Свойства преобразования фурье. Преобразование фурье

Свойства преобразования Фурье

Под свойствами подразумевается взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

Рассмотрим два абстрактных сигнала и и их спектральные функции , . Сформулируем основные свойства преобразования Фурье.

1. Линейность.

Преобразование Фурье является линейным:

; . (7)

,

(8)

(спектр исходного сигнала умножается на ). Т.е. амплитудный спектр сигналов не меняется, т.к. модуль комплексной экспоненты = 1, а фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое , которое линейно зависит от частоты.

3. Изменение масштаба времени.

Известно, что чем короче сигнал, тем шире его спектр:

, (9)

т.е. – сигнал сжимается,

– сигнал растягивается

– происходит зеркальное отражение сигнала относительно .

. (10)

Изменение длительности сигнала приводит к изменению ширины спектра в противоположную сторону в сочетании с увеличением или уменьшением уровня спектральных составляющих.

Если , то вызывает перестановку пределов интегрирования и несет за собой изменение знака у результата:

или в общем случае:

, (11)

при .

Зеркальное отражение сигнала относительно начала отсчета времени приводит к зеркальному отражению спектра относительно нулевой частоты, что способствует комплексному сопряжению спектра.

4. Дифференцирование сигнала.

Воспользуемся понятием производной:

, (12)

, (13)

где – оператор дифференцирования в частотной области.

При дифференцировании спектр получается путем умножения исходного сигнала на . Фазовый спектр сдвигается на для и на для .

При дифференцировании низкие частоты ослабевают, а высокие – усиливаются.

5. Интегрирование сигнала.

Интегрирование сигнала – операция обратная дифференцированию:

. (14)

Эта формула справедлива для сигналов, не содержащих постоянной составляющей:

, (15)

, (16)

где – оператор интегрирования, – дельта-функция.

При интегрировании высокие частоты ослабевают, а низкие – усиливаются. Фазовый спектр сдвигается на для и на для .

6. Спектр свертки сигналов.

Свертка сигналов является часто используемой в радиотехнике интегральной операцией, поскольку она описывает, в частности, прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами:

. (17)

Подвергнем такую свертку преобразованию Фурье:

. (18)

Спектр свертки равен произведению спектров.

7. Спектр произведения сигналов.

Дуальность преобразования Фурье и соотношение, полученное выше, позволяют предугадать результат. Однако все-таки получим его:

, (19)

(20)

Как и следовало ожидать, спектр произведения представляет собой свертку спектров.

8. Умножение сигнала на гармоническую функцию.

Умножим исходный сигнал, спектр которого нам известен, на гармоническую функцию:

. (21)

Посмотрим, что произошло со спектром сигнала:

. (22)

Как видно, спектр «раздвоился»: распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня (множитель ), смещенных на вправо: и влево: по оси частот. Кроме того, при каждом слагаемом имеется множитель, учитывающий начальную фазу гармонического колебания.

9. Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье.

Пусть – сигнал конечной длительности, а – его спектральная функция. Получим на основе периодический сигнал, взяв период повторения не меньше длительности сигнала:

. (23)

Таким образом, между спектральной функцией одиночного импульса и коэффициентами ряда Фурье для периодической последовательности таких импульсов существует простая связь:

. (24)

Лекция №4. Дискретные сигналы.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Свойства преобразования Фурье

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Свойство линейности

Пусть даны непериодические сигналы и , а также их спектральные плотности и соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что и — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала равно

Следствием является свойство умножения на константу :

Свойство временного сдвига

Рассмотрим сигнал как результат временного сдвига исходного сигнала на произвольную величину . Тогда преобразование Фурье сигнала имеет вид:

Таким образом, задержка сигнала во времени приводит к изменению фазы его спектральной плотности без изменения амплитуды.

Преобразование Фурье свертки сигналов

Пусть сигнал представляет собой свертку сигналов и :

Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:

Таким образом, спектральная плотность свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.

Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.

Преобразование Фурье произведения сигналов

Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Преобразование Фурье сигнала равно:

Подставим в (8) вместо сигнала обратное преобразование Фурье его спектральной плотности :

Поменяем в (9) операции интегрирования и получим:

Масштабирование и инверсия во времени

Пусть сигнал представляет собой масштабированный во времени сигнал , — вещественная константа, отличная от нуля.

Тогда преобразование Фурье сигнала равно:

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Пусть сигнал представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна . Тогда сигнал также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:

Используем правило интегрирования по частям [1] [2, стр. 330]:

Таким образом, спектральная плотность производной сигнала равна спектральной плотности этого сигнала, умноженной на .

Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя приводит к тому, что с ростом частоты затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала . Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).

Свойство интегрирования исходного сигнала

Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность сигнала равна нулю при .

Обратим внимание, что при , сигнал является абсолютно интегрируемым.

Рассмотрим спектральную плотность сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:

При , спектральная плотность рассчитывается без особого труда. Однако на частоте получаем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье приводит к окончательному выражению вида:

Анализируя (22) можно заключить, что интегрирование сигнала устраняет разрывы и приводит к более быстрому затуханию спектральной плотности, ввиду наличия дополнительного множителя .

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Пусть исходный сигнал представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где — синфазная и — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье , используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:

Рассмотрим теперь преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала :

Таким образом, спектральная плотность комплексно-сопряженного сигнала равна инверсной по частоте комплексно-сопряженной спектральной плотности исходного сигнала.

Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.

Пусть имеется вещественный сигнал , чья спектральная плотность равна . Поскольку сигнал вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. . Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:

Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом можно представить:

Тогда определяет реальную часть спектральной плотности и является четной функцией частоты, а — мнимая часть спектральной плотности является нечетной функцией частоты.

Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала

По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристики сигнала:

Тогда, в случае вещественного сигнала, с учетом свойств симметрии спектральной плотности (28), можно заключить, что АЧХ является четной функцией частоты , а ФЧХ — нечетной: .

Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.

Двойственность преобразования Фурье

Пусть сигнал имеет спектральную плотность . Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности :

Обратите внимание, интегрирование идет по переменной , хотя выражение (32) представляет собой прямое преобразование Фурье. Тогда можно преобразовать:

Можно сделать вывод, что преобразование Фурье от спектральной плотности снова возвращает сигнал, инверсный во времени, умноженный на . Это свойство носит название двойственности (дуальности) преобразования Фурье.

Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье. Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области. Таким образом, свойство остается справедливым если в формулировке данного свойства поменять местами время и частоту.

При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту. Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени. Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности смещенной по частоте на величину , равно:

Вводя замену переменной получаем , . Пределы интегрирования остаются неизменными, и выражение (34) принимает вид:

Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала по частоте, мы нарушаем симметрию , и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.

Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.

Мы говорили, что спектральная плотность вещественного сигнала является симметричной относительно нулевой частоты: . Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: , то его спектральная плотность чисто вещественна.

Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде . Тогда . Если выполняется условие симметрии , то:

Тогда с учетом выражения (23) и (24), мнимая часть спектральной плотности равна:

Заметим, что (38) представляет собой интегралы в бесконечных симметричных пределах от произведения четной и нечетной функции (четность и нечетность мы установили выше). Тогда можно заключить, что оба интеграла (38) равны нулю, и мнимая часть спектральной плотности , симметричного во времени сигнала , также равна нулю согласно (37). Что и требовалось доказать.

Убывание спектральной плотности сигнала по частоте

Мы уже отмечали тот факт, что дифференцирование сигнала приводит к умножению спектральной плотности на , т.е. спектральная плотность производной сигнала убывает медленнее с ростом частоты, чем спектральная плотность исходного сигнала. При интегрировании сигнала — наоборот, спектральная плотность делится на и убывает быстрее исходного сигнала.

Таким образом, можно предположить, что скорость убывания спектральной плотности зависит от степени гладкости исходного сигнала и наша цель установить данную зависимость.

Прежде всего, нам потребуется обратиться к лемме Римана-Лебега.

Лемма (Римана-Лебега). Преобразование Фурье абсолютно-интегрируемой функции является ограниченной функцией частоты , при этом стремится к нулю при .

Доказательство данной леммы приведено в [3, стр. 83–84]. Лемма Римана-Лебега доказывает качественное свойство убывания спектральной плотности абсолютно-интегрируемого сигнала с ростом частоты , но не дает количественной оценки скорости убывания .

Пусть исходный сигнал является непрерывной, абсолютно-интегрируемой функцией времени, которая может быть дифференцируема раз, причем все первых производных также будут представлять собой абсолютно-интегрируемые функции. Тогда производную порядка сигнала можно обозначить как . Если все первых производных являются абсолютно-интегрируемыми, то мы можем перейти в частотную область и согласно свойству преобразования Фурье, спектральная плотность равна:

Если сигнал является бесконечно дифференцируемым, например гауссов импульс , то скорость убывания его спектральной плотности носит экспоненциальный характер, что выше любой конечной степени .

Наличие в сигнале разрыва первого рода (например скачка в прямоугольном импульсе) приводит к убыванию спектральной плотности со скоростью с ростом частоты.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.

В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.

Смотри также

Примечания

[1] Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном .

3.3. Основные свойства преобразования Фурье:

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

(3.6)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 3.6:

Рис. 3.6. Сигналы и их спектры. s(k)=s₁(k)+s₂(k) S₁(ω)+S₂(ω) = S(ω).

2. Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 3.7. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s₁(k) является четным, s₁(k) = s₁(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s₂(k)= –s₂(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s₃(k) образован суммой сигналов s₁(k) и s₂(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s₁(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s₂(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S₃(ω), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.

Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0 – Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.

s(t) – четный, то S(ω) – вещественный, четный;

s(t) – произвольный, то S(ω) – действительная часть – четная,

а мнимая часть – нечетная.

Рис. 3.7. Свойства четности преобразования

3. Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее Фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Действительно, если s(t)S(ω), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s(x) = s(a∙t) при x = a∙t, получаем:

(3.7′)

Выражение (3.7′) действительно при а > 0. При а -6 ).

4. Теорема запаздывания. Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал t_o приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину –ωt_o без изменения модуля (амплитудной функции) спектра. Применяя замену переменной t – t_o = x, получаем:

(3.8)

Совершенно очевидно, что амплитуды гармоник сигнала при его сдвиге изменяться не должны. С учетом того, что |exp(-jωt_o)| = 1, это следует и из (3.8):

Фазовый спектр сдвигается на –ωt_o с линейной зависимостью от частоты:

Рис. 3.8. Изменение спектра сигнала при его сдвиге.

Пример двух одинаковых сигналов, сдвинутых относительно друг друга на t_o = 1, и соответствующих данным сигналам спектров приведен на рис. 3.8.

5. Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

(3.10)

Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области jω, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jω приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

Рис. 3.9. Спектры сигнала и его производной

Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 3.9. По изменению аргумента спектра (для четного исходного сигнала он был нулевым) можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на π/2 (90 0 ) для положительных частот, и на – π/2 (-90 0 ) для отрицательных частот.

В общем случае, для кратных производных:

6. Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d[y(t)]/dt jω Y(ω) = S(ω), то должна выполняться и обратная операция: . Отсюда следует:

(3.12)

Рис. 3.10. Сигналы и амплитудные спектры сигналов

Оператор интегрирования в частотной области (1/jω) при ω > 1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при ω 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных. Пример модуля спектра сигнала и его интегральной функции приведены на рис. 3.10.

Формула (3.12) справедлива для сигналов с нулевой постоянной составляющей. При интегрировании сигналов с определенным значением постоянной составляющей С = const в правой части выражения (3.12) появляется дополнительное слагаемое преобразования Фурье постоянной составляющей C, которое представляет собой, как будет показано ниже, дельта-функцию на нулевой частоте с весовым коэффициентом, равным значению С:

y(t) Y(ω) = (1/jω)S(ω) + C·d(ω_o).

По теореме запаздывания (3.8):

Отсюда:

s(t) _* h(t) S(ω) ∙ H(ω). (3.13)

Пример выполнения свертки в частотной области приведен на рис. 3.11. Отметим, что частотное представление H(ω) импульсного отклика h(t) линейной системы (или соответствующей линейной операции) имеет смысл частотной передаточной функции системы и позволяет определить сигнал на выходе системы (в частотной форме представления) при задании произвольного сигнала (в частотной форме) на ее входе. По существу, функция H(ω) представляет собой распределение по частоте коэффициента пропускания частотных составляющих сигнала с входа на выход системы (операции).

Рис. 3.11. Сигналы и амплитудные спектры сигналов

Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением Фурье-образов этих функций.

Это положение имеет фундаментальное значение в практике обработки данных.

Любая линейная система обработки данных (информационных сигналов) реализует определенную операцию трансформации сигнала, т.е. выполняет операцию свертки входного сигнала s(t) с оператором системы h(t). С использованием преобразования свертки эта операция может производиться как с динамической, так и с частотной формой представления сигналов. При этом обработка данных, представленных в цифровой форме, производится, как правило, в частотной области, т.к. может быть на несколько порядков выше по производительности, чем во временной области. Она представляет собой последовательность следующих операций.

1) Перевод сигнала в частотную область: s(t) S(ω).

2) Умножение спектра сигнала на передаточную функцию системы:

Передаточная функция системы определяется аналогичным преобразованием h(τ) H(ω) или задается непосредственно в частотном представлении, что позволяет задавать передаточные функции сколь угодно сложной формы, в том числе с разрывами и скачками, для которых во временной области потребуются операторы h(τ) с бесконечной импульсной характеристикой.

3) Перевод спектра обработанного сигнала во временную область:

Y(ω) y(t).

Произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой Фурье-образов этих функций, с нормировочным множителем (1/2π), учитывающим несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t) при использовании угловых частот.

(3.14)

9. Спектральная плотность (прямое преобразование Фурье)

;

б) радиоимпульса (свойство смещения спектра) позволяет рассчитать спектральную плотность сигнала s(t), умноженного на гармоническое колебание s₁(t) = s(t)cos(ωt + φ).

Следовательно возникает расщепление спектра G(jΩ) на две части максимумы которых возникают на частотах (+ω) и (–ω).

Источники:

http://studopedia.ru/3_188794_svoystva-preobrazovaniya-fure.html

http://ru.dsplib.org/content/fourier_transform_prop/fourier_transform_prop.html

http://studfile.net/preview/1789528/page:8/