Теоретический раздел. Парадокс береговой линии

Парадокс береговой линии

Парадокс береговой линии заключается в том нелогичном наблюдении, что береговая линия суши не имеет четко определенной длины. Это связано с фракталоподобным свойством береговой линии. Первое зарегистрированное наблюдение этого явления было сделано Льюисом Фрай Ричардсоном. Более конкретно, длина береговой линии зависит от метода, используемого для измерения.

С суши имеет особенности на всех уровнях, от сотни километров в размере до крошечных долей миллиметра и ниже, нет никаких очевидных ограничений на размер наименьших особенностей, и, следовательно, ни один четко определенный периметр суши не зафиксирован. Различные аппроксимации существуют при определенных допущениях минимального размера.

Примером парадокса служит всем известное побережье Великобритании . Если береговая линия Великобритании измеряется с использованием фрактальной единиц в 100 км (62 мили) в длину, то длина береговой линии составляет около 2800 км (1700 миль). С единицей в 50 км (31 миль), общая протяженность составляет около 3400 км (2100 миль), примерно на 600 км (370 миль) длиннее.

Основная концепция длины происходит от Евклидова расстояния . В знакомой евклидовой геометрии , прямая линия представляет кратчайшее расстояние между двумя точками; эта линия имеет только одну конечную длину. Геодезическая длина на поверхности сферы, называемая большой длиной круга, измеряется по поверхности кривой, которая существует в плоскости, в содержащей конечные точки пути и центр сферы. Длина основной кривой является более сложной, но также может быть рассчитана. Измеряя с помощью линейки, человек может аппроксимировать длины кривой добавлением суммы прямых линий, соединяющих точки:

Используя несколько прямых приближенных к длине кривой будет произведена низкая оценка. Использование все более и более коротких линий будет производить сумму длин, которая приближается к истинной длине кривой. Точное значение этой длины можно установить с помощью исчисления, – раздела математики, позволяющим рассчитывать бесконечно малые расстояниях. Следующая анимация иллюстрирует данный пример:

Однако, не все кривые могут быть измерены таким образом. Фрактальной по определению считается кривая , со сложными изменениями шкалы измерения. Принимая во внимание приближение гладкой кривой ближе и ближе к одному значению по мере увеличения точности измерений, измеренное значение фракталов может существенно измениться.

Длина ” истинного фрактала ” всегда стремится к бесконечности. Однако , эта цифра основана на идее, что пространство может быть подразделено до неопределенности, т.е. быть неограниченным. Это фантастика, которая лежит в основе евклидовой геометрии и служит в качестве полезной модели в повседневных измерениях, почти наверняка не отражает изменяющиеся реалии «пространства» и «расстояния» на атомном уровне. Береговые линии отличаются от математических фракталов, они образуются из многочисленных мелких деталей, которые создают модели только статистически.

Из практических соображений , можно использовать измерение при соответствующем выборе минимального размера порядковой единицы. Если береговая линия измеряется в километрах, то небольшие вариации намного меньше, чем в одном километре и их легко игнорировать. Для измерения береговой линии в сантиметрах, малюсенькие изменения размера должны быть рассмотрены. Использование различных методик измерения для различных единиц также разрушает обычную уверенность, что блоки могут быть преобразованы с помощью простого умножения. Крайние случаи береговой линии включают парадокс фьордов тяжелых побережья Норвегии, Чили и Тихоокеанского побережья Северной Америки.

