Арифметическая прогрессия формулы а1. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a₁, a₂, . , a_n, . , для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

где d – это разность арифметической прогрессии.

Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19, . является арифметической прогрессией с разностью d = 4.

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является положительной Пример: последовательность чисел 2, 5, 8, 11, 14, . является возрастающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = 3.
2. Убывающая— арифметическая прогрессия, у которой разность является отрицательной Пример: последовательность чисел 100, 98, 96, 94, 92, . является убывающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = –2.
3. Стационарная— арифметическая прогрессия, у которой разность равно нулю Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23, . является стационарной арифметической прогрессией, так как ее разность d = 0.

Основные формулы арифметической прогрессии

Члены арифметической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности:

Следующий член арифметической прогрессии можно найти по предыдущему члену и разности:

Предыдущий член арифметической прогрессии можно найти по следующему члену и разности:

Также член арифметической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Сумма арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Решение задач на арифметическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных арифметической прогрессии.

Доказать, что последовательность, заданная формулой a_n = 5 + 4n, является арифметической.

Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, достаточно получить следующий член этой последовательности и найти разность.

a_n+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n

d = a_n+1 – a_n = 9 + 4n – (5 + 4n) = 9 + 4n – 5 – 4n = 4

Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти, если a₁ = -18 и d = 5

a₂₀ = a₁ + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77

S₁₀ = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, . . Найти номер этого члена.

Пусть n – номер, который нужно найти.

Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n

В арифметической прогрессии a₈ = 22 и a₁₄ = 34. Найти формулу для n-ого члена.

Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим:

Подставив в эти выражения a₈ и a₁₄ получаем систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d:

Подставляем d в первое уравнение для получения a₁:

Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:

a_n = 8 + 2 ⋅ (n – 1) = 8 + 2n – 2 = 6 + 2n

Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, . , если их сумма равна 81.

Из заданной арифметической прогрессии получаем a₁ и d:

И подставляем известные данные в формулу суммы:

Как найти арифметическую прогрессию? Арифметическая прогрессия примеры с решением

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Арифметическая или алгебраическая прогрессия – это такой набор упорядоченных рациональных чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на некоторую постоянную величину. Эта величина называется разностью. То есть, зная любой член упорядоченного ряда чисел и разность, можно восстановить всю арифметическую прогрессию.

Приведем пример. Следующая последовательность чисел будет прогрессией арифметической: 4, 8, 12, 16, . поскольку разность в этом случае равна 4 (8 – 4 = 12 – 8 = 16 – 12). А вот набор чисел 3, 5, 8, 12, 17 уже нельзя отнести к рассматриваемому виду прогрессии, поскольку разность для него не является постоянной величиной (5 – 3 ≠ 8 – 5 ≠ 12 – 8 ≠ 17 – 12).

Важные формулы

Приведем теперь основные формулы, которые понадобятся для решения задач с использованием арифметической прогрессии. Обозначим символом a_n n-й член последовательности, где n – целое число. Разность обозначим латинской буквой d. Тогда справедливы следующие выражения:

1. Для определения значения n-го члена подойдет формула: a_n = (n-1)*d+a₁.
2. Для определения суммы первых n слагаемых: S_n = (a_n+a₁)*n/2.

Чтобы понять любые примеры арифметической прогрессии с решением в 9 классе, достаточно запомнить эти две формулы, поскольку на их использовании строятся любые задачи рассматриваемого типа. Также следует не забывать, что разность прогрессии определяется по формуле: d = a_n – a_n-1.

Далее, в статье приводятся различные примеры применения этих выражений.

Пример №1: нахождение неизвестного члена

Приведем простой пример прогрессии арифметической и формул, которые необходимо использовать для решения.

Пусть дана последовательность 10, 8, 6, 4, . необходимо в ней найти пять членов.

Из условия задачи уже следует, что первые 4 слагаемых известны. Пятое можно определить двумя способами:

1. Вычислим для начала разность. Имеем: d = 8 – 10 = -2. Аналогичным образом можно было взять любые два других члена, стоящих рядом друг с другом. Например, d = 4 – 6 = -2. Поскольку известно, что d = a_n – a_n-1, тогда d = a₅ – a₄, откуда получаем: a₅ = a₄ + d. Подставляем известные значения: a₅ = 4 + (-2) = 2.
2. Второй способ также требует знания разности рассматриваемой прогрессии, поэтому сначала нужно определить ее, как показано выше (d = -2). Зная, что первый член a₁ = 10, воспользуемся формулой для n числа последовательности. Имеем: a_n = (n – 1) * d + a₁ = (n – 1) * (-2) + 10 = 12 – 2*n. Подставляя в последнее выражение n = 5, получаем: a₅ = 12-2 * 5 = 2.

Как видно, оба способа решения привели к одному и тому же результату. Отметим, что в этом примере разность d прогрессии является отрицательной величиной. Такие последовательности называются убывающими, так как каждый следующий член меньше предыдущего.

Пример №2: разность прогрессии

Теперь усложним немного задачу, приведем пример, как найти разность прогрессии арифметической.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a_n = (n – 1) * d + a₁. Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a₁ и a₇, имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 – 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a₁ = 6, a₂ = 6 + 2=8, a₃ = 8 + 2 = 10, a₄ = 10 + 2 = 12, a₅ = 12 + 2 = 14, a₆ = 14 + 2 = 16, a₇ = 18.

Пример №3: составление прогрессии

Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, – 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.

Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a₁ = -4 и a₅ = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей. Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a₅ = a₁ + 4 * d. Откуда: d = (a₅ – a₁)/4 = (5 – (-4)) / 4 = 2,25. Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.

Теперь добавим найденную разность к a₁ и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a₁ = – 4, a₂ = – 4 + 2,25 = – 1,75, a₃ = -1,75 + 2,25 = 0,5, a₄ = 0,5 + 2,25 = 2,75, a₅ = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.

Пример №4: первый член прогрессии

Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a₁₅ = 50 и a₄₃ = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.

Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a₁ и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a₁₅ = a₁ + 14 * d и a₄₃ = a₁ + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a₁ и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a₁, а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a₁ = a₁₅ – 14 * d = 50 – 14 * d; второе уравнение: a₁ = a₄₃ – 42 * d = 37 – 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 – 14 * d = 37 – 42 * d, откуда разность d = (37 – 50) / (42 – 14) = – 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).

Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a₁. Например, первым: a₁ = 50 – 14 * d = 50 – 14 * (- 0,464) = 56,496.

Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a₄₃ = a₁ + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.

Пример №5: сумма

Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.

Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, . Как рассчитать сумму 100 этих чисел?

Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter. Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1. Применяя формулу для суммы, получаем: S_n = n * (a₁ + a_n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопытно отметить, что эта задача носит название “гауссовой”, поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий математик Гаусс, еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд. Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = . а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.

Пример №6: сумма членов от n до m

Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, . нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.

Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.

Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m – целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:

Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член a_m (в случае взятия разности он вычитается из суммы S_n), то получим необходимый ответ на задачу. Имеем: S_mn = S_n – S_m + a_m =n * (a₁ + a_n) / 2 – m *(a₁ + a_m)/2 + a_m = a₁ * (n – m) / 2 + a_n * n / 2 + a_m * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для a_n и a_m. Тогда получим: S_mn = a₁ * (n – m) / 2 + n * (a₁ + (n – 1) * d) / 2 + (a₁ + (m – 1) * d) * (1 – m / 2) = a₁ * (n – m + 1) + d * n * (n – 1) / 2 + d *(3 * m – m 2 – 2) / 2.

Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма S_mn зависит только от n, m, a₁ и d. В нашем случае a₁ = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: S_mn = 301.

Некоторые советы при решении задач с арифметической прогрессией

Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.

Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше. Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле S_mn = n * (a₁ + a_n) / 2 – m * (a₁ + a_m) / 2 + a_m, и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены a_n и a_m).

Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.

Арифметическая прогрессия формулы а1. Арифметическая прогрессия

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

а_n+1 – a_n = d. Или иначе: a_n+1 = a_n + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула n–го члена арифметической прогрессии (а_n), первый член которой равен а₁ и разность равна d:

а_n = а₁ + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

1. В арифметической прогрессии а₁ = 2 и d = 3. Найдите а₆₅. (Ответ: 194.)
2. В арифметической прогрессии а₈₆ = 100 и d = –4. Найдите а₁. (Ответ: 440.)
3. В арифметической прогрессии а₁ = 65 и а₂₁ = –55. Найдите d. (Ответ: –6.)
4. В арифметической прогрессии а₁ = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?

В данной прогрессии а₁ = 1,5 и d = 4,5 – 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: а_n = 1,5 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3_n – 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие а_n > 1000. Для этого решим неравенство 3n – 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а₃₃₄: имеем a₃₃₄ = 3 • 334 – 1,5 = 1000,5).

Способ 1. Выразив а₁₅ и a₂₀ через а₁ и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а₁ = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a₃₀, a именно: а₃₀ = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а₂₀ через а₁₅ и d: a₂₀ = а₁₅ + 5d. Подставив значения а₂₀ и а₁₅, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а₃₀. Это можно сделать, например, так:
а₃₀ = а₂₀ + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (а_n) – арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

а_n = а_m + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а₂₀ через а₅:
а₂ = а₁ + 19d = (a₁ + 4d) + 15d = а₅ + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Если последовательность – арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость n–го члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

a_n = a₁ + d(n – 1) = d_n + (a₁ – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а₁ = 1 и d = 3, то а_n = 1 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а₁ = 1, а_n = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив S_n через а₁, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а₁ = 12, а_n = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу а_n = а₁ + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n – 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

Это конспект по математике на тему «Арифметическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Источники:

http://worksbase.ru/matematika/teoriya/8-arifmeticheskaya-progressiya.html

http://fb.ru/article/424391/kak-nayti-arifmeticheskuyu-progressiyu-arifmeticheskaya-progressiya-primeryi-s-resheniem

Арифметическая прогрессия