1 определение матрицы. Матрицы
Лекция №5 Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами
Определение Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов
Элементами матрицы являются числа вида aij , где i- номер строки j- номер столбца
Пример 1 i = 2 j = 3
Обозначение: А=
1. Если число строк не равно числу столбцов , то матрица называется прямоугольной:
Пример 2
2. Если число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной:
Пример 3
Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. В примере n = 2
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
Диагональ, содержащая элементы a11, a22 ……., ann, называетсяглавной, а диагональ, содержащая элементы а12, а2n-1, …….an1 – вспомогательная.
Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной:
Пример 4 n = 3
3. Если у диагональной матрицы элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:
Пример 6 n = 3
4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О
Пример 7
5. Треугольнойматрицей n-ого порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
Пример 8 n = 3
Действия над матрицами:
Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Пример 9
Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.
Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен kaij
Пример10
Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.
Произведение матрицЧто бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.
Пример 11
Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.
– произведение существует;
– произведение не существует
Примеры 12 последнюю строчку во II матрицы умножать не с чем, т.е. произведение не существует
Транспонирование матрицыназывается операция замены элементов строки на элементы столбца:
Пример13
Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя:
Пример 14
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
ОпределениеМатрица А -1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А -1 *А=1
1. Переместительный закон относительно сложения
А+В = В+А – выполняется
Пример 15
2. Распределительный закон– выполняется:
Пример
3. Переместительный закон относительно умножения– не выполняется
Пример 17
произведение не существует
Пример 18
109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Матрицы. Виды матриц. Основные термины.
В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
- Определение матрицы и её элемента. Обозначения (матрица, размер матрицы, элемент матрицы, равные матрицы).
- Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
- Виды матриц в зависимости от значений их элементов. (нулевая матрица, трапециевидная матрица, ступенчатая матрица, нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица).
Определение матрицы и её элемента. Обозначения.
Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $left( begin
Разные способы записи матриц: показатьскрыть
Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:
Произведение $mtimes n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5times 3$. Матрица $left(begin
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=left( begin
Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_
Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_<11>=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_<32>=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_<32>$ читается как “а три два”, но не “а тридцать два”.
Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $mtimes n$, используется запись $A_
Здесь $(a_
$$ A_
Введём еще один термин – равные матрицы.
Запись “$i=overline<1,m>$” означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=overline<1,5>$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=left(begin
Определить размер матрицы $A=left(begin
Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_<5times 3>$.
Элемент $a_<12>$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_<12>=-2$. Элемент $a_<33>$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_<33>=23$. Элемент $a_<43>$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_<43>=-5$.
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Пусть задана некая матрица $A_
Если для матрицы $A_
Если для матрицы $A_
$$ A_
Говорят, что элементы $a_<11>$, $a_<22>$, $ldots$, $a_
Элементы $c_<11>=2$, $c_<22>=9$, $c_<33>=4$, $c_<44>=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_<14>=1$, $c_<23>=8$, $c_<32>=0$, $c_<41>=-4$ – побочные диагональные элементы.
Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $Tr A$ (или $Sp A$):
Например, для матрицы $C=left(begin
Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=left( begin
Виды матриц в зависимости от значений их элементов.
Если все элементы матрицы $A_
Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:
$$W=left(begin
Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_<24>=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_<32>=-9$.
Матрица $A_
- Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
- Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_
$ – ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1lt ltldotslt $.
Примеры ступенчатых матриц:
Для сравнения: матрица $Q=left(begin
Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_
$$ A_
Примеры трапециевидных матриц:
Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей. Например, $left( begin
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, $left( begin
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $left( begin
Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $left(begin
spiruk
Сайт групп СПИ Саранского кооперативного института
1. Матрицы. Виды матриц
Понятие / определение матрицы. Виды матриц
Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.
Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n — ее порядком.
В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение: Хотя иногда в литературе встречается обозначение:
Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто используется одна большая буква латинского алфавита, (например, А), либо символ ||aij||, а иногда и с разъяснением: A=||aij||=(aij) (i=1,2,…,m; j=1,2,…n)
Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.
Например, матрицаэто матрица порядка 2×3, ее элементы a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, …
Итак, мы ввели определение матрицы. Рассмотрим виды матриц и дадим соответствующие к ним определения.
Виды матриц
Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.
Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.
В случае квадратной матрицывводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.
Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если
то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22
Источники:
http://studopedia.ru/3_74890_lektsiya–ponyatie-matritsi-vidi-matrits-deystviya-nad-matritsami.html
http://math1.ru/education/matrix/matrix.html