Методы решения многокритериальных задач. Свертка критериев

ТЕМА 4. Многокритериальный выбор

Оглавление

Целью изучения данной темы является ознакомление студентов с методами многокритериального выбора.

Задачи:

Ознакомить студентов с методами измерения показателей, используемых в качестве критериев при принятии управленческих решений.

Описать подходы к формированию системы показателей, используемых при многокритериальном выборе.

Дать представление о методах многокритериального выбора и особенностях их применения.

1. Шкалы измерения

Для оценки достижения цели организации используется целый ряд показателей – критериев, так как цель хозяйственной системы носит многомерный характер. Каждый из критериев должен быть количественно измерим, определён на одной из шкал измерений.

Наиболее «простой», точнее говоря, слабой является номинальная шкала. “Nome на латыни – имя, то есть речь идёт о шкале наименований. В этой шкале различаются только классы объектов, например, резиденты и нерезиденты. Разумеется, шкала может содержать и больше классов (отраслевой классификатор и т.п.), хотя дихотомическое деление является важным частным случаем.

Номинальная шкала используется, в основном, для решения двух задач:

  • определение принадлежности к классу на основании некоторого признака (например, пол),
  • выявление количества проявлений признака.

Во втором случае накопленная статистика подвергается обработке численными методами с целью анализа того или иного явления.

Более «сильной» является ординальная (порядковая) шкала. Её также часто называют шкалой рангов. Задача, решаемая с помощью ординальной шкалы, — это упорядочивание объектов (альтернатив, с точки зрения процесса принятия управленческого решения) по предпочтению. Различают отношения нестрогого предпочтения (этот объект не хуже того) и строгого («больше – меньше»).

Измерения в ранговой шкале не отвечают на вопрос «насколько больше?». Отчасти эта проблема решается увеличением числа рангов. Общая рекомендация при конструировании ранговых шкал состоит в составлении не слишком дробной шкалы, так как в противном случае затрудняется экспертное оценивание, однако количество рангов должно быть достаточным, чтобы улавливать все существенные различия.

Типичным примером измерений в ранговых шкалах являются различные рейтинги. Определённую роль играет использование этой шкалы в микроэкономике, так как позволяет снять некоторые спорные постулаты о природе ценностей.

Следует учесть, что расстояние в ранговых шкалах задаются не так, как в привычной, абсолютной. Например, один из способов введения расстояния в ранговой шкале – определение количества попарных перестановок соседних рангов, которое необходимо для получения нормативного упорядочивания.

Следующая «по силе» — интервальная шкала. Эта шкала классифицирует объекты по принципу «больше на определённое количество единиц – меньше на определённое количество единиц». Следует различать абсолютную и относительную величину интервалов. Например, если студент А решил задачу за 2 сек., а студент Б за 22 сек., то в абсолютном выражении интервал будет таким же, как и в том случае, когда студент В решает задачу за 222 сек., а Г — за 242 сек. Понятно, что «значимость» интервала в 20 сек. в рассмотренных случаях может быть различной.

Интервальная шкала даёт точное представление об отношении длин отрезков, однако в ней даже зная расстояние между 1-ой и 2-ой и 2-ой и 3-ей точкой нельзя точно указать расстояние между 1-ой и 3-ей точками, так как их взаимное расположение не определено однозначно. В интервальной шкале в этой ситуации можно делать однозначные заключения только о соотношении длин отрезков, но не их удалённости от какой-либо точки.

Абсолютная шкала получается из интервальной введением точки отсчёта. Это решает обсуждавшиеся выше проблемы. Именно для абсолютной шкалы справедливы обычно используемые на практике операции с расстояниями.

2. Требования к построению системы критериев

Наряду с проблемой измерения важной проблемой является построение системы показателей, отражающих генеральную цель. В литературе 1 сформулирован целый ряд требований, которые необходимо соблюдать, чтобы использование системы показателей было оправданным. Это требования полноты, действенности, разложимости, неизбыточности и минимальной размерности.

Полнота

Система показателей должна включать критерии, характеризующие все основные аспекты деятельности хозяйственной системы. Смысл этого требования сводится к тому, чтобы дать возможность ЛПР принять управленческое решение.

Действенность (операционность)

Используемые показатели должны быть однозначно понимаемы, измеримы и доступны оценке.

