Свойства первого дифференциала функции. Как найти дифференциал

Свойства первого дифференциала функции.

На мой взгляд, основным необходимым навыком для успешного вычисления неопределенных интегралов является умение вносить функцию под знак дифференциала или извлекать таковую из-под знака дифференциала, основанное на свойствах его инвариантности и линейности.

Свойство инвариантности первого дифференциала функции.

Точнее, свойство инвариантности его формы или формулы.

Такая формулировка вопроса часто встречается в экзаменационных билетах по математическому анализу в зимнюю сессию. Как правило, этот вопрос студенты относят к нежелательным: формализованным и непонятным. А зря. В самом деле, это свойство очень простое, полезное и весьма востребованное в процессе вычисления неопределённых интегралов. Оно является следствием правила дифференцирования сложной функции:

Пусть задана сложная функция y = f (φ(x)) .
Формула дифференциала функции имеет вид dy = y’ (x)·dx , где dx – дифференциал независимой переменной.
Введём дополнительное обозначение u = φ(x) , тогда y = f (u) и дифференциал dy с использованием правила дифференцирования сложной функции y’ (x) = f ‘ (u)·u’ (x) принимает вид dy = f ‘ (u)·u’ (x)·dx .
Но последние два сомножителя в этом произведении совпадают с дифференциалом функции u , который по определению имеет вид du = u’ (x)dx , т.е. в новых обозначениях dy = f ‘ (u)·du

Таким образом, мы получили формулы одного и того же вида для дифференциала функции f (φ(x)) от независимой переменной x и для дифференциала функции f(u) от промежуточного аргумента u, представляющего собой дифференцируемую функцию от x.
Это и есть свойство инвариантности формы (формулы) первого дифференциала.

Пример,
пусть y(x) = sin (π − √x _ )

Рассматриваем переменную х . Это независимая переменная, дифференциал

Рассматриваем переменную t = √x _ , тогда y(t) = sin (π − t) . Вычисляем дифференциал

Рассматриваем переменную u = π − √x _ , тогда y(u) = sin (u) . Вычисляем дифференциал

Здесь везде в конце вместо обозначений u и t подставлены их выражения в явном виде.
Нижний индекс показывает по какой переменной вычисляется производная.

Свойство инвариантности, утверждающее, что это один и тот же дифференциал, позволяет записать следующиую цепочку равенств

Это и есть процесс вынесения функций за знак дифференциала.
Сначала за знак дифференциала вынесена производная функции синус по его аргументу, аргумент остался под знаком следующего дифференциала. Затем вынесена производная поддиференциального выражения по переменной √x _ , она оказалась равной минус единице, под знаком дифференциала остался квадратный корень. И, наконец, после вынесения производной квадратного корня, остался дифференциал независимой переменной.

Другими словами “инвариантность” – это, когда “без вариантов”. Какие переменные ни вводи, до какой степени подробности ни вычисляй производную, главное записывай единообразно, и результат будет верным.

Чтобы внести функцию под знак дифференциала, надо построить такую же цепочку в обратную сторону. Для этого уже потребуется определять не производные, а первообразные функций, стоящих перед знаком дифференциала. Например,

Функция косинус внесена под знак дифференциала. Для этого мы сначала убедились в идентичности переменных под знаками функции и дифференциала (здесь явной заменой переменных, что необязательно), а затем просто вспомнили, что первообразной косинуса является синус.

Дробь с квадратным корнем внесена под знак дифференциала. Здесь числитель и знаменатель дроби зависели от разных переменных, поэтому мы вынуждены были сначала выделить сомножитель, соответствующий производной корня второй степени, а затем записать его первообразную, т.е. сам корень, под знаком дифференциала.

Чем лучше вы ориентируетесь в производных и первообразных основных элементарных функций, тем легче будет увидеть следующий шаг. Полагаю, что и таблицу производных, и таблицу первообразных вы уже изучали, но теперь удобнее свести их в одну. Поэтому рекомендую повторить Единую таблицу производных и первообразных.

Свойства линейности первого дифференциала функции.

( f (x) ± C ) ‘ = f ‘ (x) ± 0 = f ‘ (x)
( C·f (x) ) ‘ = C·f ‘ (x)
.

