График синуса и косинуса. Преобразование графиков

Преобразование графиков тригонометрических функций

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Как отличить простую усталость от профессионального выгорания?

Можно ли избежать переутомления?

Выбранный для просмотра документ Преобразование графиков функций.doc

Преобразование графиков функций.

Дана функция у = f ( x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия.

Что делать с графиком

Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх.

Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз.

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево.

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо.

Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз.

График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте.

Закрепить точку на оси ординат, каждый отрезок на оси абсцисс уменьшить в а раз. График «сожмётся» к оси ординат с обеих сторон.

Части графика, расположенные под осью абсцисс зеркально отобразить. Весь график будет расположен в верхней полуплоскости.

Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже).

Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы.

3) y = cos ( x – /2)

Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо.

Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же.

Выбранный для просмотра документ к уроку.pptx

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

Описание презентации по отдельным слайдам:

Построение графиков тригонометрических функций Тема урока:

1 0 -1 П П 3П 2 П 2 П 3П 2 Y X Y=sin x Y=sin 2x Y=sin (2X)-1 2

1 0 -1 П П 3П 2 П 2 П 3П 2 Y X Y= COS (X/2)+1 2 Y=cos x Y= cos(x/2) 2

Найди ошибку: -2п 0 1 -1 – п п 2 3 -2 -3 2п у х

Эйлер Леонард (1707– 1783) крупнейший математик XVIII столетия

Использование тригонометрических функций при описании и изучении различных жизненных процессов. Восход и заход Солнца, изменение фаз Луны, чередование времен года, затмение и движение Планет, биение сердца, вращение колеса, морские приливы и отливы, эпидемии Гриппа. Все эти процессы периодичны, состояния участвующих в них объектов повторяются.

Морские приливы и отливы.

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

Конспект урока алгебры и начала анализа в 10 классе

по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций»

Цель урока: систематизировать знания по теме «Свойства и графики тригонометрических функций у= sin ( x ), у= cos ( x )».

повторить свойства тригонометрических функций у= sin ( x ), у= cos ( x );
повторить формулы приведения;
преобразование графиков тригонометрических функций;
развивать внимание, память, логическое мышление; активизировать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать и рассуждать;
воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, интерес к предмету.

Оборудование урока: икт

Тип урока: изучение нового

Перед уроком 2 ученика на доске строят графики из домашнего задания.

Сегодня на уроке мы будем преобразовывать графики тригонометрических функций у= sin ( x ), у= cos ( x ).

Проверка домашнего задания.

Изучение нового материала

Все преобразования графиков функций являются универсальными — они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.

Преобразование графиков функций.

Дана функция у = f ( x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия.

Что делать с графиком

Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх.

Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз.

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево.

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо.

Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз.

График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте.

Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже).

Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы.

Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо.

Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Построение графиков тригонометрических функций с помощью программы Advanced Grapher.

Построим график функции у = – cos 3 x + 2.

Построим график функции у = cos x .
Отразим его относительно оси абсцисс.
Этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс.
Наконец, такой график надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.

2) Найди ошибку и исправь её.

V. Исторический материал. Сообщение об Эйлере.

Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.

Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?

К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Читать еще: Описание типов темперамента. Типы темпераментов

На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.

Графики сложных тригонометрических функций

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 20 города Йошкар-Олы»

город Йошкар-Ола, улица Анциферова, дом 29,

Графики сложных тригонометрических

ученица 10А класса

1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Методы построения графиков сложных тригонометрических функций.

3.1. Построение графиков с помощью компьютерных программ.

3.2. Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.

Функция выражает зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний химия, физика, биология, социология и др. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими объектами в реальном мире. Впервые функция вошла в математику под именем “переменная величина”, в труде французского математика и философа Рене Декарта в 1637 году. Сам термин “функция” впервые встречается в рукописи немецкого математика и философа Г. Лейбница. Леонард Эйлер ввёл принятые сейчас обозначения для функций. Сложный, очень длительный путь развития понятия функции. С ним связаны имена , Л. Дирихле, Г. Кантора. Сейчас многие науки берут на вооружение математический аппарат. Такие функциональные зависимости, например, возраст деревьев, развитие папоротника изучает наука биология. Функции помогают описывать процессы механического движения тел небесных и земных. С помощью них учёные рассчитывают траектории движения космических кораблей и решают множество технических проблем. Наряду с другими функциями тригонометрические занимают важное место. Тригонометрия возникла из практических нужд человека. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер. Почему летом жарко? Многие считают, что летом жарче, так как Земля находится ближе всего к солнцу, но это не так. Орбита Земля – это почти круг, в центре которого находится солнце, и расстояние от Земли меняется незначительно из месяца в месяц. Всё дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты. Зимой солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом солнце приближается к зениту, лучи его падают почти отвесно. Поток солнечной энергии одинаков во все времена. Он зависит от угла падения лучей. Меняется угол падения и меняется доля солнечной энергии. Зависимость солнечной энергии от угла падения лучей и выражает график y = sinx.