Незадолго до 1951 года, Льюис Фрай Ричардсон , в исследовании возможного влиянии длины границы на вероятность войны, заметил, что португальцы представили свои измеренные границе с Испанией , длину в 987 км, но Испания сообщила ее как 1214 км. Это было началом проблемы береговой линии, которую математически сложно измерить ввиду нерегулярности самой линии. Преобладающим методом оценки длины границы (или береговой линии) было наложение N количества равных отрезков с длиной ℓ с разделителями на карте или аэрофотоснимков. Каждый конец сегмента должен быть на границе. Исследовав расхождения в оценке границ, Ричардсон обнаружил то, что сейчас называется эффектом Ричардсона: сумма сегментов обратно пропорциональна общей длине сегментов. По сути, тем короче линейка, тем больше измеренной границы; испанскими и португальскими географами граница была просто измерена с помощью разной длины линеек. В результате поразило Ричардсона то, что, при определенных обстоятельствах, когда длина линейки ℓ стремится к нулю, длина береговой линии также стремится к бесконечности. Ричардсон считает, что на основании геометрии Евклида , береговая линия будет подходить к фиксированной длине, как делать подобные оценки правильных геометрических фигур. Например, периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, приближается к окружности с увеличением числа сторон (и уменьшение длины одной стороны). В геометрической теории меры такая гладкая кривая, как круг, к которому могут быть приближены небольшие прямые сегменты с определенным пределом, называется спрямляемой кривой.

Более десяти лет после того, как Ричардсон завершил свою работу, Бенуа Мандельброт разработал новую область математики, – фрактальную геометрию для описания именно таких неспрямляемых комплексов в природе в виде бесконечной береговой линии. Собственное определение новой фигуры, выступающей в качестве основания для его исследования: Я придумал фрактал от латинского прилагательного « фрагментированный » чтобы создать нерегулярные фрагменты. Поэтому целесообразно . что, в дополнение к “фрагментированным” . разорванные должно также означать “нерегулярные”.

Ключевым свойством фрактала есть самоподобие, то есть, в любом масштабе проявляется та же общая конфигурация. Береговая линия воспринимается как заливы, чередующиеся с мысами. В гипотетической ситуации, данное побережье обладает этим свойством самоподобия, независимо от того, как сильно любой небольшого участка побережья проявляется в увеличенном виде, аналогичная картина меньших заливов и мысов накладывается на большие заливы и мысы, вплоть до песчинки. При этом масштабы береговой линии мгновенно меняется в потенциально бесконечно длинную нить со случайным расположением бухт и мысов формируемых из небольших объектов. В таких условиях (в отличие от гладких кривых) Мандельброт утверждает, “длина береговой линии оказывается неуловимым понятием, которая скользит между пальцами тех, кто хочет понять его. “Существуют различные виды фракталов. Береговая линия с указанными параметрами находится в “первой категории фракталов, а именно кривые с фрактальной размерностью больше 1.” Это последнее утверждение представляет собой расширение Мандельбротом мысли Ричардсона.

Заявление Мандельброта Эффекта Ричардсона:

где L, длина береговой линии, функция единицы измерения, ε, аппроксимируется выражением. F является постоянной и D это параметр Ричардсона. Он не дал теоретическое объяснение, но Мандельброт определил D с нецелой формой размерности Хаусдорфа , позже – фрактальной размерности. Перегруппировав правую сторону выражения получаем:

где Fε-D должно быть количеством единиц ε, необходимых для получения L. Фрактальная размерность – число размеров фрактала используемых для аппроксимации фрактала: 0 для точки, 1 для линии, 2 для площади. D в выражении находится между 1 и 2, для побережья обычно меньше, чем 1,5. Ломаное измерение побережья не распространяется в одном направлении и не представляют собой область, но является промежуточным. Это можно интерпретировать как толстые линии или полосы шириной 2ε. Более ломаные береговые линии имеют большую D и, следовательно, L больше, за тот же ε. Мандельброт показал, что D не зависит от ε.

Теоретический раздел

Фракталами называются геометрические объекты: линии поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие, как основная характеристика означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно растяжений, т.е. ему, как говорят, присуща дилатационная симметрия. Она предполагает неизменность основных геометрических особенностей фрактала при изменении масштаба.

Конечно, для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины , такой, что на расстояниях его основное свойство – самоподобие – пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин , где – характерный геометрический размер объектов, это свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах l, удовлетворяющих соотношении . Такие ограничения являются довольно естественными, потому что, когда мы приводим в качестве примера фрактала – изломанную, негладкую траекторию броуновской частицы, то мы понимаем, что образ является очевидной идеализацией. Дело в том, что на маленьких масштабах сказывается конечность времени соударения. При учете этих обстоятельств, траектория броуновской частицы становится плавной кривой.