Разложимость

Это требование связано с ограниченными возможностями человека. Исследования показали, что одновременная работа с числом объектов более семи неоправданна. Таким образом, при большом числе критериев система может разбиваться на более мелкие группы показателей. Например, системы, оценивающие качество продукции, разбиваются на группы показателей, характеризующие функциональные свойства изделий, их надёжность, эргономичность, а также показатели стандартизации и унификации. Получается «дерево критериев», и ЛПР одновременно работает только с одной «веткой».

Неизбыточность

Дублирование показателей «засоряет» информационные каналы, снижает как скорость, так и качество сбора и обработки информации.

Минимальная размерность

Смысл этого требования также заключается в повышении эффективности работы ЛПР. В систему показателей должно входить минимально возможное число критериев. В данном случае это достигается за счёт снижения количества показателей благодаря агрегированию информации, отсечению не принципиальных характеристик и т.п.

3. Методы многокритериального выбора

Метод свёртки критериев

Стандартный приём «борьбы» с многокритериальным выбором это переход к однокритериальной задаче с использованием метода свёртки критериев.

Свёртка критериев означает построение интегрального показателя на основе частных критериев. Интегральный показатель I рассчитывается или как взвешенная сумма частных показателей (выражение (1) — аддитивная форма) или как их произведение (выражение (2) – мультипликативная форма), опять же нормированное на соответствующие веса (важность критериев).

K – частный критерий,

a – вес критерия, причём ,

N – количество критериев,

v — номер критерия.

Использование такого метода как свёртка критериев предполагает, что частные критерии измеряются в абсолютной шкале. Кроме того, критерии должны быть независимы друг от друга. Это означает, что справедливы выражения (3) и (4), то есть отношение предпочтения определяется либо критерием «2» — выражение (3), — либо критерием «1» — выражение (4).

Читать еще:  Приснился умерший младенец. К чему снится мертвый новорожденный ребенок

Лексикографический метод

Лексикографический метод предполагает, что имеющийся ряд критериев упорядочен по важности.

Для сравниваемых объектов сначала измеряются значения наиболее важного критерия. Предпочтительным оказывается тот объект, для которого значение этого критерия лучше.

В том случае, когда значения сравниваемых объектов по наиболее важному критерию совпадают, то переходят к сравнению на основании следующего по важности критерия.

Процедура заканчивается на той итерации, на которой удаётся упорядочить объекты по предпочтительности, или когда проведены сравнения по всем критериям.

Наверное, наиболее известный пример использования лексикографического метода – определение места команды в спортивном состязании, например, чемпионате по футболу. В этом случае победитель определяется по количеству набранных очков. В случае их равенства последовательно используются дополнительные показатели — количество побед, разность мячей, результаты очных встреч и т.п.

Выделение множества Парето

В наибольшей степени идеологии многокритериального выбора соответствует процедура выделения множества Парето (ядра графа).

Множество Парето образует набор таких объектов, что переход от одного к другому обязательно повысит значение хотя бы одного критерия и ухудшит значение минимум одного критерия. Предполагается, что каждый из критериев характеризует качественно отличный от других аспект, свойство объекта и т.п. Так как сравнение разнокачественных вещей не имеет смысла, то упорядочиванию подлежат только те пары объектов, в которых один не хуже другого по всем параметрам. Если при этом по одному или нескольким критериям один объект будет лучше другого, то говорят, что он доминирует. В множестве Парето ни один объект не доминирует над другим. Собственно, процедура нахождения множества Парето и заключается в нахождении доминирующих объектов и их исключении из рассмотрения.

В таблице 1 приведены значения двух важнейших критериев, характеризующих инвестиционные проекты: прибыль и сумма капитальных вложений для семи проектов.

Методы решения многокритериальных задач. Свертка критериев

Столкнувшись с необходимостью учета многокритериальности, исследователи стали искать возможные подходы к решению задач оптимального выбора при многих критериях.

Простейшим способом устранения многокритериальности це­лей является перевод задачи выбора в русло однокритериальности, например, путем объединения всех частных (локальных) показателей эффективности fj(x) в один общий (глобальный) критерий качества f(x)= F(f1(x) , f2(x) ,… fh(x) ). Подобный прием носит название свертки критериев.