В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры за 10 класс. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной работы.

Основной целью написания данной работы является представление общих методов построения графиков сложных тригонометрических функций.

• Проанализировать материал учебника “Алгебра и начала математического анализа 10-11”

• Рассмотреть способы и примеры построения графиков сложных геометрических функций

• Предложить одноклассникам творческую работу – составить функцию и построить её график

1. Определение синуса и косинуса

Синус, одна из тригонометрических функций, обозначение sin. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе. Инд. математики синус обозначали словом “джива” (букв. — тетива лука). Арабы переделали этот термин в “джиба”, который в дальнейшем превратился в “джайо” — обиходное слово арабского языка, означающее изгиб, пазуха, складка одежды, что соответствует латинскому слову sinus.

Косинус (новолат. cosinus, сокращение от complementi sinus — синус дополнения), одна из тригонометрических функций; обозначение cos. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.

Тангенс (от лат. tangens — касающийся), одна из тригонометрических функций; обозначение tg. Т. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к этому углу.

Котангенс (новолат. cotangens, сокращение от complementi tangens — тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций, обозначение ctg. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к противолежащему катету.

AB/OB

ОА/OB

AB/OA

ОА/AB

ОB/OA

ОB/AB

3.Способы построения графиков сложных тригонометрических функций

3.1. Построение графиков с помощью компьютерных программ.

Построение графика функции в Excel.

Даны функция y = f(x) и отрезок [a, b]. Шаг h=0,1. Построить график этой функции на заданном отрезке, используя табличный процессор.
Пусть f(x) = x • cos(x); a = —10; b = 10.
Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel.
Решение состоит из двух шагов:
1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т. е. вычислить ее значения с заданным шагом.
Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при необходимости можно было изменить начало и конец отрезка. В один из столбцов поместим значения аргумента, в другой — значения функции. Ниже приведено начало таблицы в режиме отображения формул.

Читать еще: Уроки вязания спицами для начинающих урок 1. Основные петли и приёмы

2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению графика. Для этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм наиболее подходящей представляется точечная.
Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги) построения графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.

3.2. Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции.

При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана.

1. Найти область определения и область значений функции.

2. Выяснить, является ли функция четной (нечетной).

3. Выяснить, является ли функция периодической.

4. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.

5. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.

6. Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы.

7. Найти промежутки монотонности функции.

8. Определить экстремумы функции.

9. Вычислить вторую производную f(x)

10. Определить точки перегиба.

11. Найти промежутки выпуклости функции.

12. Найти асимптоты графика.

13. Найти значения функции в нескольких контрольных точках.

14. Построить эскиз графика функции.

1. y=

y===

a) Если sin x˃0, то y=2 cos x │sin x│

Занимательные графики синуса и косинуса. Преобразование графиков

Из графиков видно что:

Графики синуса и косинуса колеблются в пределах между -1 и 1
Кривая косинуса имеет ту же форму, что и кривая синуса, но сдвинута относительно нее на 90 o
Кривые синуса и косинуса непрерывны и повторяются с периодом 360 o , кривая тангенса имеет разрывы и повторяется с периодом 180 o .

На рис. слева показаны перпендикулярные оси ХХ” и YY”; пересекающиеся в начале координат О. При работе с графиками измерения вправо и вверх от О считаются положительными, влево и вниз от О – отрицательными. Пусть ОА свободно вращается относительно О. При повороте ОА против часовой стрелки измеряемый угол считается положительным, а при повороте по часовой стрелке – отрицательным.

График. Положительное или отрицательное
направление при движении по окружности.

