Что значит кратное число. Кратное

Какие числа кратны 10

Содержание статьи

• Какие числа кратны 10
• Как найти количество делителей
• Как найти наименьшее общее кратное чисел

Термин «кратность» относится к области математики: с точки зрения этой науки, он означает количество раз, которое определенное число входит в состав другого числа.

Понятие кратности

Такое понимание термина «кратность» влечет за собой выведение из него нескольких важных следствий. Первое из них – то, что любое число может иметь неограниченное количество кратных ему чисел. Это связано с тем, что фактически для того, чтобы получить кратное некоторому числу другое число, необходимо первое из них умножить на любое целое положительное значение, которых, в свою очередь, имеется бесконечное множество. Например, кратными числу 3 являются числа 6, 9, 12, 15 и другие, получаемые умножением числа 3 на любое целое положительное число.

Второе важное свойство касается определения наименьшего целого числа, являющегося кратным рассматриваемому. Так, наименьшим кратным по отношению к любому числу является само это число. Это связано с тем, что наименьшим целым результатом деления одного числа на другое является единица, а именно деление числа само на себя и обеспечивает этот результат. Соответственно, число, кратное рассматриваемому, не может быть меньше, чем само это число. Например, для числа 3 наименьшим кратным числом будет 3. При этом определить наибольшее число, кратное рассматриваемому, фактически невозможно.

Числа, кратные 10

Числа, кратные 10, обладают всеми перечисленными свойствами наравне с другими кратными числами. Так, из перечисленных свойств следует, что наименьшим числом, кратным 10, является само число 10. При этом, поскольку число 10 является двузначным, можно сделать вывод, что кратным числу 10 могут быть только числа, состоящие не менее чем из двух знаков.

Для того чтобы получить другие числа, кратные 10, необходимо число 10 умножить на любое целое положительное число. Таким образом, в перечень чисел, кратных 10, войдут числа 20, 30, 40, 50 и так далее. Следует обратить внимание, что все полученные числа должны без остатка делиться на 10. При этом определить наибольшее число, кратное 10, как и в случаях с другими числами, невозможно.

Кроме того, обратите внимание, что существует простой практический способ определить, является ли конкретное рассматриваемое число кратным 10. Для этого следует выяснить, какова его последняя цифра. Так, если она равна 0, рассматриваемое число будет кратным 10, то есть может быть без остатка разделено на 10. В противном случае число не является кратным 10.

Что значит кратно числу? Как это понять?

В заданиях по математике можно встретить фразы: “найдите число, кратное. ” Иногда эта формулировка может вызвать непонимание. Что значит кратно? Это значит, что одно число делится на другое целиком, без остатка. Приведем пример: Найти число, кратное 2. Это значит, что число должно без остатка делиться на 2. Ответом может быть любое четное число.

Приведем еще пример: Число, кратное 5. Что это за число? Например, 10, 35, 55, 60 и все другие, которые делятся на 5 без остатка.

Про кратность можно сказать и так: Число 16 кратно 4 (шестнадцать кратно четырем) – это значит, что 16 делится без остатка на 4.

Кратность в математике означает делимость.

Кратно, кратный, сократить – это родственные слова, образованные от старинного слова «крат», то есть «раз». Сейчас это слово употребляется только в выражении «во сто крат», то есть «в сто раз».

Число Х кратно числу Y – значит, число Х можно разделить (сократить) на Y, то есть Х делится на Y без остатка.

Кратное – это число, которое делится на данное число.

«Кратно» – краткое прилагательное от «кратный».

12 кратно числу 3, то есть 12 можно сократить на 3, разделить на 3 без остатка.

20 кратно числу 5, то есть 20 можно сократить на 5, разделить на 5 без остатка.

Кратно какому-либо числу может быть только другое определённое (меньшее первому) число, обладающее соответствующими свойствами: кратное число должно быть ровно во сколько-то крат (раз) больше другого. Это арифметическое понятие.

• Число 26 кратно числу 13. Оно больше 13 ровно в два раза.
• Число 100 кратно числу 5, потому что оно больше 5 ровно в 20 раз.
• Число 101 не кратно числам 10 или 5, потому что при делении 101 на 10 или на 5 возникает остаток 1, который и препятствует кратности.

Говорить, например, о том, что число 5 кратно сотне, не совсем верно. Кратное число – это большее, но не меньшее. Кратное число – не делитель, а делимое. Так считать удобнее и грамотнее. 1 не кратно 1000, а вот 1000 кратно 1.

Слово “кратно” напоминает слово “сократить”. Вспомните привычную фразу: “количество сократилось вдвое” – это значит, что изначальное число разделили на два. В математике слово “кратно” можно заменить на слово “делится” (причем подразумевается деление без остатка), например:

десять кратно двум = десять делится на два

восемь кратно четырем = восемь делится на четыре

То есть кратное – это не делитель, а делимое, “кратное” = “делящиеся”. Часто задача звучит так: “Найти наименьшее число, кратное двум и семи”. Это значит, что мы должны узнать, какое число без остатка делится и на два и на семь. Очевидно, что это – 14.

Иногда слово “кратное” применяют не только в учебниках математики, но в разговорах, касающихся экономических или других показателей.

Делители и кратные числа: определения и примеры

Эта статья посвящена делителям и кратным. Здесь мы объясним данные понятия, сформулируем определения, приведем примеры делителей и различных кратных чисел (рассмотрим пока только целые числа). Отдельно остановимся на делителях 1 и – 1 , а также делителях и кратных 0 .

