Формула силы по закону гука. Закон Гука

Закон Гука

Содержание

1. Определение и формула закона Гука
2. Сила упругости
3. Особенности сил упругости
4. Применение закона на практике
5. Что мы узнали?

Бонус

• Тест по теме

Определение и формула закона Гука

Формулировка этого закона выглядит следующим образом: сила упругости, которая появляется в момент деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно движению частиц этого тела относительно других частиц при деформации.

Математическая запись закона выглядит так:

Рис. 1. Формула закона Гука

где Fупр – соответственно сила упругости, x – удлинение тела (расстояние, на которое изменяется исходная длина тела), а k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Сила измеряется в Ньютонах, а удлинение тела – в метрах.

Для раскрытия физического смысла жесткости, нужно в формулу для закона Гука подставить единицу, в которой измеряется удлинение – 1 м, заранее получив выражение для k.

Рис. 2. Формула жесткости тела

Эта формула показывает, что жесткость тела численно равна силе упругости, которая возникает в теле (пружине), когда оно деформируется на 1 м. Известно, что жесткость пружины зависит от ее формы, размера и материала, из которого произведено данное тело.

Сила упругости

Теперь, когда известно, какая формула выражает закон Гука, необходимо разобраться в его основной величине. Основной величиной является сила упругости. Она появляется в определенный момент, когда тело начинает деформироваться, например, когда пружина сжимается или растягивается. Она направлена в обратную сторону от силы тяжести. Когда сила упругости и сила тяжести, действующие на тело, становятся равными, опора и тело останавливаются.

Деформация – это необратимые изменения, происходящие с размерами тела и его формой. Они связанны с перемещением частиц относительно друг друга. Если человек сядет в мягкое кресло, то с креслом произойдет деформация, то есть изменятся его характеристики. Она бывает разных типов: изгиб, растяжение, сжатие, сдвиг, кручение.

Так как сила упругости относится по своему происхождению к электромагнитным силам, следует знать, что возникает она из-за того, что молекулы и атомы – наименьшие частицы, из которых состоят все тела, притягиваются друг другу и отталкиваются друг от друга. Если расстояние между частицами очень мало, значит, на них влияет сила отталкивания. Если же это расстояние увеличить, то на них будет действовать сила притяжения. Таким образом, разность сил притяжения и сил отталкивания проявляется в силах упругости.

Сила упругости включает в себя силу реакции опоры и вес тела. Сила реакции представляет особый интерес. Это такая сила, которая действует на тело, когда его кладут на какую-либо поверхность. Если же тело подвешено, то силу, действующую на него, называют, силой натяжения нити.

Особенности сил упругости

Как мы уже выяснили, сила упругости возникает при деформации, и направлена она на восстановление первоначальных форм и размеров строго перпендикулярно к деформируемой поверхности. У сил упругости также есть ряд особенностей.

• они возникают во время деформации;
• они появляются у двух деформируемых тел одновременно;
• они находятся перпендикулярно поверхности, по отношению к которой тело деформируется.
• они противоположны по направлению смещению частиц тела.

Применение закона на практике

Закон Гука применяется как в технических и высокотехнологичных устройствах, так и в самой природе. Например, силы упругости встречаются в часовых механизмах, в амортизаторах на транспорте, в канатах, резинках и даже в человеческих костях. Принцип закона Гука лежит в основе динамометра – прибора, с помощью которого измеряют силу.

Рис. 3. Динамометр

Что мы узнали?

Статья подробно знакомит учащихся с материалом о том, как формулируется обобщенный закон Гука, который изучают в 7 классе, и его основной величине – силе упругости.

Закон Гука

Закон Гука — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

Векторная формулировка закона Гука включает знак “минус”, который говорит о том, что вектор деформации x всегда направлен противоположно силе упругости F:

Здесь ( F ) — сила растяжения или сжатия, ( x ) — абсолютное удлинение или сжатие, а ( k ) — коэффициент упругости (или жёсткости).

ВАЖНО Закон Гука справедлив только для упруго деформированных материалов.

Красная линия на графике отображает изменение силы (F) в зависимости от положения в согласованности с законом Гука. Наклон соответствует постоянной пружины (k). Пунктирная линия – вид фактического графика силы. Изображения состояний пружины в нижней части отвечают некоторым точкам на графике (средняя – расслабленность)

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь ( F ) — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, ( Delta l ) — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а ( k ) — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L ) явно, записав коэффициент упругости как:

Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

К резиновому шнуру подвесили груз, под действием которого шнур растянулся на ( 4 mathrm <см>). Затем шнур сложили вдвое, закрепив сложенные концы вверху, а к середине снова подвесили тот же груз. На сколько шнур растянется во втором случае?

