1 определение матрицы. Матрицы

Лекция №5 Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами

Определение Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов

Элементами матрицы являются числа вида a_ij , где i- номер строки j- номер столбца

Пример 1 i = 2 j = 3

Обозначение: А=

1. Если число строк не равно числу столбцов , то матрица называется прямоугольной:

Пример 2

2. Если число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной:

Пример 3

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. В примере n = 2

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Диагональ, содержащая элементы a₁₁, a₂₂ ……., a_nn, называетсяглавной, а диагональ, содержащая элементы а₁₂, а₂_n_-1, …….a_n₁ – вспомогательная.

Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной:

Пример 4 n = 3

3. Если у диагональной матрицы элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Пример 6 n = 3

4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О

Пример 7

5. Треугольнойматрицей n-ого порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:

Пример 8 n = 3

Действия над матрицами:

Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Пример 9

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен ka_ij

Пример10

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Произведение матрицЧто бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.

Пример 11

Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.

– произведение существует;

– произведение не существует

Примеры 12 последнюю строчку во II матрицы умножать не с чем, т.е. произведение не существует

Транспонирование матрицыназывается операция замены элементов строки на элементы столбца:

Пример13

Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя:

Пример 14

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

ОпределениеМатрица А -1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А -1 *А=1

1. Переместительный закон относительно сложения

А+В = В+А – выполняется

Пример 15

2. Распределительный закон– выполняется:

Пример

3. Переместительный закон относительно умножения– не выполняется

Пример 17

произведение не существует

Пример 18

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Матрицы. Виды матриц. Основные термины.

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Определение матрицы и её элемента. Обозначения (матрица, размер матрицы, элемент матрицы, равные матрицы).

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов. (нулевая матрица, трапециевидная матрица, ступенчатая матрица, нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица).

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $left( begin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $left(begin a & a^9+2 & 9 & sin x \ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8end right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показатьскрыть

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

Произведение $mtimes n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5times 3$. Матрица $left(begin 5 & 3\0 & -87\8 & 0endright)$ имеет размер $3 times 2$.

Читать еще: К чему снится красивый лифчик. Снится, что выбираете бюстгальтер ▼
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=left( begin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ – это номер строки, а число $j$ – номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=left( begin 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 end right)$ расположен элемент $a_<25>=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_<11>=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_<32>=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_<32>$ читается как “а три два”, но не “а тридцать два”.

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $mtimes n$, используется запись $A_$. Нередко используется и такая запись:

Здесь $(a_)$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_$. В развёрнутом виде матрицу $A_=(a_)$ можно записать так:

$$ A_=left(begin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end right) $$

Введём еще один термин – равные матрицы.

Запись “$i=overline<1,m>$” означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=overline<1,5>$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=left(begin 5 & 3\0 & -87\8 & 0endright)$ не равна матрице $B=left(begin 8 & -9\0 & -87 endright)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=left(begin 5 & 3\98 & -87\8 & 0endright)$, поскольку $a_<21>neq c_<21>$ (т.е. $0neq 98$). А вот для матрицы $F=left(begin 5 & 3\0 & -87\8 & 0endright)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Определить размер матрицы $A=left(begin -1 & -2 & 1 \ 5 & 9 & -8 \ -6 & 8 & 23 \ 11 & -12 & -5 \ 4 & 0 & -10 \ end right)$. Указать, чему равны элементы $a_<12>$, $a_<33>$, $a_<43>$.

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_<5times 3>$.

Элемент $a_<12>$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_<12>=-2$. Элемент $a_<33>$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_<33>=23$. Элемент $a_<43>$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_<43>=-5$.

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица $A_$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка. Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец. Например, $left( begin -1 & -2 & 0 & -9 & 8 end right)$ – матрица-строка, а $left( begin -1 \ 5 \ 6 end right)$ – матрица-столбец.