Основные определения

Для начала сформулируем определения для целого числа.

Делитель целого числа a есть такое число b , на которое можно разделить a без остатка.

Если вспомнить такое понятие, как делимость, то данную формулировку можно слегка изменить.

Делитель целого числа a – это такое число b , которое в сочетании с некоторым числом q делает справедливым равенство a = b · q .

Когда мы говорим о числе b , являющимся делителем целого числа a , это значит, что b делит a , что можно записать кратко как b | a или b a .

Согласно определению целых чисел, а также свойствам умножения целых чисел, любое целое число можно разделить на единицу и на себя, то есть a = a · 1 и a = 1 · a . Зная свойства умножения, мы можем также вывести равенства a = ( − a ) · ( − 1 ) и a = ( − 1 ) · ( − a ) . Из них следует, что у a будет еще два делителя, равных − a и − 1 . Следовательно, целое число a мы всегда можем разделить на a , − a , 1 и − 1 . К примеру, число 12 делится на 12 , – 12 , 1 и – 1 .

Остановимся на делителях таких чисел, как нуль, единица и минус единица. Поскольку нам знакомы свойства делимости, то мы можем заключить, что делителем 0 может стать любое целое число (включая сам 0 ), а единица и минус единица имеют только делители, равные 1 и − 1 соответственно.

Таким образом, 0 всегда будет иметь бесконечно большое число делителей в виде целых чисел (сюда входит и нуль), а у 1 и − 1 будут только 2 делителя – единица и минус единица. Минимальное количество делителей для любого целого числа a равно четырем. В их число входят a , − a , 1 и − 1 .

Какие еще можно привести примеры делителей в случае с целыми числами?

Так, 8 можно разделить на – 2 , поскольку равенство 8 = ( − 2 ) · ( − 4 ) верное (если нужно, повторите материал об умножении целых чисел). Восьмерку мы также можем разделить на − 8 , − 4 , − 1 , 1 , 2 , 4 , 8 , а вот – 3 не входит в состав делителей, поскольку числа q , при котором равенство 8 = ( − 3 ) · q было бы верным, не существует. То есть разделить 8 на – 3 мы можем только с остатком. Кроме указанных делителей, мы не можем разделить восьмерку ни на какие целые числа без остатка.

Рассмотренные выше примеры говорят нам о том, что в качестве делителей целого числа могут выступать не только положительные, но и отрицательные целые числа. Эта возможность обоснована одним из свойств делимости: если b – делитель целого числа a , то и противоположное число – b тоже будет его делителем. Следовательно, можно разбирать только случаи с положительными делителями и просто распространять полученные результаты на отрицательные.

Вспомним также и другое свойство делимости, которое гласит, что если целое число b будет делителем a , то a можно разделить и на – b , следовательно, множества делителей для положительного и отрицательного a будут совпадать. Это правило опять же подтверждает возможность работы только с положительными числами для простоты и краткости вычислений.

Далее мы будем говорить лишь о положительных делителях целых положительных (натуральных) чисел.

У единицы есть только один положительный делитель – сама единица. Этим 1 отличается от остальных натуральных чисел, поскольку другие имеют не меньше 2 делителей: кроме единицы их можно разделить на числа, равные им самим. В зависимости от того, имеются ли делители, отличные от самого числа и единицы, различают числа простые и составные.

Наименьший положительный делитель числа a – это единица (если само число a не равно 1 ),
а число a – наибольший положительный делитель самого себя (подробнее о сравнении трех и более натуральных чисел мы писали в отдельной статье). Таким образом, для любого натурального a положительный делитель b будет соответствовать условию 1 ≤ b ≤ a . Важную роль здесь также играет наибольший общий делитель (НОД), о котором мы поговорим отдельно.

Понятие кратных чисел

Начнем, как всегда, с определения.

Число a называется кратным b , если его можно разделить на b без остатка.

Другими словами, кратное b число является некоторым числом a , для которого будет верным равенство a = b · q (здесь q – некоторое целое число). Если у нас есть a , которое по отношению к b является кратным, мы говорим, что a кратно b . Записать это можно так: a ⋮ b .

Между кратным и делимым существует вполне определенная связь. На самом деле, если a является кратным b , то b будет делителем данного числа, и наоборот.

Возьмем несколько примеров кратных чисел.

Так, – 12 будет кратно трем, поскольку − 12 = 3 · ( − 4 ) . У тройки есть много других кратных, например, 0 , 3 , − 3 , 6 , − 6 , 9 , − 9 и др. А 5 не будет кратным 3 , поскольку нет такого q , при котором было бы верным равенство 7 = 3 · q .

Согласно определению кратных чисел, 0 будет кратным по отношению к любому b , в том числе и нулевому. Доказательством является равенство 0 = b · 0 , ведь умножение любого числа на нуль дает в итоге нуль.

Также уточним, что для любого целого числа b существует бесконечно много кратных, и любое целое число, соответствующее произведению b · q , где q – любое целое число, будет кратным b .

Наименьшее положительное кратное положительного числа есть само это число. Обратите внимание, что наименьшее кратное в этом случае не нужно путать с наименьшим общим кратным для нескольких чисел (НОК).

Далее будут рассмотрены другие случаи с натуральными кратными целых положительных чисел.

Источники:

http://www.kakprosto.ru/kak-885308-kakie-chisla-kratny-10-

http://www.bolshoyvopros.ru/questions/2672109-chto-znachit-kratno-chislu-kak-eto-ponjat.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/deliteli-i-kratnye-chisla/