Каждый частный критерий отражает какое-то отдельное ка­чество варианта решения. Наилучший вариант должен характеризоваться наиболее удачным сочетанием всех этих отдельных качеств. Таким образом, поиск лучшего варианта решения сводится к отысканию экстремума единственной функции f(x)

x* arg max f(x) (3.11)

x X a

Остается только установить, как глобальное качество решения зависит от локальных качеств. Вид функции f(x) опреде­ляется тем, каким образом можно представить вклад каждого частного критерия fj(x) в общий критерий качества. Заметим, что для этого должна существовать возможность содержатель­ного сопоставления критериев.

Достаточно популярным способом служит запись глобального критерия в виде суммы локальных критериев (так называемая аддитивная свертка)

или в виде их произведения (мультипликативная свертка)

Формула (3.12) выражает принцип равномерной оптимальности. Им обычно пользуются, когда частные критерии эффективности имеют одинаковую размерность, например, выражены в денежных единицах. Тогда глобальный критерий качества решения будет представлять собой общую ценность варианта, которая слагается из ценностей его отдельных составляющих.

Формула (3.13) отражает принцип справедливого компромисса, в соответствии с которым общее качество решения должно равняться нулю, если хотя бы один из частных критериев эффективности принимает нулевое значение. Подобный подход применяется, например, для оценки общей надежности функциони­рования сложной системы, состоящей из многих частей, узлов и блоков. Интересно, что принцип справедливого компромисса был сформулирован еще английским математиком Ч. Доджсоном (более известным как английский писатель Льюис Кэрролл) в книге «История с узелками».

Существенным недостатком указанных способов свертки кри­териев является равная важность или значимость критериев для ЛПР, при которой низкие оценки по одним критериям можно компенсировать только за счет высоких оценок по другим кри­териям. Вследствие этого лучшим может оказаться вариант решения, сочетающий не самые лучшие критериальные оценки.

Чтобы избежать такого несоответствия, часто используют взвешенные свертки частных критериев эффективности вида

, (3.15),

,

где wj ≥ 0 — вес частного критерия fj(x). Способ свертки частных критериев и значения их весов задаются ЛПР и отражают его предпочтения.

Некоторым промежуточным вариантом между крайне пессимистическими вариантами и крайне оптимистическими является критерии пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица):

(3.17)

где 0≤β≤- «коэффициент пессимизма» или, если хотите, «коэффициент оптимизма». При β=1 оценка превращается в минимальную, а при β=0 она максимально оптимистична. Необходимо подчеркнуть, что определение значения β – это прерогатива руководителя, и с этой точки зрения, оценка чрезвычайно субъективна. А также

(3.18

(3.19)

где ai коэффициенты важности критериев (весовые коэффициенты), определяемые в большинстве случае субъективно; ; с – некоторое фиксированное значение критерия f(xi), например, некоторое его усредненное значение; f(xi)— частный i-й показатель (критерий) эффективности; fj(xi) – частный i-й показатель (критерий) эффективности j-й альтернативы (проекта).

Выбор того или иного вида свертки определяется характером взаимосвязей составляющих ее критериев (равнозначные, доминирующие и т.п.), а также некоторыми специальными ограничениями на область значений свертки, вытекающими из специфики конкретной задачи и предпочтений руководителя. Если частные показатели неоднородные, то они либо сводятся к однородным, либо коэффициенты ai учитывают не только важность, но и физическую размерность показателя.

Основная трудность, возникающая при формировании и использовании обобщенных критериев, заключается в сложности определения весовых коэффициентов, на которые возложена функция адекватного отражения степени важности критерия, его физической размерности и иногда других факторов. К недостаткам обобщенных критериев следует также отнести и то, что при оценке они не позволяют учитывать часто встречающуюся иерархическую зависимость результирующего показателя от значений частных показателей.

Однако это не означает, что СППР не должна использовать этот подход к оценке эффективности управляющих решений. Система предлагает его руководителю как один из возможных вариантов.

Многокритериальная оценка альтернатив решения может быть выполнена также на основе правил выбора по Парето.Здесь предпочтительным считается такой проект, для которого не существует другого проекта лучше данного хотя бы по одному показателю и не хуже него по всем остальным.

Читать еще:  Играть в шарарам без карты. Игры смешарики

Описанные правила отбора не позволяют учесть относительную важность критериев оценки. Они нечувствительны к степени отличия значений критериальных показателей, и вероятность ошибки существенно повышается с ростом числа критериев.

