Геометрический смысл 1 ой производной. Производная

Определение производной, её геометрический смысл.

Производная функции.

1. Определение производной, её геометрический смысл.

2.Производная сложной функции.

3. Производная обратной функции.

4. Производные высших порядков.

5. Параметрически заданные функции и неявно.

6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Введение.

Источником дифференциального исчисления были два вопроса, выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.

1) Вопрос о вычислении скорости при произвольно заданном законе движения.

2) Вопрос о нахождении ( с помощью вычислений) касательной к кривой произвольно заданной.

Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом вычерчивания.

Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники эти вопросы получили должное развитие.

Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.

Скорость с которой движется самолёт или автомобиль, всегда служит важнейшим показателем его работы. Быстрота прироста населения того или иного государства является одной из основных характеристик его общественного развития.

Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения большинства практических задач этой общей идеи недостаточно. Необходимо иметь такое количественное определение этой величины, которую мы называем скоростью. Потребность в таком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел математического анализа посвящен решению этой основной задачи и выводам из этого решения. К изучению этого раздела мы и переходим.

Определение производной, её геометрический смысл.

Пусть дана функция определённая в некотором интервале (а,в) и непрерывная в нём.

1. Дадим аргументу х приращение , тогда функция получит

приращение :

= –

2. Составим отношение .

3. Переходя к пределу в при и, предполагая, что предел

существует, получим величину , которую называют

производной функции по аргументу х.

Определение.Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда →0.

Значение производной очевидно зависит от точки х, в которой оно найдено, поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от х. Обозначается .

По определению имеем

или (3)

Пример.Найти производную функции .

1. ;

2.

3.

4. . Итак .

Механический смысл производной:

скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути по времени

Геометрический смысл производной:

тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x равен производной функции f(x) в точке x

Уравнение касательной к кривой: (4)

Нормаль к кривой в точке М – прямая проходящая через точку М, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Уравнение нормали к кривой: . (5)

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной.
Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Достаточное условие монотонности функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума.

Производная функции. Понятие производной, определение производной:

• Производной (первой производной)f ‘ (x)функции f (x) в точке x_o называется предел отношения
  • приращения функции Δ f (x) = f (x + Δx) – f (x)
  • к приращению аргумента Δx при Δx→0,
• если этот предел существует:

• Второй производнойf ” (x)функции f (x) в точке x_o называется производная от производной f ‘ (x) в точке x_o
• Дифференцирование – это операция нахождения производной f ‘ (x)

Производная функции. Геометрический смысл производной:

• Производная функции f (x) в точке x_o равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой к графику функции y = f (x)в точке M(x,y), то есть:
  • f ‘ (x) = k, где k = tg α
• Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точкеx имеет вид:
  • y = f ‘ (x)(x-x) + f(x)

Производная функции. Физический смысл производной:

• Если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону x (t), то мгновенная скорость точки:

• а укорение (мгновенное ускорение):

4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Видеоурок: Производная и ее геометрический смысл

Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Понятие о производной функции

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х, а также величину функции в данной точке.

Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х, а также точку (х + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.

Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у.

Разница значений функции в точке х и (х + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х + ∆х) – f(х).

Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.

Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.

А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.

В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.

Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.

Геометрический смысл производной

Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ. Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.

То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.

Для нахождения производных необходимо пользоваться основными формулами, которые можно найти в таблице производных:

Источники:

http://studopedia.ru/19_312085_opredelenie-proizvodnoy-ee-geometricheskiy-smisl.html

http://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/MathsForTheYoungest/DerrivativeIntroduction/

http://cknow.ru/knowbase/699-411-ponyatie-o-proizvodnoy-funkcii-geometricheskiy-smysl-proizvodnoy.html