Как найти квадратный корень? Свойства, примеры извлечения корня.
Как найти квадратный корень? Свойства, примеры извлечения корня
Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, – вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, “математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа”. Понятие “квадратный корень” появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.
С чего все начиналось
Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало – ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.
Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.
Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе “Математика в девяти книгах”, а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.
Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность – все, что имеет под собой “корневую” смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).
Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду “галочка” √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.
Наши дни
С точки зрения математики, квадратный корень из числа y – это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.
В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.
Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.
Свойства квадратного корня на поле R
- Квадратный корень из произведения равен произведению квадратных корней, при условии, что подкоренные выражения больше либо равны 0.
- При возведении корня квадратного в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, при условии, что оно больше нуля.
- Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, разделенному на корень из знаменателя, при условии, что подкоренное выражение числителя больше либо равно 0, а подкоренное выражение знаменателя строго больше 0.
- Подкоренное выражение, если оно больше нуля, можно разбить на несколько частей, из которых, в свою очередь, допустимо извлечь корень. Например: √75=√25*3=5√3.
- Под знак корня можно вводить любое число, при этом возведя его в квадрат. Например: 5√8=√25*√8=√200.
Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.
Как найти корень числа?
Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:
1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа – до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:
Следующее нечетное число – это 11, остаток у нас следующий: 1 n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n ))y n , где n принимает значения от 0 до
Графическое изображение функции z=√y
Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:
Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).
Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R
1. Область определения рассматриваемой функции – промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).
2. Область значений рассматриваемой функции – промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).
3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.
4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.
5. Функция z=√y не является периодической.
6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).
7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.
8. Функция z=√y непрерывно растет.
9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.
Варианты изображения функции z=√y
В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2 ) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.
А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.
Корень квадратный в комплексном поле С
По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.
Как найти квадратный корень? Свойства, примеры извлечения корня. Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры
Что такое квадратный корень?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно “не очень. ”
И для тех, кто “очень даже. “)
Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение – есть и вычитание. Есть умножение – есть и деление. Есть возведение в квадрат. Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня ) в математике обозначается вот таким значком:
Сам значок называется красивым словом “радикал “.
Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах .
Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:
А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:
Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры :
Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.
Решили? Действительно, уж куда проще-то?!
Но. Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?
Тосковать начинает человек. Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень .
Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах.
Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!
Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию – возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться.
В этом и есть сложность извлечения корней . Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком – да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.
Этот сложный творческий процесс – подбор ответа – сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 – вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да.
Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый – выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй – решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.
И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно.
Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни – думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.
Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!
Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.
Попробуем вычислить вот такой корень:
Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.
Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот. Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт – сами узнаете.
Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:
Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число – не имеет смысла ! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:
Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!
Зато из всех остальных – можно. Например, вполне можно вычислить
На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить. Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!
Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:
Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух – это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное. Вот оно:
Что интересно, эта дробь не кончается никогда. Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это – самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными . Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:
Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:
то так и оставляем. Это и будет ответ.
Нужно чётко понимать, что под значками
Конечно, если корень из числа извлекается ровно , вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например
вполне себе полноценный ответ.
И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:
Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.
Пунктик третий. Самый хитрый.
Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах. Разберёмся с этим пунктиком как следует!
Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!
Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два – слышу недовольные ответы.
Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4. А между тем, ответ
правильный, а ответ
грубейшая ошибка. Вот так.
Так в чём же дело?
Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит. Это тоже корень квадратный из четырёх.
Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: из числа а – это неотрицательное число, квадрат которого равен а . Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни – арифметические . Хотя особо об этом не упоминается.
Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше – не возиться с отрицательными результатами. Это ещё не путаница.
Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.
Уравнение простое, пишем ответ (как учили):
Такой ответ (совершенно правильный, кстати) – это просто сокращённая запись двух ответов:
Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень – число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов – отрицательный ! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням. Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:
Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня . Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) – число всё равно неотрицательное! А знаки – это результат решения уравнения . Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.
Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:
Потому, что это – арифметический квадратный корень .
Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:
то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):
Потому, что это – решение уравнения.
Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор. извините, камни!)
Всё это – в следующих уроках.
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .
Комплексные числа
Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:
Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если
, 
,
где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.
Обобщения
Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц , функций , операторов и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция .
Квадратный корень в информатике
Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).
Алгоритмы нахождения квадратного корня
Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.
Разложение в ряд Тейлора
Арифметическое извлечение квадратного корня
Для квадратов чисел верны следующие равенства:
То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Грубая оценка
Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S
Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней
Готовиться с нами – ЛЕГКО!
Эффективное решение существует!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b) , при возведении которого в квадрат мы получим число (a) : [sqrt a=bquad text<то же самое, что >quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0) .
(bullet) Чему равен (sqrt<25>) ? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt<25>=5) (так как (25=5^2) ).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a) , а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt<-25>) , (sqrt<-4>) и т.п. не имеют смысла.
Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20) : [begin
Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt
Пример: (sqrt<32>cdot sqrt 2=sqrt<32cdot 2>=sqrt<64>=8) ; (sqrt<768>:sqrt3=sqrt<768_3>=sqrt<256>=16) ; (sqrt<(-25)cdot (-64)>=sqrt<25cdot 64>=sqrt<25>cdot sqrt<64>= 5cdot 8=40) . (bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt<44100>) . Так как (44100:100=441) , то (44100=100cdot 441) . По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49) , то есть (441=9cdot 49) .
Таким образом, мы получили: [sqrt<44100>=sqrt<9cdot 49cdot 100>= sqrt9cdot sqrt<49>cdot sqrt<100>=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot sqrt2) ). Так как (5=sqrt<25>) , то [5sqrt2=sqrt<25>cdot sqrt2=sqrt<25cdot 2>=sqrt<50>] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2) ,
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a) .
Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a) . Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a) , то есть (4sqrt2) .
Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt <> ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2) , поэтому (sqrt<16>=4) . А вот извлечь корень из числа (3) , то есть найти (sqrt3) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt<15>) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14) ), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7) ) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|) , равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3) . 
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a) .
Пример: (|5|=5) ; (qquad |sqrt2|=sqrt2) . (bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a) .
Пример: (|-5|=-(-5)=5) ; (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|) . (bullet) Имеют место следующие формулы: [
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt
Источники:
http://www.syl.ru/article/143743/mod_kak-nayti-kvadratnyiy-koren-svoystva-primeryi-izvlecheniya-kornya
http://voda58.ru/kak-naiti-kvadratnyi-koren-svoistva-primery-izvlecheniya-kornya.html
http://shkolkovo.net/theory/kvadratnyj_koren_dejstviya_s_kvadratnymi_kornyami_modul_sravnenie_kvadratnyh_kornej
Загрузка...