Пусть ОА вращается против часовой стрелки таким образом, что Θ 1 – любой угол в первом квадранте, и построим перпендикуляр АВ для получения прямоугольного треугольника ОАВ на рис. слева. Поскольку все три стороны треугольника положительны, тригонометрические функции синус, косинус и тангенс в первом квадранте будут положительны. (Отметим, что длина ОА всегда положительна, поскольку является радиусом круга.)
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 2 – любой угол во втором квадранте, и построим АС так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАС. Тогда sin Θ 2 =+/+ = +; cos Θ 2 =+/- = -; tg Θ 2 =+/- = -. Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 3 – любой угол в третьем квадранте, и построим АD так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАD. Тогда sin Θ 3 = -/+ = -; cos Θ 3 = -/+ = -; tg Θ 3 = -/- =+ .

График. Поcтроение углов в
различных квадрантах.

Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 4 – любой угол в четвертом квадранте, и построим АЕ так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАЕ. Тогда sin Θ 4 = -/+= -; cos Θ 4 =+/+=+; tg Θ 4 = -/+= -.

В первом квадранте все тригонометрические функции имеют положительные значения, во втором положителен только синус, в третьем – только тангенс, в четвертом только косинус, что и показано на рис. слева.

Знание углов произвольной величины необходимо при нахождении, например, всех углов между 0 o и 360 o , синус которых равен, скажем, 0,3261. Если ввести в калькулятор 0,3261 и нажать кнопку sin -1 , получим ответ 19,03 o . Однако существует второй угол между 0 o и 360 o , который калькулятор не покажет. Синус также положителен во втором квадранте. Другой угол показан на рис. ниже как угол Θ, где Θ=180 o – 19,03 o = 160,97 o . Таким образом, 19,03 o и 160,97 o – это углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен 0,3261.

Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины.

Найти все углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071

Решение:
Углы, синус которых равен -0,7071 o находятся в третьем и четвертом квадранте, поскольку синус отрицателен в этих квадрантах (смотри рис. слева).

График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)

Из следующего рисунка Θ = arcsin 0,7071 = 45 o . Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071, это 180 o +45 o =225 o и 360 o – 45 o = 315 o .

Примечание. Калькулятор дает только один ответ.
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)

Найти все углы между 0 o и 360 o , тангенс которых равен 1, 327.

Решение:
Тангенс положителен в первом и третьем квадрантах – рис. слева.
График. Нахождение всех углов по

Из рис ниже Θ = arctg1,327= 53 o .
Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , тангенс которых равен 1,327, это 53 o и 180 o + 53 o , т.е. 233 o .
График. Нахождение всех углов по
заданному значению тангенса (пример)

Пусть ОR на рис. слева- это вектор единичной длины, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О. За один оборот получается круг, показанный на рис. и разделенный секторами по 15 o . Каждый радиус имеет горизонтальную и вертикальную составляющую. Например, для 30 o вертикальная составляющая – это ТS, а горизонтальная – ОS.

Из определения тригонометрических функций
sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o

Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T”S”, что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.

Если все горизонтальные составляющие, подобные OS, спроецировать на график зависимости у от угла х, получится косинусоида. Эти проекции легко визуализировать, перерисовывая круг с радиусом OR и началом отсчета углов от вертикали, как показано на рисунке слева.
Из рис. слева видно, что синусоида имеет ту же форму, что и косинусоида, но смещенная на 90 o .

Читать еще: Что сделать чтобы дочь. Молитва о замужестве которая поможет выйти замуж

Периодические функции и период
Каждый из графиков функций, показанных на четырех рис. выше, повторяется при увеличении угла А, поэтому их называют периодическими функциями .
Функции y=sinA и y=cosA повторяются через каждые 360 o (или 2π радиан), поэтому 360 o называется периодом этих функций. Функции y=sin2A и y=cos2A повторяются через каждые 180 o (или π радиан),поэтому 180 o – это период для данных функций.
В общем случае если y=sinpA и y=cospA (где р – константа), то период функции равен 360 o /p (или 2π/p радиан). Следовательно, если y=sin3A, то период этой функции равен 360 o /3= 120 o , если y=cos4A, то период этой функции равен 360 o /4= 90 o .

Амплитуда
Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1). Однако, если y=4sinA, каждая из величин sinA умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды – 4. Аналогично для y=5cos2A амплитуда равна 5, а период – 360 o /2= 180 o .

Пример 3.
Построить y=3sin2A в диапазоне от А= 0 o до А=360 o .

Решение:
Амплитуда =3, период = 360 o /2 =180 o .

Пример 4.
Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o

Решение:
Амплитуда = 4. период = 360 o /2 =180 o .

