · a · b n – 2 + C n – 1 n – 1 · b n – 1 , основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

a + b n = a + b a + b n – 1 = = ( a + b ) C n – 1 0 · a n – 1 · C n – 1 1 · a n – 2 · b · C n – 1 2 · a n – 3 · b 2 + . . . + C n – 1 n – 2 · a · b n – 2 + C n – 1 n – 1 · b n – 1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n – 1 0 · a n + C n – 1 1 · a n – 1 · b + C n – 1 2 · a n – 2 · b 2 + . . . + C n – 1 n – 2 · a 2 · b n – 2 + + C n – 1 n – 1 · a · b n – 1 + C n – 1 0 · a n – 1 · b + C n – 1 1 · a n – 2 · b 2 + C n – 1 2 · a n – 3 · b 3 + . . . + C n – 1 n – 2 · a · b n – 1 + C n – 1 n – 1 · b n

Производим группировку слагаемых

a + b n = = C n – 1 0 · a n + C n – 1 1 + C n – 1 0 · a n – 1 · b + C n – 1 2 + C n – 1 1 · a n – 2 · b 2 + . . . + + C n – 1 n – 1 + C n – 1 n – 2 · a · b n – 1 + C n – 1 n – 1 · b n

Имеем, что C n – 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n – 1 0 = C n 0 . Если C n – 1 n – 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n – 1 n – 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида

C n – 1 1 + C n – 1 0 = C n 1 C n – 1 2 + C n – 1 1 = C n 2 ⋮ C n – 1 n – 1 + C n – 1 n – 2 = C n n – 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a + b n = = C n – 1 0 · a n + C n – 1 1 + C n – 1 0 · a n – 1 · b + C n – 1 2 + C n – 1 1 · a n – 2 · b 2 + . . . + + C n – 1 n – 1 + C n – 1 n – 2 · a · b n – 1 = C n – 1 n – 1 · b n

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n – 1 · b + C n 2 · a n – 2 · b 2 + . . . + C n n – 1 · a · b n – 1 + C n n · b n .

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона – применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Разложить выражение ( a + b ) 5 , используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1 , 5 , 10 , 10 , 5 , 1 . То есть, получаем, что a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5 является искомым разложением.

Ответ: a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a + b 10 .

Решение

По условию имеем, что n = 10 , k = 6 – 1 = 5 . Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

C n k = C 10 5 = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · 10 – 5 ! = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · ( 5 ) ! = = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 ( 5 ) ! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 252

Ответ: C n k = C 10 5 = 252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Доказать, что значение выражения 5 n + 28 · n – 1 , при n , являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5 n = 4 + 1 n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

5 n + 28 · n – 1 = 4 + 1 n + 28 · n – 1 = = C n 0 · 4 n + C n 1 · 4 n – 1 · 1 + . . . + C n n – 2 · 4 2 · 1 n – 2 + C n n – 1 · 4 · 1 n – 1 + C n n · 1 n + 28 · n – 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n – 1 + . . . + C n n – 2 · 4 2 + n · 4 + 1 + 28 · n – 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n – 1 + . . . + C n n – 2 · 4 2 + 32 · n = = 16 · ( 4 n – 2 + C n 1 · 4 n – 3 + . . . + C n n – 2 + 2 · n )

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16 .

Бином Ньютона – формула, доказательство и примеры решения

Древние знания

Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2. Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии. Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.

Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.). В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.

К VI веку н. э. индийские математики, вероятно, знали способ выразить общее правило, как частное, и выражали это примерно в таком виде: n! / (n – k)!k!. Чёткое его изложение можно найти в тексте XII века, автор которого — Бхаскар. Насколько известно, первая формулировка биноминальной теоремы и соответствующая таблица коэффициентов найдена в работе Аль-Караджи, которая цитируется Аль-Самавалем в его трудах.

Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.

Биноминальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя и Чу Ши-Цзе. Ян Хуэй ссылается на более ранний текст Цзя Сяня, написанный в XI в., однако и эти записи в настоящее время также утрачены.

В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как его использовать для выражения (1 + a) n с точки зрения (1 + a) n – 1 через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил треугольник в трактате «Traité du triangle arithmétique» (1653).

Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:

• Стифеля.
• Никколо Фонтана Тарталья.
• Симона Стевина.

К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.

Утверждение теоремы

Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y) n = ( n ₒ) x n y 0 + ( n 1) x n – 1 y 1 + ( n 2) x n – 2 y 2 + ··· + ( n n – 1) x 1 y n – 1 + ( n n) x 1 y n – 1 + ( n n) x 0 y n , где каждый ( n k) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.

Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде ( n ₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.

Наиболее простой пример формулы бинома Ньютона — решение для квадрата из х + у, например, (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 . Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, фигурирующие в этом расширении, соответствуют второму ряду треугольника Паскаля. Следует обратить внимание на общепринятые нормы, где верхняя «1» треугольника считается строкой 0.

Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n :

• степени x уменьшаются на 1 в каждом члене, начинаясь с n до достижения 0 (при x 0 , равном 1);
• y начинаются с 0 и увеличиваются на 1 (пока не достигнут n степени);
• число слагаемых в разложении перед объединением одинаковых слагаемых является суммой коэффициентов и равно 2 n ;
• после объединения одинаковых слагаемых в разложении получится n + 1.

Теорема может быть применена к степеням любого бинома.

С точки зрения геометрии

Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом. Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.

В исчислении геометрическое доказательство бинома Ньютона выглядит следующим образом: (x n )′ = nx n-1 . Если установить a = x, b = ∆x, интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то вырисовывается следующая картина: бесконечно малое изменение объёма n-мерного гиперкуба (x + ∆x) n , где коэффициент линейного члена (в ∆x ) является nx n-1 , площадь n граней, каждое из измерений (n – 1), (x + ∆x) n = x n + nx n-1 ∆x + ( n 2)x n-2 (∆x) 2 + ··· .

Подстановка этого уравнения в определение производной через разность и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, (∆x) 2 и выше, становятся незначительными, и даёт формулу (x n )′ = nx n-1 . Всё это интерпретируется как «бесконечно малая скорость изменения объёма n–куба, при изменении длины его стороны, равна площади n (n – 1)».

Биномиальные коэффициенты появляются в разложении бинома Ньютона. Обычно их записывают как ( n k) и интерпретируют, как количество способов выбора k элементов из n строки треугольника Паскаля. Коэффициент x n – k y k находят по формуле: ( n k) = n! / k! (n-k)!, которая определяется в терминах факториальной функции n!.

Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:

• (x + y) (x + y) (x + y);
• xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy;
• x 2 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 равняется ( 3 2) = 3.

Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам <1, 2, 3>, а конкретно: <2,3>, <1,3>, <1,2>, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.

Или, например, общий случай. Расширение (x + y) n дает сумму 2 n произведений вида e1 e2 . en, где каждый ei равен x или y. Коэффициенты перестановки показывают, что каждый продукт равен x n – k y k для некоторого k между 0 и n. Для заданного k следующие значения равны по порядку:

• количество копий x n – k y k в расширении;
• количество n–символов x, y строк, имеющих y ровно в k позициях;
• количество k-элементных подмножеств <1, 2, . n>.

Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если ( n k) представлено как n! / k! (n-k)!.

Биномные обобщения

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом. Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.

Однако для произвольного числа r можно вычислить ( r k) = r(r – 1) ··· (r – k + 1) / k! = (r)k / k!, где (·) k является символом Похгаммера, который здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями. Когда r – неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, где существует не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Обобщения можно распространить на случай, когда x и y – комплексные числа. Для этой версии следует снова принять | х | > | у | и определить степени x + y и x, используя голоморфную ветвь логарифма, определённую на открытом диске радиуса | х | с центром в х. Обобщённая теорема бинома справедлива и для элементов х и у в банаховой алгебре, пока х = ух, х является обратимым, а || у / х || 3-1=2 (-3) 1 + (³2)(2x) 3-2=1 (-3) 2 + (³3)(2x) 3-3=0 (-3) 3 .

Поскольку любое значение, возведённое в ноль, равно 1, можно упростить слагаемые с нулевыми степенями. Далее, двигаясь вперёд и применяя силы, целесообразно упростить все возможные сочетания.

Короткий путь

Последняя часть должна решить формулу комбинации. Очевидный способ сделать это — применить формулу комбинации для каждой задачи. Но стоит пойти на хитрость и ускорить вычисления, используя треугольник Паскаля, образованный путём создания треугольника с тремя начальными единицами. После этого для каждой строки нужно просто написать 1 на обоих концах и найти средние числа, добавляя два значения непосредственно над ним.

Теперь хорошая часть. В Треугольнике Паскаля спрятаны все ответы – это настоящая шпаргалка. Диаграмма ниже показывает, где находятся скрытые «n выбирает k».

Для рассматриваемой задачи нужно решить: 3 выбирает 0, 3 выбирает 1, 3 выбирает 2 и 3 выбирает 3. Все эти значения содержатся в четвёртой строке. Итак, всё, что нужно сделать, это посмотреть на четвёртый ряд треугольника и сделать выводы, сопоставив ответы. Четвёртая строка имеет значения: 1, 3, 3, 1. Поэтому надо просто заменить n на выбор k. Получается следующее: (1)8x 3 + (3)4x 2 (-3) + (3)(2x)(9) + (1)(-27).

Наконец, всё, что нужно сделать — умножить и упростить каждый термин до его простейшей формы. Стоит проверить окончательный ответ, чтобы убедиться, что полномочия каждого термина всё ещё увеличивают степень первоначального бинома.

Источники:

http://www.math10.com/ru/algebra/veroiatnosti/binominalnaya-teorema/binominalnaya-teorema.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/binom-njutona/

http://nauka.club/matematika/binom-nyutona.html