Если для матрицы $A_$ верно условие $mneq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ – прямоугольная матрица. Например, матрица $left( begin -1 & -2 & 0 & 9 \ 5 & 9 & 5 & 1 end right)$ имеет размер $2times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Читать еще: Любовный гороскоп на 28 августа. Любовный гороскоп на неделю
Если для матрицы $A_$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ – квадратная матрица порядка $n$. Например, $left( begin -1 & -2 \ 5 & 9 end right)$ – квадратная матрица второго порядка; $left( begin -1 & -2 & 9 \ 5 & 9 & 8 \ 1 & 0 & 4 end right)$ – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_$ можно записать так:

$$ A_=left(begin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end right) $$

Говорят, что элементы $a_<11>$, $a_<22>$, $ldots$, $a_$ находятся на главной диагонали матрицы $A_$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_<1n>$, $a_<2 ; n-1>$, $ldots$, $a_$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами. Например, для матрицы $C=left(begin2&-2&9&1\5&9&8& 0\1& 0 & 4 & -7 \ -4 & -9 & 5 & 6endright)$ имеем:

Элементы $c_<11>=2$, $c_<22>=9$, $c_<33>=4$, $c_<44>=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_<14>=1$, $c_<23>=8$, $c_<32>=0$, $c_<41>=-4$ – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $Tr A$ (или $Sp A$):

Например, для матрицы $C=left(begin 2 & -2 & 9 & 1\5 & 9 & 8 & 0\1 & 0 & 4 & -7\-4 & -9 & 5 & 6 endright)$ имеем:

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=left( begin 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 end right)$ главными диагональными элементами будут $b_<11>=2$, $b_<22>=-9$, $b_<33>=4$.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы $A_$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $left( begin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end right)$, $left( begin 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end right)$ – нулевые матрицы.

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$W=left(begin 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 12\ 0 & -9 & 5 & 9 endright)$$

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_<24>=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_<32>=-9$.

Матрица $A_=left(a_right)$ называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.

Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ – ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1ltltldotslt$.

Примеры ступенчатых матриц:

Для сравнения: матрица $Q=left(begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & 0 & 0 & 7 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6endright)$ не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках $q_<24>=7$ и $q_<32>=10$ имеют номера $k_2=4$ и $k_3=2$. Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие $k_2lt$, которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: $left(begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \0 & 0 & 0 & 7 & 9endright)$.

Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ выполнены условия $k_1=1$, $k_2=2$. $k_r=r$, т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

$$ A_> =left(begin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1r>& ldots & a_<1n>\ 0 & a_ <22>& ldots & a_ <2r>& ldots & a_<2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & a_ & ldots & a_\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0 endright) $$

Примеры трапециевидных матриц:

Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей. Например, $left( begin 2 & -2 & 9 & 1 \ 0 & 9 & 8 & 0 \ 0 & 0 & 4 & -7 \ 0 & 0 & 0 & 6 end right)$ – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, $left( begin 0 & 0 & 9 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end right)$ – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, $left( begin 3 & 0 & 0 & 0 \ -5 & 1 & 0 & 0 \ 8 & 2 & 1 & 0 \ 5 & 4 & 0 & 6 end right)$ – нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно. Например, $left( begin -5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 9 end right)$ и $left( begin 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end right)$ – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $left( begin 3 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 6 end right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $left(begin 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 endright)$ – единичная матрица четвёртого порядка; $left(begin 1 & 0 \ 0 & 1 endright)$ – единичная матрица второго порядка.

spiruk

Сайт групп СПИ Саранского кооперативного института

1. Матрицы. Виды матриц

Понятие / определение матрицы. Виды матриц

Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение: Хотя иногда в литературе встречается обозначение: Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто используется одна большая буква латинского алфавита, (например, А), либо символ ||aij||, а иногда и с разъяснением: A=||aij||=(aij) (i=1,2,…,m; j=1,2,…n)

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.

Например, матрицаэто матрица порядка 2×3, ее элементы a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, …

Итак, мы ввели определение матрицы. Рассмотрим виды матриц и дадим соответствующие к ним определения.

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.

В случае квадратной матрицывводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Источники:

http://studopedia.ru/3_74890_lektsiya–ponyatie-matritsi-vidi-matrits-deystviya-nad-matritsami.html

http://math1.ru/education/matrix/matrix.html

1. Матрицы. Виды матриц