Отметим, что свойство самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. Если вместо детерминированного способы построения включить в алгоритм их создания некоторый элемент случайности (как это бывает, например, во многих процессах диффузионного роста кластеров, электрическом пробое и т.д.), то возникают так называемые случайные фракталы. Основное их отличие от регулярных состоит в том, что свойства самоподобия справедливы только после соответствующего усрединения по всем статистически независимым реализациям объекта. При этом увеличенная часть фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают. Но изучаемый нами фрактал является одним из классических фракталов, а поэтому регулярным.

Длина береговой линии

Первоначально понятие фрактала возникло в физике в связи с задачей о нахождении береговой линии. При ее измерении по имеющейся карте местности выяснилась любопытная деталь – чем более крупномасштабная берется карта, тем более длинной оказывается эта береговая линия.

Рисунок 1 – Карта береговой линии

Пусть, например, расстояние по прямой между расположенными на береговой линии точками A и B равно R (см. рис. 1). Тогда, чтобы измерить длину береговой линии между этими точками, мы расставим по берегу жестко связанные друг с другом вешки так, что расстояние между соседними вешками составляло бы, например, l=10км. Длину береговой линии в километрах между точками A и B мы примем тогда равной чиcле вешек минус одна, помноженному на десять. Следующее измерение этой длины мы произведем подобным же образом, но расстояние между соседними вешками сделаем уже равным l=1км.

Оказывается, что результаты этих измерений будут различными. При уменьшении масштаба l мы будем получать все большие значения длины. В отличие от гладкой кривой, линия морского побережья оказывается зачастую настолько изрезанной (вплоть до самых маленьких масштабов), что с уменьшением звена l величина L – длина береговой линии – не стремится к конечному пределу, а увеличивается по постепенному закону

где D – некоторый показатель степени, который называется фрактальной размерностью береговой линии. Чем больше величина D, тем более изрезанной является эта береговая линия. Происхождение зависимости (1) интуитивно понятно: чем меньший масштаб мы используем, тем меньшие детали побережья будут учтены и дадут вклад в измеряемую длину. Наоборот, увеличивая масштаб, мы спрямляем побережье, уменьшая длину L.

Таким образом, очевидно, что для определения длины береговой линии L с помощью жесткого масштаба l (например, с помощью циркуля с фиксированным раствором), необходимо сделать N=L/l шагов, причем величина L меняется c l так, что N зависит от l по закону . В результате с уменьшением масштаба, длина береговой линии неограниченно возрастает. Это обстоятельство резко отличает фрактальную кривую от обычной гладкой кривой (типа окружности, эллипса), для которой предел длины аппроксимирующей ломаной L при стремлении к нулю длины ее звена l конечен. В результате для гладкой кривой ее фрактальная размерность D=1, т.е. совпадает с топологической.

Приведем величины фрактальных размерностей D для различных береговых линий. Например, для Британских островов D ? 1. 3, а для Норвегии D ? 1. 5. Фрактальная размерность побережья Австралии D ? 1. 1. Близкими к единице оказываются и фрактальные размерности других побережий.

Выше было введено понятие о фрактальной размерности береговой линии. Дадим теперь общее определение этой величины. Пусть d – обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект (d=1 – линия, d=2 – плоскость, d=3 – обычное трехмерное пространство). Покроем теперь этот объект целиком d-мерными “шарами” радиуса l. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N (l) шаров. Тогда, если при достаточно малых l величина N (l) меняется по степенному закону:

то D – называется Хаусдорфовой или фрактальной размерностью этого объекта.

Теоретический раздел. Парадокс береговой линии

Парадокс береговой линии отмечает, что мера береговой линии суши становится все больше, чем меньше единица, используемая для ее измерения, как видно здесь .

Я не понимаю, почему измерение не приближается к числу, когда единица приближается к нулю?

Изменить: Я думаю, что я понял это, обсуждая с другом, поэтому я постараюсь написать здесь «ELI5».

Наличие неровностей удлиняет береговую линию, поэтому у Норвегии такая длинная береговая линия. Представьте, что вы приближаетесь к норвежскому фьорду и обнаруживаете, что он сделан из небольших фьордов. Это значительно увеличит береговую линию. Если вы продолжите увеличивать меньшие фьорды и обнаружите, что они сделаны из еще меньших фьордов, это увеличит длину еще раз. В реальном мире нет такой микроскопической точки, в которой эти «фьорды» перестают происходить, береговая линия нерегулярна, независимо от того, насколько вы малы. Это делает это так, поскольку ваша единица приближается к 0, общая длина приближается к ♾.

Это все-таки немного странно, чтобы обернуть мою голову вокруг, но я вроде понимаю.

Поскольку нет интересного масштаба, на котором заканчивается шероховатость, измерение просто приближается к бесконечности.

Имейте в виду, что это всего лишь математическая модель; например, он не учитывает форму атомных электронных поверхностей, основанную на квантовой физике.

Итак, в принципе, наш масштаб равен 1: n, а n приближается к бесконечности? Или, по крайней мере, пока мы не опустимся до атомного масштаба?

Даже тогда, вы просто считаете атомы на плоскости?

Молекулы считаются атомами?

Водород имеет радиус, отличный от углерода, так что теперь мне нужен элементный пробой для правильных радиусов? Даже тогда радиус, как мы его знаем, довольно размыт, поэтому ваша ошибка будет +/- 50%, так что же было получено?

Посмотри это видео. Лучшее объяснение парадокса береговой линии, которое я видел

Это было довольно хорошо, спасибо.

Что если мы можем использовать длину Планка?

Вы знаете, я действительно задавался вопросом это.

Тогда мера длины береговой линии будет больше, чем если бы мы использовали более крупные единицы измерения.

Потому что они мультипликативные инверсии друг друга. Итак, x / 1 → ∞. (где х в данном случае – длина). Аналогично, обратная величина равна единице длины, которая будет равна 1 / y (где y – измеренная единица измерения). который идет в ноль.

Если мы решили измерить в пикометрах. у нас был бы более тонкий масштаб, чтобы использовать, чтобы определить границу между водой и землей.

Давайте упростим это до внешней стены дома в стиле ранчо, и мы хотим определить, сколько стены на самом деле стена, а сколько окна. Итак, очевидно, мы знаем, что информация в планах дома, но допустим, что они потеряны. Таким образом, ваша стена имеет ширину 1 км и имеет несколько окон от пола до потолка. Если мы измеряем с помощью 1 км стержня, абсолютно ни на одной стене не будет окон. Если мы измеряем с помощью 1hm, мы можем обнаружить, что объем пространства, занимаемого окном, (потенциально) измерим, и всякий раз, когда мы уменьшаем единицы измерения, в которых мы измеряем, мы можем определить, что большая часть стены на самом деле является окнами.

Представьте, что у вас есть горная дорога, которая постоянно отклоняется в одну и другую сторону и идет от А до Б. Теперь, допустим, это дорога между городами, а не длинная.

Теперь представьте, что вы должны измерить его, но вы используете линейку длиной 1000 км. Вы поместите линейку в точки A и B и измерите прямую линию между ними. Это единственный способ сделать это с такой линейкой. Но очевидно, потому что дорога не прямая, вы знаете, что на самом деле она длиннее этого расстояния. (Вы должны учитывать все отклонения)

Таким образом, вы берете 10-километровую линейку, и теперь вы можете делать меньшие прямые линии, которые подходят (приблизительно) по кривым и дают вам большее расстояние, чем в первом методе.

Вы видите, куда я иду с этим? Береговая линия имеет бесконечные такие изгибы, и они опускаются до уровня песчаной пыли и даже меньше. Это означает, что мы должны использовать единицу измерения (линейку в предыдущем примере), достаточно маленькую, чтобы учесть их, но поскольку эти частицы теоретически могут быть бесконечно малыми, следовательно, береговая линия теоретически бесконечно длинна.

Источники:

http://m-rush.ru/theory/item/258-paradok

http://studbooks.net/2178744/informatika/teoreticheskiy_razdel

http://allqa.app/post/t3_bj7q86/eli5_the_coastline_paradox/