О последней из них часто забывают и, пользуясь полной формулой дифференцирования дроби, делают совершенно необязательные ошибки из серии “на невнимательность”. Поэтому напоминаю еще раз, постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ориентируйтесь следующие примеры.

Поскольку дифференциал функции определяется через её производную, при вычислении дифференциала срабатывают те же свойства и правила.

Следствием этого свойства является возможность дописывать под знаком дифференциала любое постоянное слагаемое. Например,

Чтобы использовать это свойство при вычислении неопределенных интегралов, бывает удобно умножить и разделить на одно и то же число функцию, которую нужно внести под знак дифференциала. Например,

Дополнительные примеры и упражнения.

Пример 1.

Сначала расставили скобки, чтобы разобраться в сложных функциях, и выделили выражение с независимой переменной.

Первообразная выделенной дроби (функции, зависящей непосредственно от x) – натуральный логарифм. Внесли его под знак дифференциала.

Дифференциал логарифма сгруппировали с элементарной функцией, зависящей непосредственно от логарифма. Эта функция – синус логарифма. (Если трудно, можно сделать замену t = lnx .)

Первообразной синуса, является функция минус косинус того же аргумента. Вносим косинус логарифма под дифференциал. Получившееся выражение содержит только функцию cos ln x как под знаком дифференциала, так и вне его.

Находим первообразную дроби перед дифференциалом по формулам для степенной функции и вносим её под знак дифференциала. (Если трудно, можно сделать замену u = cos(lnx) .)

Здесь удалось внести под знак дифференциала всё выражение. К сожалению, это не всегда просто и даже не всегда возможно. Поэтому и интегрирование сложнее дифференцирования. Чаще всего мы можем внести под знак дифференциала только часть подынтегрального выражения, но и это существенно упрощает задачу.

Вынести функции из-под знака дифференциала

Внести функции под знак дифференциала

dx ______ √1 − x 2 _____ = d ( _______ )

√3x + 7 _____ dx = d ( 3 _______ 2 √3x + 7 _____ )

В первом выражении потеряны коэффициент и знак первообразной синуса.
Во втором, вероятно, была неправильно выделена производная арктангенса. В знаменателе этой функции должна стоять единица(!) плюс квадрат переменной.
В третьем случае вместо первообразной внесена под знак дифференциала производная, что является грубой ошибкой.
Ниже правильные решения подробно. Как уже упоминалось, замену переменных можно делать явно, как в первых двух случаях, или устно, как в последнем.

При обнаружении ошибок или опечаток – сообщайте, пожалуйста, на e-mail.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь – mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Тема 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. Понятие дифференциала.

Понятие дифференциала.

Определение 9.1.Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимого переменного, т.е

.

Поскольку дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением ( ), то

.

Таким образом, для того чтобы найти дифференциал функции, необходимо умножить производную этой функции на дифференциал ее независимой переменной.

Основные правила нахождения дифференциалов.

1) Дифференциал суммы (разности) двух дифференцируемых функций равен сумме (разности) дифференциалов этих функций:

.

2) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений дифференциала первого сомножителя на второй и дифференциала второго сомножителя на первый:

.

3) Дифференциал частного двух дифференцируемых функций может быть найден по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

.

Пример 9.1. Найти дифференциал функции

а) по определению;

б) используя правила нахождения дифференциала.

а)Находим производную от заданной функции:

.

Тогда по определению дифференциала: .

б) Находим непосредственно дифференциал, используя правила нахождения дифференциалов (1 и 4):

.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Дифференциал функции. Определение и свойства

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х.

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:
   dc = 0, с = const.
2. Дифференциал суммы дифференцируемых функцийравен сумме дифференциалов слагаемых:

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

1. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

d(cu) = cdu (с = const).

1. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

1. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f”. Таким образом,

Если дифференцируема (n – 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n – 1)-й производной функции f и обозначается f (n) . Итак,

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

Если x – независимая переменная, то

В этом случае справедлива формула

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Применение производных к исследованию функций.

Основные теоремы дифференцирования функций:

Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f’(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g’(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g’(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

Источники:

http://mathematichka.ru/all_students/Integral/differential.html

http://studopedia.ru/19_327972_tema–differentsial-funktsii.html

http://lektsii.org/4-15907.html