Пример словесного задания функции. Способы задания функции

Способы задания функции. Примеры.

Что означают слова “задать функцию”? Они означают: объяснить всем желающим, о какой конкретной функции идёт речь. Причём, объяснить чётко и однозначно!

Как это можно сделать? Как задать функцию?

Можно написать формулу. Можно нарисовать график. Можно составить табличку. Любой способ – это какое-то правило, по которому можно узнать значение игрека для выбранного нами значения икса. Т.е. “задать функцию”, это значит – показать закон, правило, по которому икс превращается в игрек.

Обычно, в самых различных заданиях присутствуют уже готовые функции. Они нам уже заданы. Решай себе, да решай.) Но. Чаще всего школьники (да и студенты) работают с формулами. Привыкают, понимаешь. Так привыкают, что любой элементарный вопрос, относящийся к другому способу задания функции, тотчас огорчает человека. )

Во избежание подобных случаев, имеет смысл разобраться с разными способами задания функций. Ну и, конечно, применить эти знания к “хитрым” вопросам. Это достаточно просто. Если знаете, что такое функция. )

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая задана формулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, или y = x 2 и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

К слову сказать, не всякая формула может задавать функцию. Не в каждой формуле соблюдается жёсткое условие из определения функции. А именно – на каждый икс может быть только один игрек. Например, в формуле у = ±х, для одного значения х=2, получается два значения у: +2 и -2. Нельзя этой формулой задать однозначную функцию. А с многозначными функциями в этом разделе математики, в матанализе, не работают, как правило.

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула – вы знаете про функцию всё! Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций. Скажем, взять производную от таблицы крайне затруднительно. )

Аналитический способ достаточно привычен и проблем не создаёт. Разве что некоторые разновидности этого способа, с которыми сталкиваются студенты. Я про параметрическое и неявное задание функций.) Но такие функции – в специальном уроке.

Переходим к менее привычным способам задания функции.

Табличный способ задания функции.

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение игрека. В первой строчке – значения аргумента. Во второй строчке – соответствующие им значения функции, например:

Прошу обратить внимание! В данном примере игрек зависит от икса как попало. Я специально так придумал.) Нет никакой закономерности. Ничего страшного, так бывает. Значит, именно так я задал эту конкретную функцию. Именно так я установил правило, по которому икс превращается в игрек.

Можно составить другую табличку, в которой будет закономерность. Этой табличкой будет задана другая функция, например:

Уловили закономерность? Здесь все значения игрека получаются умножением икса на двойку. Вот и первый “хитрый” вопрос: можно ли функцию, заданную с помощью Таблицы 2, считать функцией у = 2х ? Подумайте пока, ответ будет ниже, в графическом способе. Там это всё очень наглядно.)

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице.) А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для иксов, которых нет в таблице. В этом способе такие значения икса просто не существуют. Кстати, это подсказка к хитрому вопросу.) Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего. Для наглядности хорош графический способ.

Графический способ задания функции.

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат – значение функции (у). По графику тоже можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у. График может быть любой, но. не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у. Один игрек, а не два, или три. Для примера, посмотрим на график окружности:

Окружность, как окружность. Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса, например, 6? Наводим курсор на график (или касаемся рисунка на планшете), и. видим, что этому иксу соответствует два значения игрека: у=2 и у=6.

Два и шесть! Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым. Например:

Эта самая кривулина – и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек. Однозначный. Захотелось нам узнать значение функции для х = 4, например. Надо найти четвёрку на оси иксов и посмотреть, какой игрек соответствует этому иксу. Наводим мышку на рисунок и видим, что значение функции у для х=4 равно пяти. Какой формулой задано такое превращение икса в игрек – мы не знаем. И не надо. Графиком всё задано.

Теперь можно вернуться к “хитрому” вопросу про у=2х. Построим график этой функции. Вот он:

Разумеется, при рисовании этого графика мы не брали бесконечное множество значений х. Взяли несколько значений, посчитали у, составили табличку – и всё готово! Самые грамотные вообще всего два значения икса взяли! И правильно. Для прямой больше и не надо. Зачем лишняя работа?

Но мы совершенно точно знали, что икс может быть любым. Целым, дробным, отрицательным. Любым. Это по формуле у=2х видно. Поэтому смело соединили точки на графике сплошной линией.

Если же функция будет нам задана Таблицей 2, то значения икса нам придётся брать только из таблицы. Ибо другие иксы (и игреки) нам не даны, и взять их негде. Нет их, этих значений, в данной функции. График получится из точек. Наводим мышку на рисунок и видим график функции, заданной Таблицей 2. Значения икс-игрек на осях я не писал, разберётесь, поди, по клеточкам?)

Вот и ответ на “хитрый” вопрос. Функция, заданная Таблицей 2 и функция у=2х – разные.

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции. А уж в теме с производной, задания с графиками – сплошь и рядом!

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь. Мы с графиками дружить будем.)

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели. Но на вопрос: “А четвёртый!?” – зависает основательно.)

Такой способ есть.

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается. ) Попробуйте.

Способ словесного описания – способ достаточно экзотичный. Но иногда встречается. Здесь же я его привёл, чтобы придать вам уверенности в неожиданных и нестандартных ситуациях. Нужно просто понимать смысл слов “функция задана. “ Вот он, этот смысл:

Если есть закон однозначного соответствия между х и у – значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен – формулой, табличкой, графиком, словами, песнями, плясками – сути дела не меняет. Этот закон позволяет по значению икса определить соответствующее значение игрека. Всё.

Сейчас мы применим эти глубокие знания к некоторым нестандартным заданиям.) Как и обещано в начале урока.

Функция у = f(x) задана Таблицей 1:

Функции и способы задания функций

Определение функции

Существуют множество определений для понятия «функция».

Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией.

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $xin X$ сопоставляет один и только один $yin Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).

Пусть $M$ и $N$ – два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $xin X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.

Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.

Пусть $M$ – множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $xin M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Далее рассмотрим теоретико-множественные определения.

Пусть $X$ и $Y$ – некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x, y)$ таких, что $xin X$, $yin Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару [15].

Всякое множество $f=$ упорядоченных пар $left(x, yright)$ таких, что для любых пар $left(x’, y’right)in f$ и $left(x”, y”right)in f$ из условия $y’≠ y”$ следует, что $x’≠x”$ называется функцией или отображением [7].

Функция $f:X → Y$ – это множество $f$ упорядоченных пар $left(x, yright)in Xtimes Y$, таких, что для любого элемента $xin X$ существует единственный элемент $yin Y$ такой, что $left(x, yright)in f$, то есть функция — кортеж объектов $left(f, X, Yright)$.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

В этих определениях

$x$ – независимая переменная.

$y$ – зависимая переменная.

Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции, а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции.

Далее будем рассматривать три способа для задания функций: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ задания функции

Для этого способа нам понадобится понятие аналитического выражения.

Аналитическим выражением называется произведение всех возможных математических операций над какими-либо числами и переменными.

Аналитическим способом задания функции и является её задание с помощью аналитического выражения.

Приведем далее преимущества и недостатки данного способа:

Плюсы:

1. С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
2. Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.

Минусы:

1. Малая наглядность.
2. Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.

Табличный способ задания функции

Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.

Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.

Минусы:

1. Чаще всего, нет полного задания функции;
2. Малая наглядность.

Графический способ задания функции

Введем понятие графика функции:

Графиком функции $f(x)$ называется множество точек координатной плоскости, которые имеют вид $(x, fleft(xright))$.

Задание графика с помощью такого изображения его в декартовой системе координат называется графическим способом.

Пример задачи

Дан аналитический вид функции $y=x^2$. Привести табличный и графический способы задания этой же функции.

Решение.

Сначала приведем табличный способ. Так как при возведении в четную степень любого числа получим неотрицательное значение, то получим следующую таблицу:

Это и есть табличное задание.

Перейдем теперь к заданию в виде графика. Для этого отметим в декартовой системе координат точки из таблицы выше. Получим:

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций

х естьбесконечно малая функция при х-* +оо, так как В дальнейшем все понятия и теоремы, связанные с пределами функций, мы будем, как правило, рассматривать только применительнок случаю предела функции в точке, предоставляя читателю самому сформулировать соответствующие понятия и доказать аналогичные теоремы дня случаев, когда Свойства бесконечно малых функций Теорема 5. Если а <х) и Р(х) — б. м. ф. при х —* хо, то их сумма а(х) + Р(х) есть также б.м. ф. при х —» хо. 4 Возьмем любое е >0. Так как а(х) — б.м.ф. при х -* хо, то найдется «51 > 0 такое, что для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию верно неравенство По условию Р<х) также б.м.ф. при х хо, поэтому найдется такое, что для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию верно неравенство Положим 6 = min<«5j, 62>. Тогда для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию будут одновременно верны неравенства (1) и (2). Поэтому Это означает, что сумма а(х) +/3(х) есть б.м.ф. при х xq. Замечание. Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа функций, б. м. при х zo. Теорема б (произведение б. м. ф. на ограниченную функцию). Если функция а(х) является б. м. ф. при х —* х0, а функция f(x) ограничена в окрестности точки Хо, то произведение а(х)/(х) есть б. м. ф. при х -» х0. По условию функция /(х) ограничена в окрестности точки х0. Это означает, что существуют такие числа 0 и М > 0, что Возьмем любое е > 0. Так как по условию , то найдется такое 62 > 0, что для всех х ф х0, удовлетворяющих условию |х – xol , будет верно неравенство Положим я всех х ф х0, удовлетворяющих условию |х – х0|, будут одновременно верны неравенства Поэтому Это означает, что произведение а(х)/(х) есть б. м.ф. при Пример. Функцию у = xsin – (рис.12) можно рассматривать как произведение функций a(ar) = х и f(x) = sin j. Функция а(аг) есть б. м. ф. при х — 0, а функция f[x) = sin j определена всюду, исключая точку х = 0. и ограничена в любой проколотой окрестности этой точки. Поэтому, в силу теоремы 6, функция у = х sin – есть б. м ф. при х — 0, так что Следствие. Если а(х) — б. м. ф. при х —* Хо, а функция f(x) в точке Хо имеет <конечный) предел, то произведение а(х)/(х) есть б. м. ф. при х —» Хо. Это вытекает из того, что функция, имеющая в точке х0 предел, ограничена в проколотой окрестности точки х0. Лемма. Если функция /(х) в точке Хо имеет предел, отличный от нуля, то функция у^ ограничена в проколотой окрестности точки Xq. в частности для, найдется такое, что для всех х, удовлетворяющих условию будет верно неравенство откуда Значит, для указанных значений х определена функция причем так что ущ ограничена в проколотой окрестности точки х0. Теорема 7. Если а(х) — б.м.ф. при х — х0, а функция /(х) имеет в точке х0 предел, отличный от нуля, то частное есть б. м. ф. при х х0. 4 Представим частное ^ в виде В силу леммы функция у^ ограничена в проколотой окрестности точки х0 и, следовательно, а(х)-у^ —б.м.ф. при х —» х0 как произведение б. м. ф. на ограниченную. Условие lim /(х) ^ 0 является существенным. Рассмотрим, например, функции а(х) = х и /(х) = х2. являющиеся б. м. ф. при х -» 0. Частное yjjj = ^ = j, х Ф 0, очевидно, не является б.м.ф. при х -» 0, так что отношение двух бесконечно малых функций в общем случае не есть бесконечно малая функция. Теорема 8 (связь функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией). Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, может быть, самой точки хо. Для того, чтобы функция f(x) в точке х0 имела пределом число А, необходимо и достаточно, чтобы /(х) можно было представить в виде суммы Необходимость. Пусть функция /(ж) имеет в точке ж0 предел, равный числу А, Положим и докажем, что а(ж) — б.м.ф. при ж ж0. Возьмем любое е >0. Так как по условию то для выбранного е 0 найдется такое , что для всех ж, ж ^ жо, удовлетворяющих условию |ж – ж0| верно неравенство В силу (1) последнее можно записать в виде Это означает, Достаточность. Пусть функцию /(ж) можно представить в виде где А — постоянная, а а(ж) — б.м.ф. при ж ж0. Докажем, что функция /(ж) в точке жо имеет предел, равный числу А. Возьмем любое е > 0. Так как по условию а(ж) — б.м.ф. при ж ж0, то найдется такое 6 > 0, что для всех ж, ж ^ ж0, удовлетворяющих условию |ж – ж0| , будет выполняться неравенство Но в силу (2) а(ж) = /(ж) -А. Поэтому |/(ж)

А для тех же значений ж. Согласно определению это означает, что А = lim /(ж).

Источники:

http://helpmatan.ru/page101.php

http://spravochnick.ru/matematika/funkcii_i_sposoby_zadaniya_funkciy/

http://natalibrilenova.ru/blog/1245-arifmeticheskie-operacii-nad-predelami.html