Углы запаздывания и опережения
Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0 o . Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде y=sin(A± α), где α – сдвиг фазы относительно y=sinA и y=cosA.

Составив таблицу значений, можно построить график функции y=sin(A-60 o), показанный на рис. слева. Если кривая y=sinA начинается в 0 o , то кривая y=sin(A-60 o) начинается в 60 o (т.е. ее нулевое значение на 60 o правее). Таким образом, говорят, что y=sin(A-60 o) запаздывает относительно y=sinA на 60 o .
График. y=sin(A-60 o) (синусоида).

Составив таблицу значений, можно построить график функции y=cos(A+45 o), показанный на рис. ниже.
Если кривая y=cosA начинается в 0 o , то кривая y=cos(A+45 o) начинается на 45 o левее (т.е. ее нулевая величина находится на 45 o раньше).
Таким образом, говорят, что график y=cos(A+45 o) опережает график y=cosA на 45 o .
График. y=cos(A+45 o) (косинусоида).

В общем виде, график y=sin(A-α) запаздывает относительно y=sinAна угол α.
Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90 o левее, т.е. опережает ее на 90 o . Следовательно, cosA=sin(A+90 o).

Пример 5.
Построить график y=5sin(A+30 o) в диапазоне от А=0 o до А=360 o

Решение:
Амплитуда = 5, период = 360 o /1 = 360 o .
5sin(A+30 o) опережает 5sinA на 30 o т.е. начинается на 30 o раньше.
График y=5sin(A+30 o) (синусоида).

Пример 6.
Построить график y=7sin(2A-π/3) в диапазоне от А=0 o до А=360 o .

Решение:
Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан
В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p , следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на (π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o

Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе.

Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором . Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt.
Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR.

Если фазовый вектор OR делает один оборот (т.е. 2π радиан) за Т секунд, то угловая скорость ω=2π/Т рад/с, откуда
Т=2π/ ω (с), где
Т – это период
Число полных периодов, проходящих за 1 секунду, называется частотой f.
Частота = (количество периодов)/(секунда) = 1/ T = ω/2π Гц, т.е. f= ω/2π Гц
Следовательно, угловая скорость
ω=2πf рад/с.

Если в общем виде синусоидальная функция выглядит, как y=sin(ωt± α), то
А – амплитуда
ω – угловая скорость
2π/ ω – период Т, с
ω/2π – частота f, Гц
α – угол опережения или запаздывания (относительно y=Аsinωt) в радианах, он называется также фазовым углом.

Пример 7.
Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)

Решение:
i=20sin(90πt+0,26)А, следовательно,
амплитуда равна 20 А
угловая скорость ω =90π, следовательно,
период Т = 2π/ ω = 2π/ 90π = 0,022 с = 22мс
частота f = 1/Т = 1/0,022 = 45,46 Гц
фазовый угол α = 0,26 рад. = (0,26*180/π) o = 14,9 o .

Пример 8.
Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).

Решение
Амплитуда = максимальное смещение = 3м
Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с
Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м.
При t=0 смещение = 100см=1м.
Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33
Следовательно α=arcsin0,33=19 o
Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).

Пример 9.
Значение мгновенного напржения в схеме переменного тока в любые t секунд задается в виде v=350sin(40πt-0,542)В. Найти:
а) Амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
б) значение напряжения при t =0
в) значение напряжения при t =10 мс
г) время, за которое напряжение впервые достигнет значения 200 В.
Решение :
а) Амплитуда равна 350 В, угловая скорость равна ω=40π
Следовательно,
период Т=2π/ ω=2π/40π=0,05 с =50мс
частота f=1/Т=1/0,05=20 Гц
фазовый угол = 0,542 рад (0,542*180/π) = 31 o с запаздыванием относительно v=350sin(40πt)
б) Если t =0, то v=350sin(0-0,542)=350sin(-31 o)=-180,25 В
в) Если t =10 мс, то v=350sin(40π10/10 3 -0,542)=350sin(0,714)=350sin41 o =229,6 В
г) Если v=200 И, то 200=350sin(40πt-0,542) 200/350=sin(40πt-0,542)

График. Колебательный механизм
(пример, синусоида).

v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад.
40πt= 0,611+0,542=1,153.
Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс

Источники:

http://infourok.ru/preobrazovanie_grafikov_trigonometricheskih_funkciy-187669.htm

http://pandia.ru/text/77/390/35267.php

http://sadlazur.ru/zanimatelnye-grafiki-sinusa-i-kosinusa-preobrazovanie-grafikov.html