Если шнур в первом случае растянулся на ( 4 mathrm <см>), то каждая половина шнура растянулась на ( 2 mathrm <см>), а половины шнура были соединены между собой последовательно. Сила упругости внутри шнура везде одинакова и равна весу груза. Коэффициент жёсткости каждой половины можно представить в виде: ( k_2 = dfrac )

Во втором случае половинки шнура соединены между собой параллельно, следовательно, условие равновесия груза теперь выглядит так:

Закон Гука – определение, формула и примеры применения

Для проектирования таких механизмов требуется базовое понимание того, что из себя представляют упругость, кручение и сила, поэтому инженерам необходимо знать определение и формулу закона Гука.

Свойства пружины

Пружина — это объект, который может деформироваться под воздействием силы, а после того как сила будет устранена, вернётся к своей первоначальной форме. Пружины бывают самых разных форм и являются неотъемлемой частью практически всех умеренно сложных механических устройств: от шариковых ручек до двигателей гоночных автомобилей.

В самой форме спиральной пружины нет никаких особенностей. «Пружинность», или, точнее, эластичность, является фундаментальным свойством проволоки, из которой изготовлена ​​пружина. Длинная прямая металлическая проволока также обладает способностью «отскакивать» после растяжения или скручивания.

Смотка проволоки в пружину позволяет использовать свойства длинного куска в небольшом пространстве. Это гораздо удобнее для сборки механических устройств.

Реакция металлической проволоки на растяжение (осевая нагрузка) и скручивание (кручение) определяется различными физическими свойствами, и в конструкции конкретной пружины один вид деформации может преобладать над другим.

Кроме того, упругие свойства металлов сильно зависят от микроструктуры их зёрен. Это может быть изменено как напряжением, так и контролируемым процессом нагрева и охлаждения, известным как отжиг.

Если металлическая проволока была сформирована из прямого сечения в катушку, то, вероятно, её необходимо будет повторно отжечь для восстановления первоначальных упругих свойств.

Принципы деформации

Когда сила воздействует на материал, он растягивается или сжимается в ответ. В механике сила, приложенная на единицу площади, является тем, что называется напряжением. Степень растяжения и сжатия, возникающая, когда материал реагирует на напряжение, называется деформацией. Напряжение измеряется отношением разницы в длине к исходной длине в направлении напряжения.

Каждый материал по-разному реагирует на стресс, и детали этой реакции важны для инженеров, выбирающих материалы для своих конструкций и машин, которые должны вести себя предсказуемо при ожидаемых напряжениях.

Для большинства материалов нагрузка, испытываемая при приложении небольшого напряжения, зависит от плотности химических связей. То же самое относится к жёсткости материала, которая напрямую связана с его химической структурой.

Происходящее при снятии напряжения зависит от того, насколько далеко перемещены атомы.

В целом существует два типа деформации:

1. Упругая. После снятия напряжения материал возвращается к размеру, который был до приложения нагрузки. Деформация обратима, непостоянна.
2. Пластическая. Напряжение настолько велико, что при снятии нагрузки материал не возвращается к своему предыдущему размеру. Минимальное значение напряжения, вызывающего пластическую деформацию, известно как предел упругости материала.

Любая пружина должна быть спроектирована точно таким образом, чтобы она испытывала только упругую деформацию при установке в машину при нормальной эксплуатации.

Суть закона

Закон назван в честь британского физика XVII века Роберта Гука, который впервые сформулировал его в 1676 году в виде анаграммы на латинском.

Он опубликовал её решение в 1678 году, утверждая, что открыл закон уже в 1660 году.

При изучении пружин и свойств их упругости, имеющих электромагнитную природу, физик отметил, что кривая зависимости напряжения от деформации для многих материалов имеет линейную область.

Вот как формулируется закон Гука: сила упругости, необходимая для растяжения упругого объекта, такого как металлическая пружина, равна или прямо пропорциональна удлинению пружины.

Эта формулировка математически записывается как F = -kx, где обозначения расшифровываются следующим образом:

1. X — это смещение конца пружины от её положения равновесия.
2. F — восстанавливающая сила, прилагаемая пружиной к этому концу.
3. K — константа пропорциональности, известная как пружинная постоянная, которая обычно измеряется в N/m (ньютон метр).

Несколько пружин могут воздействовать на одну и ту же точку. В таком случае закон всё ещё может применяться. Как и с любым другим набором сил, силы многих пружин могут быть объединены в одну.

Когда действует закон Гука, поведение линейно. Если оно показано на графике или рисунке, линия, изображающая силу как функцию смещения, должна показывать прямое изменение. В правой части уравнения есть отрицательный знак, потому что восстанавливающая сила, создаваемая пружиной, находится в направлении, противоположном силе, вызвавшей смещение.

Всегда важно убедиться, что направление восстанавливающей силы задаётся последовательно при приближении к механическим задачам, связанным с упругостью. Для простых задач часто можно интерпретировать расширение X как одномерный вектор, в этом случае результирующая сила также будет одномерным вектором, а отрицательный знак в законе Гука даст правильное направление силы.

Однако успешность применения принципа зависит от того, при каких условиях он выполняется. Закон Гука является лишь линейным приближением первого порядка к реальному отклику пружин (и других упругих тел) на приложенные силы и имеет границы применимости, работая только в ограниченной системе координат.

