Все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Геометрические фигуры

Все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Геометрические фигуры

Пирамида — (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник,
основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие
общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные,
четырехугольные и т. д.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой
пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на
плоскость основания.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса .

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основани

Если все боковые ребра равны, то:

  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
  • также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра
    • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

    где — площадь основания и — высота;

    • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

    • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

    • Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

    где — апофема , — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.

    Особые случаи пирамиды

    Правильная пирамида

    Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник , а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

    • боковые ребра правильной пирамиды равны;
    • в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
    • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
    • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания [6] ;
    • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

    Прямоугольная пирамида

    Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

    Усечённая пирамида

    Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

    Пирамида

    Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

    По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

    Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

    Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

    Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

    Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

    Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

    Некоторые свойства пирамиды

    1) Если все боковые ребра равны, то

    около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

    Верно и обратное.

    Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

    Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

    2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    Верно и обратное.

    Виды пирамид

    Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

    Для правильной пирамиды справедливо:

    – боковые ребра правильной пирамиды равны;

    – в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

    – в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

    – около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

    – площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


    Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

    Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

    Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

    Геометрия. 10 класс

    Конспект урока

    Геометрия, 10 класс

    Урок № 15. Пирамида

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

    • Понятие пирамиды;
    • Виды пирамид;
    • Элементы пирамиды: вершина, ребра, грани, основание;
    • Площадь боковой поверхности и полной поверхности пирамиды.

    Глоссарий по теме

    Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

    Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

    Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

    Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

    Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

    Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

    Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

    Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

    Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

    Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

    Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

    Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

    Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)

    Открытые электронные ресурсы:

    Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Рассмотрим многоугольник A1A2. An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.

    Многогранник, составленный из n-угольника A1A2. An и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2. An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAnбоковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A1A2. An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA1A2. An.

    Рисунок 1 — пирамида

    Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

    Рисунок 3 – высота вне пирамиды

    Рисунок 4 – Высота пирамиды — боковое ребро

    Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

    Рисунок 5 – Правильная пирамида

    Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

    Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2. An (рис. 5).

    Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О. АnО.

    Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А1О, А2О. АnО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА1, РОА2. РОАn равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA1 , РA2. РAn, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.

    Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

    Таким образом, верны следующие утверждения:

    • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
    • Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

    Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

    Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

    Возьмем произвольную пирамиду PA1A2. An и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В12. Вn (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2. An и В1В2. Вn (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1 (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

    Рисунок 6 – Усеченная пирамида

    Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.

    Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

    Площадь поверхности пирамиды

    Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

    Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.

    Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

    Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

    Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

    Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

    Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

    Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

    Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

    Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

    Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

    Источники:

    http://www.sites.google.com/site/azz181818/home/telo-geometriceskoe/piramida

    http://egemaximum.ru/piramida/

    http://resh.edu.ru/subject/lesson/5866/conspect/

    Читать еще:  Сладости к чему снятся. К чему снится много сладостей
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector