Таблица первообразных интегралов.

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F ( x ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C и ∫ k · f ( x ) d x = k · ∫ f ( x ) d x можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Постоянная y = C

Степенная функция y = x p .

( x p ) ‘ = p · x p – 1

Постоянная y = C

Степенная фунция y = x p .

d ( x p ) = p · x p – 1 · d x

Показательная функция y = a x .

( a x ) ‘ = a x · ln a

В частности при a = e имеем y = e x

Показательная функция y = a x .

d ( a x ) = a x · ln α · d x

В частности при a = e имеем y = e x

d ( e x ) = e x · d x

Логарифмические функия y = log a x .

log a x ‘ = 1 x · ln a

В частности при a = e имеем y = ln x

Логарифмические функия y = log a x .

d ( log a x ) = d x x · ln a

В частности при a = e имеем y = ln x

d ( ln x ) = d x x

sin x ‘ = cos x ( cos x ) ‘ = – sin x ( t g x ) ‘ = 1 c o s 2 x ( c t g x ) ‘ = – 1 sin 2 x

d sin x = cos x · d x d ( cos x ) = – sin x · d x d ( t g x ) = d x c o s 2 x d ( c t g x ) = – d x sin 2 x

Обратные тригонометрические фунции.

a r c sin x ‘ = 1 1 – x 2 a r c cos x ‘ = – 1 1 – x 2 a r c t g x ‘ = 1 1 + x 2 a r c c t g x ‘ = – 1 1 + x 2

Обратные тригонометрические фунции.

d a r c sin x = d x 1 – x 2 d a r c cos x = – d x 1 – x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = – d x 1 + x 2

Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f ( x ) = x p .

Согласно таблице дифференциалов d ( x p ) = p · x p – 1 · d x . По свойствам неопределенного интеграла имеем ∫ d ( x p ) = ∫ p · x p – 1 · d x = p · ∫ x p – 1 · d x = x p + C . Следовательно, ∫ x p – 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0 .Второй вариант записи выглядит следующим образом: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ – 1 .

Примем равным – 1 , найдем множество первообразных степенной функции f ( x ) = x p : ∫ x p · d x = ∫ x – 1 · d x = ∫ d x x .

Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d ( ln x ) = d x x , x > 0 , следовательно ∫ d ( ln x ) = ∫ d x x = ln x . Поэтому ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования ∫ f ( k · x + b ) d x = 1 k · F ( k · x + b ) + C , а также свойства неопределенных интегралов ∫ k · f ( x ) d x = k · ∫ f ( x ) d x ∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Решение

Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3 :

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x

Используем данные из таблицы первообразных: 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x = 3 ( 1 · x + C 1 – cos x + C 2 ) = = п у с т ь 3 С 1 + С 2 = С = 3 x – 3 cos x + C

Ответ: ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x – 3 cos x + C .

Необходимо найти множество первообразных функции f ( x ) = 2 3 4 x – 7 .

Решение

Используем таблицу первообразных для показательной функции: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Это значит, что ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Используем правило интегрирования ∫ f ( k · x + b ) d x = 1 k · F ( k · x + b ) + C .

Получаем ∫ 2 3 4 x – 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x – 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x – 7 ln 2 + C .

Ответ: f ( x ) = 2 3 4 x – 7 = 4 3 · 2 3 4 x – 7 ln 2 + C

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».

Таблица первообразных (“интегралов”). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Таблица первообразных (“интегралов”). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл степенной функции.

Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.

Интеграл сложной экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.

Интеграл : “Длинный логарифм”.

Интеграл : “Длинный логарифм”.

Интеграл : “Высокий логарифм”.

Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),
в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.

Интеграл : “Высокий логарифм”.

Интеграл, равный тангенсу.

Интеграл, равный котангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл равный косекансу.

Интеграл, равный секансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арккосекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx
– гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx
– гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому секансу.

Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

• Справочно: Таблица производных.

Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.

Интегрирование произведения (функции) на постоянную:

Интегрирование суммы функций:

Формула интегрирования по частям

неопределенные интегралы:

Формула интегрирования по частям

определенные интегралы:

Формула Ньютона-Лейбница

определенные интегралы:

Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно.

Таблица и правила нахождения первообразных

• Материалы к уроку
• Таблица первообразных

На этой странице вы найдёте:

1. Собственно, таблицу первообразных — её можно скачать в формате PDF и распечатать;

2. Видео, посвящённое тому, как этой таблицей пользоваться;

3. Кучу примеров вычисления первообразной из различных учебников и контрольных работ.

В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными. Все функции, сведённые в таблицу, предложенную выше, необходимо знать наизусть, подобно производным. Без них невозможно дальнейшее изучение интегралов и их применение для решения практических задач.

Сегодня мы продолжаем заниматься первообразными и переходим у чуть более сложной теме. Если в прошлый раз мы рассматривали первообразные только от степенных функций и чуть более сложных конструкций, то сегодня мы разберем тригонометрию и многое другое.

Как я говорил на прошлом занятии, первообразные в отличие от производных, никогда не решаются «напролом» с помощью каких-либо стандартных правил. Более того, плохая новость состоит в том, что в отличие от производной, первообразная вообще может не считаться. Если мы напишем совершенно случайную функцию и попытаемся найти ее производную, то это с очень большой вероятностью у нас получится, а вот первообразная практически никогда в этом случае не посчитается. Но есть и хорошая новость: существует довольно обширный класс функций, называемых элементарными, первообразные от которых очень легко считаются. А все прочие более сложные конструкции, которые дают на всевозможных контрольных, самостоятельных и экзаменах, на самом деле, составляются из этих элементарных функций путем сложения, вычитания и других несложных действий. Первообразные таких функций давно посчитаны и сведены в специальные таблицы. Именно с такими функциями и таблицами мы будем сегодня работать.

Но начнем мы, как всегда, с повторения: вспомним, что такое первообразная, почему их бесконечно много и как определить их общий вид. Для этого я подобрал две простенькие задачки.

Решение легких примеров

Пример № 1

Сразу заметим, что $frac!!pi!!text< >><6>$ и вообще наличие $text< >!!pi!!text< >$ сразу намекает нам, что искомая первообразная функции связана с тригонометрией. И, действительно, если мы посмотрим в таблицу, то обнаружим, что $frac<1><1+<^<2>>>$ — не что иное как $textx$. Так и запишем:

Для того чтобы найти, необходимо записать следующее:

Теперь мы окончательно можем посчитать именно ту первообразную, которая нас и интересует:

Пример № 2

Здесь также речь идет о тригонометрических функциях. Если мы посмотрим в таблицу, то, действительно, так и получится:

[Fleft( x right)=arcsin x+C]

Нам нужно среди всего множества первообразных найти ту, которая проходит через указанную точку:

Давайте окончательно запишем:

Вот так все просто. Единственная проблема состоит в том, для того чтобы считать первообразные простых функций, нужно выучить таблицу первообразных. Однако после изучения таблицы производных для вас, я думаю, это не будет проблемой.

Поэтому идем далее и переходим к более сложным конструкциям — первообразным показательных функций.

Решение задач, содержащих показательную функцию

Для начала запишем такие формулы:

Давайте посмотрим, как это все работает на практике.

Пример № 1

Если мы посмотрим на содержимое скобок, то заметим, что в таблице первообразных нет такого выражения, чтобы $<^>$ стояло в квадрате, поэтому этот квадрат необходимо раскрыть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:

Давайте найдем первообразную для каждого из слагаемых:

А теперь соберем все слагаемые в единое выражение и получим общую первообразную:

Пример № 2

На этот раз степень уже побольше, поэтому формула сокращенного умножения будет довольно сложной. Итак раскроем скобки:

Теперь от этой конструкции попробуем взять первообразную от нашей формулы:

Правила работы с таблицей первообразных

Еще раз выпишем нашу функцию:

В предыдущем случае мы использовали для решения следующую формулу:

Но сейчас поступим несколько иначе: вспомним, на каком сновании $<^>to <^>$. Как уже и говорил, потому что производная $<^>$ — это не что иное как $<^>$, поэтому ее первообразная будет равна тому же самому $<^>$. Но проблема в том, что у нас $<^<2x>>$ и $<^<-2x>>$. Сейчас попытаемся найти производную $<^<2x>>$:

Давайте еще раз перепишем нашу конструкцию:

А это значит, что при нахождении первообразной $<^<2x>>$ мы получим следующее:

Давайте в качестве разминки аналогичным способом найдем первообразную от $<^<2x>>$:

При вычислении наша конструкция запишется следующим образом:

Мы получили точно тот же результат, но пошли при этом по другому пути. Именно этот путь, который сейчас кажется нам чуть более сложным, в дальнейшем окажется более эффективным для вычисления более сложных первообразных и использование таблиц.

Обратите внимание! Это очень важный момент: первообразные как и производные можно посчитать множеством различных способов. Однако если все вычисления и выкладки будут равны, то ответ получится одним и тем же. Мы убедились в этом только что на примере $<^<-2x>>$ — с одной стороны мы посчитали эту первообразную «напролом», воспользовавшись определением и посчитав ее с помощью преобразований, с другой стороны, мы вспомнили, что $<^<-2x>>$ может быть представлено как $<^<-2>> right)>^>$ и уже потом воспользовались первообразной для функции $<^>$. Тем не менее, после всех преобразований результат получился одним и тем же, как и предполагалось.

А теперь, когда мы все это поняли, пора перейти к чему-то более существенному. Сейчас мы разберем две простенькие конструкций, однако прием, который будет заложен при их решении, является более мощным и полезным инструментом, нежели простое «беганье» между соседними первообразными из таблицы.

Решение задач: находим первообразную функции

Пример № 1

Давайте сумму, которая стоит в числители, разложи на три отдельных дроби:

Это довольно естественный и понятный переход — у большинства учеников проблем с ним не возникает. Перепишем наше выражение следующим образом:

А теперь вспомним такую формулу:

В нашем случае мы получим следующее:

Чтобы избавиться от всех этих трехэтажных дробей, предлагаю поступить следующим образом:

Пример № 2

В отличие от предыдущей дроби в знаменателе стоит не произведение, а сумма. В этом случае мы уже не можем разделить нашу дробь на сумму нескольких простых дробей, а нужно каким-то образом постараться сделать так, чтобы в числителе стояло примерно такое же выражение как в знаменателе. В данном случае сделать это довольно просто:

Такая запись, которая на языке математики называется «добавление нуля», позволит нам вновь разделить дробь на два кусочка:

Теперь найдем то, что искали:

Вот и все вычисления. Несмотря на кажущуюся большую сложность, чем в предыдущей задаче, объем вычислений получился даже меньшим.

Нюансы решения

И вот в этом кроется основная сложность работы с табличными первообразными, особенно это заметно на второй задаче. Дело в том, что для того чтобы выделить какие-то элементы, которые легко считаются через таблицу, нам нужно знать, что конкретно мы ищем, и именно в поиске этих элементов и состоит все вычисление первообразных.

Другими словами, недостаточно просто зазубрить таблицу первообразных — нужно уметь видеть что-то, чего пока еще нет, но что подразумевал автор и составитель этой задачи. Именно поэтому многие математики, учителя и профессора постоянно спорят: «А что такое взятие первообразных или интегрирование — это просто инструмент либо это настоящее искусство?» На самом деле, лично на мой взгляд, интегрирование — это никакое не искусство — в нем нет ничего возвышенного, это просто практика и еще раз практика. И чтобы попрактиковаться, давайте решим еще три более серьезных примера.

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/neposredstvennoe-integrirovanie-s-ispolzovaniem-ta/

http://tehtab.ru/guide/guidemathematics/intagralsanddifferentials/knownintegralstable/

http://www.berdov.com/works/integral/tablica-pervoobraznyh-kak-schitat/