Геометрический смысл производной уравнение. Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали

Определение производной. Ее физический смысл. Определение дифференцируемой функции. Сформулировать теорему о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Производная— основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.

Производная – это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.
Процесс вычисления производной называется дифференцированием

Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S= f(t), где t– время движения, то производная функции S– мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у= f(x) – скорость изменения функции в точке х.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х.

Следствие. Если х – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Dх>, ;

Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

Рассмотрим график некоторой функции y = f (x), точки A= (x; f (x)) и B = (x₁; f (x₁)) на графике, прямую, проходящую через точки A и B, и произвольную точку C = (x; y) на этой прямой (рис. 1).

Определение 1 . Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции .

В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки A и B графика функции y = f (x), является секущей этого графика.

Выведем уравнение секущей графика функции .

Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

где k – некоторое число.

Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

Исключая из системы (2) переменную k , получим систему (3):

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

Касательная к графику функции

Проведем секущую графика функции y = f (x), проходящую через точки A и B этого графика, и рассмотрим случай, когда точка A неподвижна, а точка B неограниченно приближается к точке A по графику функции y = f (x) (рис. 2).

Неограниченное приближение точки B к точке A принято обозначать

и произносить « B стремится к A ».

Определение 2 . Если при x₁ → x существует предельное положение секущей графика фукнкции y = f (x), то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x; f (x)) (рис. 3) .

4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Видеоурок: Производная и ее геометрический смысл

Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Понятие о производной функции

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х, а также величину функции в данной точке.

Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х, а также точку (х + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.

Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у.

Разница значений функции в точке х и (х + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х + ∆х) – f(х).

Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.

Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.

А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.

В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.

Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.

Геометрический смысл производной

Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ. Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.

То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.

Для нахождения производных необходимо пользоваться основными формулами, которые можно найти в таблице производных:

Источники:

http://megaobuchalka.ru/7/35320.html

http://www.resolventa.ru/spr/matan/tangent.htm

http://cknow.ru/knowbase/699-411-ponyatie-o-proizvodnoy-funkcii-geometricheskiy-smysl-proizvodnoy.html