Теорема косинусов как найти косинус. Теорема косинусов для треугольника

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

1) Опустим перпендикуляр CD на сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

По теореме Пифагора

II. Если треугольник ABC — тупоугольный.

1) Опускаем перпендикуляр CD на прямую, содержащую сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

По определению косинуса,

Так как углы A и CAD — смежные, то ∠CAD=180º-∠A. По формуле приведения

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

Дальнейшая часть доказательства полностью повторяет рассуждения пункта I.

III. Если треугольник ABC — прямоугольный, где ∠A=90º, получаем теорему Пифагора (cos90º=0).

Теорема косинусов. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что же такое теорема косинусов? Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Теорема косинусов: формулировка.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

А что будет, если , скажем, острый?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов:

Теорема косинусов: доказательство.

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой . Ну вот, давай доказывать.

1 Случай: пусть .

Итак, , то есть острый.

можно выразить из треугольника (прямоугольного!) .

Пользуемся тем, что и… всё!

2 Случай: пусть <<90>^>”> .

А теперь, внимание, отличие!

– это из , который теперь оказался снаружи , а

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит, – и все! Отличие закончилось!

, – как и было, то есть:

Ну и остался последний случай.

3 Случай: пусть .

Итак, . Но тогда и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

можно кликнув по этой ссылке.

Комментарии

Приятно оформленный сайт и хорошо изложенный материал, спасибо за ваш труд

Спасибо, большое за хорошие слова!

Спасибо! Очень доступно

Спасибо, Беслан! Очень рады.

Случай, если при C 90, т.е. H лежит вне отрезка BC, не рассмотрен(

Даниил, этот случай ничем не отличается от случая “2. ∠C>90” – просто поменяйте местами точки B и C,

Спасибо! Более понятного объяснения не видела!

Ой, Лариса, как приятно слышать! Спасибо!

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов

Разделы: Математика

Цель урока:

• Повторить ранее изученный теоретический материал, изучить теорему косинусов и её следствия, учить делать теоретические обобщения.
• Развивать логику мышления при решении специально подобранных задач.
• Воспитывать потребность в доказательстве высказанной гипотезы.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Ход урока

I. Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

(Фронтальная работа с классом)

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

1. Рис.1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны длины катетов a и b.
2. Рис.1. Как найти катет a, если известны длина гипотенузы c и В.
3. Рис.1. Как найти катет b, если известны длина гипотенузы с и А.
4. Чему равен квадрат расстояния между точками А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂).
5. Рис. 2. Найти координаты точки A, если OA = a и угол между положительной полуосью OX и лучом OA равен .
6. Рис. 3. a | | b. Что вы можете сказать об углах 1 и 2. Односторонние, 1 +2 = 180° . Если 2 = , тогда 1 = 180° –
7. Чему равны: sin(180° – ) = ? cos(180° – ) = ?

III. Изучение нового материала.

Учащимся предлагается задача на готовом чертеже. Теорема синусов для решения этой задачи не подходит, поскольку из трех известных элементов треугольника не известны сторона и противолежащий угол.

Первый способ решения задачи. (Устно)

ABC,

A

Проведём CH – высоту.

1) Прямоугольный ACH:

AH = bcosA, CH =

CB 2 = a 2 = CH 2 + BH 2

a = .

Второй способ решения задачи. Координатный метод.

Решение записывают все учащиеся.

2. Запишем координаты точек: B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).

3. Найдём квадрат стороны BC:

BC 2 = a 2 = (bcosA – c) 2 + (bsinA) 2 =
= b 2 cos 2 A – 2bccosA + c 2 + b 2 sin 2 A =
= b 2 (cos 2 A + sin 2 A) + c 2 – 2bccosA =
= b 2 + c 2 – 2bccosA.

a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA – теорема косинусов
b 2 = a 2 + c 2 – 2accosB
c 2 = b 2 + a 2 – 2abcosC

Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.

Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.

Если С = 90°, то cosC = 0 и 2abcosC = 0, тогда c 2 = a 2 + b 2 .

Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов.

ABC

Возможны 2 случая:

а) A – острый, то cosA > 0,

б) A – тупой, то cosA 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA

В прямоугольном ACH: bc = bcosA. Так как A – острый, то cosA > 0, тогда a 2 = b 2 + c 2 – 2bcc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.

Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой рассмотреть самостоятельно. Следующий урок начнём с проверки этого задания. (т.к. cosA 2 = b 2 + c 2 + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.

ABC: d₁ 2 = a 2 + b 2 – 2abcosB.

ABD: d₂ 2 = a 2 + b 2 – 2abcosA = a 2 + b 2 – 2abcos(180° – B) = a 2 + b 2 + 2abcosB.

d₁ 2 + d₂ 2 = a2 + b2 – 2abcosB + a 2 + b 2 + 2abcosB = a 2 + b 2 + a 2 + b 2 .

d₁ 2 + d₂ 2 = 2 a 2 + 2 b 2 .

Вывод: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Источники:

Теорема косинусов

http://youclever.org/book/teorema-kosinusov-2

http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/610726/