Поскольку ни один материал не может быть сжат сильнее определённого минимального размера (или растянут за пределы максимального размера) без некоторой постоянной деформации или изменения состояния, он применяется только до тех пор, пока задействовано ограниченное количество силы или деформации. Фактически многие материалы заметно отклонятся от закона Гука задолго до того, как будут достигнуты эти пределы упругости.

С другой стороны, этот закон является точным приближением для большинства твёрдых тел, пока силы деформации достаточно слабы.

По этой причине он широко используется во всех областях науки (например, в сопромате) и техники, а ещё является основой многих дисциплин, таких как сейсмология, молекулярная механика и акустика.

Это также принцип, стоящий за пружинной шкалой, манометром и колесом баланса механических часов.

Поскольку общие напряжения и деформации могут иметь несколько независимых компонентов, «коэффициент пропорциональности» может больше не быть просто одним действительным числом, а скорее линейной картой (тензором), которая может быть представлена ​​матрицей действительных чисел.

В этом обобщённом виде закон позволяет вывести связь между деформацией и напряжением для сложных объектов, с точки зрения внутренних свойств материалов, из которых они изготовлены. Например, можно сделать вывод, что однородный стержень с равномерным поперечным сечением будет вести себя как простая пружина при растяжении, с жёсткостью K, прямо пропорциональной его площади поперечного сечения и обратно пропорциональной его длине.

Модуль Юнга

Модуль Юнга (также известный как модуль упругости) — это число, которое измеряет сопротивление материала упругой деформации. Оно названо в честь физика XVII века Томаса Юнга. Чем жёстче материал, тем выше его модуль Юнга.

Это значение обычно обозначается символом E и записывается как E = σ/ε, где:

1. σ (сигма) представляет собой одноосное напряжение, или одноосное усилие на единицу поверхности в паскалях.
2. ε (эпсилон) является деформацией или пропорциональной деформацией (изменение длины, делённое на исходную длину).

Модуль Юнга можно определить при любом напряжении, но там, где он подчиняется закону Гука, это постоянная величина. Можно непосредственно получить постоянную пружины k из модуля материала, области A, к которой приложена сила (поскольку напряжение зависит от площади), и номинальной длины материала L.

Практическое использование

Модуль Юнга позволяет рассчитать изменение размера стержня из изотропного упругого материала при растягивающих или сжимающих нагрузках. Например, он предсказывает, насколько образец материала растягивается при растяжении или укорачивается при сжатии.

Модуль непосредственно относится к случаям одноосного напряжения, то есть растягивающего или сжимающего напряжения в одном направлении и отсутствия напряжения в других направлениях.

Он также используется, чтобы найти отклонение, которое будет появляться в статически определённом луче, когда нагрузка приложена в точке между опорами луча. Другие вычисления обычно требуют использования одного дополнительного упругого свойства, такого как модуль сдвига, модуль объёма или коэффициент Пуассона. Любые два из этих параметров достаточны для полного описания упругости в изотропном материале.

Виды материалов

Сталь, углеродное волокно и стекло среди прочих обычно считаются линейными материалами, в то время как другие материалы, такие как резина и грунты, являются нелинейными. Однако это не абсолютная классификация: если к нелинейному материалу применяется небольшое напряжение, отклик будет линейным. Например, поскольку линейная теория предполагает обратимость, было бы абсурдно использовать её для описания разрушения стального моста под большой нагрузкой.

Модуль не всегда одинаков во всех ориентациях материала. Большинство металлов и керамики, наряду со многими другими материалами, являются изотропными, и их механические свойства одинаковы во всех ориентациях. Тем не менее металлы и керамика могут быть обработаны определёнными примесями, чтобы сделать их структуры зерна направленными.

Эти материалы затем становятся анизотропными, и модуль Юнга будет меняться в зависимости от направления вектора силы. Анизотропия также наблюдается во многих композитах. Например, углеродное волокно имеет гораздо более высокий модуль Юнга, когда сила нагружена параллельно волокнам (вдоль зерна). Другие такие материалы включают дерево и железобетон. Инженеры могут использовать это явление при создании конструкций.

Поскольку производители пружинных весов ожидают, что их продукт будет использоваться вертикально (например, рыбаком, измеряющим массу своей добычи), шкала откалибрована для учёта массы пружины и крючка. Это даст неверный абсолютный результат, если использовать его для измерения горизонтальной силы.

Тем не менее закон Гука говорит, что существует линейная зависимость между силой и растяжением. Из-за этого всё ещё можно рассчитывать на шкалу относительных измерений при горизонтальном использовании. Некоторые пружинные весы имеют регулировочный винт, который позволяет калибровать нулевую точку, устраняя эту проблему.

Источники:

http://obrazovaka.ru/fizika/zakon-guka-formula-i-opredelenie.html

http://calcsbox.com/post/zakon-guka.html

http://nauka.club/fizika/zakon-guka.html