3 квадратных уравнения с решением. Способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение общего вида

где x — свободная переменная,

a, b, c, — коэффициенты, причём

Выражение называют квадратным трёхчленом.

Способы решения квадратных уравнений.

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = – 12. Это означает, что число 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 – 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 – 4 = 0, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах • b + b 2 ) – b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 – 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 – 4ac,

2ax = – b ± √ b 2 – 4ac,

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 • 4 • 3 = 49 – 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 – 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 – 4х + 1 = 0,

а = 4, b = – 4, с = 1, D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 • 4 • 1= 16 – 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 – 4ac = 0, то уравнение

ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 – 4ac = 3 2 – 4 • 2 • 4 = 9 – 32 = – 13 , D 2 – 4ac 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р 2 – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 2 + 8x + 7 = 0; x₁ = – 7 и x₂ = – 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0 .

x 2 + 4x – 5 = 0; x₁ = – 5 и x₂ = 1, так как q= – 5 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x₁ = 9 и x₂ = – 1, так как q = – 9 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

В. Приведенное уравнение

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

• Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений графически.

Пример. Решить уравнение х2 – 2х – 3 = 0.

Построим график функции у = х2 – 2х – 3

1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f(1)= 12 – 2 – 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х2 – 2х – 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = – 1, х2 — 3.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c – действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Выражение D = b 2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
2. имеет два действительных корня z_{1, 2} = ±√a
3. Не имеет действительных корней, если a 2 + x + 1 = 0.
   Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x 2 ; y = x + 1.

y = x 2 , квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

10 способов решения квадратных уравнений

Исследовательская работа по теме “10 способов решения квадратных уравнений”

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

10 способов решения квадратных уравнений

Выполнила: ученица 8А класса

МБОУ «СОШ № 59г.Барнаула

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики, МБОУ «СОШ № 59»

I. История развития квадратных уравнений ……………………………. 3

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………. 4

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………5

3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………………6

4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми …………………………………….7

5. Квадратные уравнения в Европе XIII – XVII вв………………. 9

II. Способы решения квадратных уравнений ………………………. 11

1. Разложение левой части уравнения на множители………………. 12
2. Метод выделения полного квадрата.……………………….……. 13
3. Решение квадратных уравнений по формулам …………………..………14
4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета……………. 16

5.Решение уравнений способом переброски»……………………………….18

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………. 19

7.Графическое решение квадратного уравнен……………………..……….. 21

8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……….. 24

9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………. 26

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений……………….28

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «10 способов решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

– изучить историю развития квадратных уравнений;

– рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

– выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

– научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : с пособы решения квадратных уравнений.

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Анализ: информации полученной при изучении литературы;

результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Источники:

http://studopedia.ru/14_87650_reaktsiya-makkarti-i-sallivana.html

http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/538074/

http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/08/31/10-sposobov-resheniya-kvadratnykh-uravneniy