Ряд методов анализа и отбора проектов основан на том, что критерий оценки формируется на основе характеристик того или иного выделенного аспекта реализации решения (главного критерия)-затраты, время, риски, вероятности успеха и т.п. В конечном итоге такой подход приводит к постановке и решению той или иной задачи математического программирования, в которой выделенный показатель выступает в качестве критерия, а к значениям остальных показателей предъявляются определенные требования, порождающие область ограничений.

В общем случае это приводит к решению многокритериальной задачи методом последовательных уступок,когда последовательно находится оптимальное решение по каждому из упорядоченных по важности критериев с назначением руководителем на каждом шаге решения задачи уступки величины по каждому из критериев, оптимизируемых на предыдущем шаге.

Пример. Требуется выбрать лучший вариант строительства предприятия из пяти предложенных вариантов A1A5. Проект предварительно оценивается по четырем частным показателям эффективности:

f1 – величина ожидаемой прибыли, которую будет давать предприятие;

f2 – стоимость строительства предприятия;

f3 – величина экологического ущерба от строительства;

f4 – заинтересованность жителей района в строительстве.

Для простоты будем считать, что оценки по каждому из четырех критериев даются по шкале: 5, 4, 3, 2, 1, 0 баллов. Поскольку оценки по второму и третьему критериям необходимо минимизировать, а не максимизировать, как по остальным, то вместо них введем критерии f’2=5- f2 и f’3=5- f3. По результатам экспертизы были получены следующие оценки качества проектов:

Сравним вектор y1 с остальными векторами по отношению доминирования ≥ на множестве достижимости Y а . В данном случае пары векторов y1 — у2, y1y3, y1y4, y1y5 несравнимы по отношению доминирования. Вектор y1 запоминается как эффективный. Далее сравнивается вектор у2 с векторами y3, y4, y5. Пары векторов у2 y3, у2 y5 несравнимы. Так как у2 > y4, вектор у4 удаляется из рассмотрения как доминируемый, а вектор у2 запоминается как эффективный. Для сравнения остаются векторы y3 и y5. Поскольку y5 > y3, то вектор y3 удаляется из рассмотрения как доминируемый. В итоге остаются три вектора y1, y2 и y5, образующие паретову границу Y* С Y a исоответствующие эффективные варианты А1, А2, А5, среди которых и следует сделать окончательный выбор.

Чтобы еще больше сузить паретово множество Y* и выделить единственный наилучший вариант решения, необходима еще какая-то дополнительная информация, которую может дать только ЛПР.

Допустим, что ЛПР считает первый критерий y1более важным, чем третий кри­терий y3, с долевым коэффициентом относительной важности t13 = 0,5. Пересчитаем третью компоненту каждого вектора yi по формуле f’3(Ai)=0,5f1(Ai) + 0,5f3(Ai). Получим новые векторы

Очевидно, что вектор у’2 доминирует вектор у’1. Поэтому в сужен­ной паретовой границе Y’ останутся два вектора у’2 и y’5, соот­ветствующие эффективным вариантам A2 и А5, из которых и следует осуществлять итоговый выбор. Если ЛПР считает тре­тий критерий f3 важнее первого критерия f1 с таким же до­левым коэффициентом относительной важности важности t13 = 0,5, то, пересчитав первую компоненту каждого вектора уi по формуле f’1(Ai)=0,5f3(Ai) + 0,5f1(Ai)получим векторы у’1 = (4;3;4;3), у’2 = (4;3;3;3), у’5 = (3,5; 4; 3; 4). В таком случае в суженной паретовой границе Y’ останутся два вектора у’1 и у’5, которые соответствуют эффективным вариантам А1 и А5.

9 Многокритериальные задачи

Постановка задачи линейного программирования. Математическая модель задачи. Примеры задач линейного программирования. Графический метод решения задачи. Симплекс– метод решения задачи линейного программирования. Анализ решения задачи линейного программирования.

При анализе различных экономических проектов возникает задача выбора наиболее предпочтительного из них или нескольких предпочтительных проектов. Все проекты, рассматриваемые в этой задаче, можно условно назвать альтернативами. В качестве них могут выступать инвестиционные проекты, регионы, предприятия, товары, различные объекты и системы, сообщества и т.д.

Каждая из сравниваемых альтернатив характеризуются некоторыми показателями. Часть этих показателей выступает в качестве критериев при отборе альтернативы из множества других. Так, при оценке технического изделия основными критериями оценки служат его технические характеристики, а также такие качества, как надежность, эргономичность, внешний вид. При выборе кандидата на должность важнейшими критериями оценки являются квалификация, образование, эрудиция, возраст, коммуникабельность и т.п. В экономических задачах основными критериями служат экономическая эффективность и стоимость, при этом каждый из этих критериев, в свою очередь, может быть подразделен на более частные критерии. Считается, что

n показатели-критерии являются одноименными для всех альтернатив и их количество у всех альтернатив одинаковое;

n другие показатели альтернатив либо одинаковы, либо несущественны в данной задаче.

Если альтернативы оцениваются по m критериям, где m > 1, то такая задача принятия решений называется многокритериальной.

Критерий называется позитивным, если необходимо стремиться к его увеличению, и негативным, если необходимо стремиться к его уменьшению. В конкретных задачах принятия решений характер критерия устанавливается по содержательным соображениям. Преобразование негативного критерия в позитивный (и наоборот) можно осуществить заменой знака. При рассмотрении многокритериальных задач в общем виде, если не оговорено противное, предполагается, что все имеющиеся критерии являются позитивными. В многокритериальной задаче с позитивными критериями цель— получение альтернативы, имеющей как можно более высокие оценки по каждому критерию.

Поиск решения многокритериальной задачи не представляет особых сложностей, если предпочтение по одному критерию влечет за собой такое же предпочтение по другому критерию, т.е. критерии кооперируются. Например, такая ситуация имеет место, когда при покупке автомобиля преследуется цель купить престижный и красивый автомобиль. Очень часто эти два критерия совпадают, и престижный автомобиль является одновременно красивым.

Решение многокритериальной задачи также не представляет особых сложностей, если критерии нейтральны по отношению друг к другу, т.е. поиск решения по одному критерию никаким образом не отражается на поиске решения по другому критерию. Например, это имеет место, когда при покупке автомобиля мы преследуем цель купить надежный и красивый автомобиль.

Читать еще:  Ведьмак 3 сет убийцы где найти. Дополнение «Кровь и вино»

Однако приведенные примеры являются частными случаями. В общем, сложность решения многокритериальных задач состоит в том, что критерии конкурируют друг с другом. В большинстве практических задач поиск более предпочтительного решения по одному критерию приводит к тому, что решение становится менее предпочтительным по другому критерию, т.е. решения несравнимыми между собой. Например, рассматривая стоимость и престижность в качестве критериев при покупке автомобиля, можно утверждать, что более дешевый (более предпочтительный по первому критерию) автомобиль является менее престижным (менее предпочтительным по второму критерию). Анализ таких ситуаций может быть осуществлен при помощи определения множества Парето.

Предположим, что при оценке альтернатив использовались два критерия: стоимость (К1) и надежность (К2). Значения критериев для трех альтернатив представлены в таблице.

Очевидно, что альтернатива 3 является наиболее предпочтительной, так как она не хуже остальных альтернатив по всем критериям.

Альтернатива ai является доминирующей по отношению к альтернативе ak, если по всем критериям оценки альтернативы ai не хуже, чем альтернативы ak, а хотя бы по одному критерию оценка ai лучше. При этом альтернатива ak называется доминируемой. Из определения следует, что альтернатива 3 из приведенного выше примера является доминирующей по отношению к альтернативе 1 и альтернативе 2. Это можно увидеть из рис. 1, где альтернатива 3 занимает самое правое и верхнее положение по отношению к другим альтернативам.

Рассмотрим теперь альтернативы 1 и 2. Из рис. 1 также следует, что альтернативы 1 и 2 не находятся в отношении доминирования. Действительно, по стоимости предпочтительнее альтернатива 1, а по надежности — альтернатива 2. Эти альтернативы являются несравнимыми по отношению предпочтения между векторными оценками, так как их невозможно сравнить непосредственно на основе критериальных оценок. Множество несравнимых альтернатив образуют область эффективных решений и называется множеством Парето, а альтернативы, образующие это множество Парето-оптимальными. Если вернуться к примеру, то оставшиеся альтернативы 1 и 2 принадлежат множеству Парето.

Дать однозначный ответ на вопрос, какую же из Парето-оптимальных альтернатив следует считать оптимальной, для общего случая, не имея дополнительной информации о критериях, невозможно.

Общая методика исследования многокритериальных задач на основе математического моделирования может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

Первый подход. Для заданной многокритериальной задачи находится множество ее Парето-оптимальных альтернатив, а выбор конкретной альтернативы из множества Парето-оптимальных предоставляется принимающему решение.

Второй подход. Производится сужение множества Парето-оптимальных альтернатив (в идеале — до одной) с помощью некоторых формализованных процедур, что облегчает окончательный выбор альтернативы для лица, принимающего решение. Отметим, что такое сужение может быть произведено только при наличии дополнительной информации о критериях или о свойствах оптимального решения.

Рассмотрим некоторые простейшие способы сужения Парето-оптимального множества, акцентируя при этом внимание на необходимой дополнительной информации.

1. Указание нижних границ критериев. Набор оценок нижних границ по каждому критерию представляет собой дополнительную информацию. При указании нижних границ критериев оптимальной может считаться только такая Парето-оптимальная альтернатива, для которой оценка по каждому из критериев не ниже назначенной оценки. Это приводит к сужению Парето-оптимального множества.

При использовании этого способа окончательный выбор Парето-оптнмальной альтернативы производится из суженного Парето-оптимального множества принимающим решение (на основе субъективных соображений).

Основной недостаток метода состоит в том, что оптимальное решение становится здесь субъективным, так как зависит, во-первых, от величин назначаемых нижних границ критериев и, во-вторых, от окончательного выбора, совершаемого принимающим решение.

2. Субоптимизация. Субоптимизацию производят следующим образом: выделяют один из критериев, а по всем остальным критериям назначают нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве альтернатив, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных.

С помощью метода субоптимизации задача многокритериальной оптимизации превращается в задачу скалярной оптимизации на суженном допустимом множестве. Выделение одного из критериев, а также указание нижних границ для остальных критериев основано на дополнительной информации, получаемой от принимающего решение. Следовательно, окончательное решение здесь также имеет субъективный характер.

3. Лексикографическая оптимизация. Этот метод основан на упорядочении критериев по их относительной важности. После этого процедуру нахождения оптимального решения проводят следующим образом. На первом шаге отбирают исходы, которые имеют максимальную оценку по важнейшему критерию. Если такой исход единственный, То его и считают оптимальным. Если же таких исходов несколько, То среди них отбирают те, которые имеют максимальную оценку по следующему за важнейшим критерию и т. д. В результате такой процедуры всегда остается (по крайней мере, в случае конечного множества исходов) единственный исход — он и будет оптимальным.

Термин «лексикографический» отражает аналогию между этим методом и методом упорядочивания слов в словаре. При лексикографическом подходе требуется ранжирование показателей по важности, а значения показателей располагаются на шкале порядка. После того как важнейший показатель выбран, может быть определена альтернатива, имеющая наивысшее значение по этому показателю. Если такая альтернатива одна, то ее выбирают и процедура заканчивается. Если по определенному показателю имеется несколько альтернатив с одним и тем же наивысшим значением, то они сравниваются по второму по важности показателю. Процесс продолжается таким образом до тех пор, пока не будет выявлена единственная альтернатива, или пока не будут проверены все показа-ели.

Основными недостатками метода лексикографической оптимизации являются следующие.

n При практическом применении данного метода возникают трудности в установлении полной упорядоченности критериев по их относительной важности.

n Фактически при использовании этого метода принимается во внимание только первый — важнейший критерий. Например, следующий за ним по важности критерий учитывается только тогда, когда важнейший критерий достигает максимума в нескольких альтернативах.

Проиллюстрируем рассмотренные в этом пункте методы нахождения оптимального решения в многокритериальных ЗПР на следующем примере.

Пример. Выбор места работы. Предположим, что Вам предстоит выбрать место работы из девяти вариантов, представленных в табл. 5.1. В качестве основных критериев взяты: зарплата 3, длительность отпуска Д, время поездки на работу В. Так как критерий В имеет характер потерь, оценки по этому критерию берутся со знаком «минус». Какой вариант является оптимальным?

Источники:

http://eos.ibi.spb.ru/umk/10_8/5/5_R1_T4.html

http://lektsii.org/3-77380.html

http://studizba.com/lectures/47-matematika/795-ekonomiko-matematicheskoe-modelirovanie/15131-9-mnogokriterialnye-zadachi.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector