Стационарные решения уравнения Шредингера. Уравнение шредингера

Уравнение Шрёдингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме ΔV, т. е. в области с координатами х и х + dх, у и у + dу, z и z + dz.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шрёдингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

Общее уравнение Шредингера имеет вид:

, (1)

где ? = h / (2π), m – масса частицы, Δ – оператор Лапласа , i – мнимая единица, U(x, y, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x, y, z, t) – искомая волновая функция частицы.

Уравнение (1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ«с.

Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2) производные должны быть непрерывны;

3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема (это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей ).

Уравнение (1) называют уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Дли многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, т.е. найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U (х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

. (2)

Уравнение (2) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: вол новые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными.

Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями Ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственнымифункциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором – о дискретном спектре.

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 2).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

. (1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = 1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль.

Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид:

В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ 0) уравнение Шредингера (1) сведется к уравнению:

или . (3)

где k 2 = 2mE / ? 2 . (4)

Общее решение дифференциального уравнения (3):

Так как по (2) Ψ (0) = 0, то В = 0. Тогда

Условие Ψ (l) = A sin kl = 0 (2) выполняется только при kl = nπ, где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

Из выражений (4) и (6) следует, что:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_п, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_п частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.

Квантованные значения энергии Е_п называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_п, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:

.

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде:

.

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1,2,3, приведены на рис. 3, а. На рис. 3, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная ‌‌‌‌‌‌ Ψ_n(x)‌ 2 = Ψ_n(x)·Ψ_n * (x) для п = 1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п= 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

. (9)

Например, для электрона при размерах ямы l = 10 –1 м (свободные электроны в металле), ΔЕ_n ≈ 10 -35 ·n Дж ≈ 10 –1 6 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то для электрона ΔЕ_n ≈ 10 –17 n Дж ≈ 10 2 n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная π 2 ? 2 /(2т1 2 ). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δх частицы в «яме» шириной l равна Δх = l.

Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Δр ≈ h / l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Е_min ≈ (Δp) 2 /(2m) = ? 2 / (2ml 2 ). Все остальные уровни (п > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (9) и (7) следует, что при больших квантовых числах (n»1) ΔЕ_n / E_п ≈ 2/п «1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Стационарное уравнение Шредингера

Основное уравнение квантовой механики было предложено Э. Шредингером в $1926$ г. Его значение в квантовой физике аналогично значению уравнению движения И. Ньютона. Уравнение Шредингера не выводится, оно постулируется. Его истинность доказывается тем, что полученные с его помощью результаты хорошо согласуются с экспериментами, проводимыми в рамках атомной и ядерной физики. Уравнение Шредингера можно представить в следующем виде:

где $hbar =frac<2>=1,05cdot <10>^<-34>Джcdot с $- постоянная Планка, $m$ — масса частицы, $Uleft(x,y,z,tright)$- потенциальная энергия частицы в силовом поле в котором перемещается частица, $triangle =frac+frac+frac$ — оператор Лапласа, $Psi=Psi(x,y,z,t)$ — волновая функция частицы, $i=sqrt<-1>$ — мнимая единица.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнение (1) является справедливым для любой частицы, которая движется со скоростью много меньшей скорости света ($vll c, где c $– скорость света в вакууме). Уравнение Шредингера дополняют условиями, которые накладываются на волновую функцию $Psi (x,y,z,t)$:

Данная функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной.

Функция $^2$ должна быть интегрируемой, что означает, интеграл $iiintlimits^_<-infty ><^2dxdydz>$ должен быть конечным. В самом простом случае данное условие сводится к условию нормировки вероятностей. Это условие связано с тем, что физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а $^2$.

Значение вышеперечисленных условий в том, что с их помощью не решая уравнения Шредингера, только изучая возможные решения, можно делать ряд важных выводов об энергии и других параметрах рассматриваемой частицы.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Уравнение (1) называют временн$acute<ы>$м уравнением Шредингера, так как оно содержит производную от волновой функции по времени.

Стационарное уравнение Шредингера

Для большого числа явлений, которые происходят в микромире можно использовать стационарную волновую функцию (независящую от времени) и соответственно стационарное уравнение Шредингера. Такое уравнение имеет смысл для задач, в которых потенциальная энергия не зависит от времени ($U=Uleft(x,y,zright)$).

Решение уравнения (1) найдем в виде:

Подставим выражение (2) в уравнение Шредингера (1), получим:

Разделим обе части выражения (3) на произведение функций $varphi Psi$, имеем:

В уравнении (4) левая часть — функция только координат, правая — только времени. Равенство возможно только в случае, если обе части уравнения равны некоторой постоянной. Обозначим ее $-E$ и запишем:

Уравнение (6) называют стационарным уравнением Шредингера. Оно является важным уравнением в квантовой механике и играет основную роль в атомной физике. Функции $Psi$, которые удовлетворяют уравнению Шредингера при известной U, называют собственными функциями. Величины $E$ при которых существуют решения уравнения Шредингера (6) называют собственными значениями.

Уравнение (5) можно проинтегрировать. Получим:

где $_0=varphi_0left(0right)$- значение $varphi (t)$ в начальный момент времени (t=0).

Для определения смысла величины $E$ в стационарном уравнении Шредингера уравнение (6) сравнивают с волновым уравнением:

где $v^2_$ — фазовая скорость волн в квадрате. Для синусоидальных волн ($S=Aleft(rright)e^<-i2pi nu (t-frac>)>, где nu — частота волны$):

уравнение (8) записывается как:

К волнам де Бройля, которые связаны с движущимися частицами, можно применять уравнение (9). Для длины волны де Бройля известно соотношение:

где $v_$- фазовая скорость волн де Бройля, $nu $ — частота волн де Бройля. Подставим вместо $frac>$ в уравнение (10) в соответствии с (11) величину $frac$, вместо $S$ волновую функцию, получим:

$frac<2>=E-U$ — кинетическая энергия частицы, где $E$ — ее полная энергия. Выражение $frac<4^2m^2v^2>$ перепишем как:

Значит в уравнении (12) имеем:

Мы получили уравнение (14) тождественное со стационарным уравнением Шредингера. Рассуждения, приведенные выше, подчеркивают волновой характер уравнения Шредингера. Надо отметить, что представление полной энергии ($E$) как суммы потенциальной и кинетической энергии в квантовой механике имеет ограниченный характер.

Уравнение Шредингера находится в согласии с предположением о связи полной энергии ($E$) частицы с частотой волн де Бройля. Решение уравнения Шредингера можно записать в виде:

Так, состояние частицы в рассматриваемый момент времени можно описать периодической функцией времени, имеющей циклическую частоту ($omega =frac$), которая определена полной энергией частицы.

Задание: На пути электронного пучка, имеющего энергию $E$, расположен потенциальный барьер высоты $U$ ($U >E$) (рис.1). Какова относительная вероятность пребывания электрона в области $2$ на расстоянии x от границы областей $1$ и $2$ ($epsilon$)?

Решение:

В задаче следует найти отношение плотности вероятности нахождения электрона в точке $x$ к плотности вероятности его нахождения на границе областей. В задаче имеется высокий потенциальный барьер бесконечной ширины. Все падающие на барьер электроны отражаются от него, но существует вероятность, что электрон попадет в область $2$. Для нахождения вероятности обнаружения электрона в области $2$ надо решить уравнение Шредингера вида:

Для одномерного случая, который мы имеем для нашей задачи уравнение (1.1) примет вид:

Решение данного уравнения функция:

где $C$ и $D$ постоянные. Однако, из (1.3) при $xto infty ,$ то$ Psito infty $, что не допустимо, следовательно, $C=0$. Получаем:

Используя (1.4) найдем плотность вероятности нахождения частицы в точке x как:

Плотность вероятности, исходя из (1.5) на границе $^2=D^2$. Тогда относительная вероятность ($epsilon$) равна:

Задание: Запишите уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме.

Решение:

Для написания необходимого уравнения следует вспомнить формулу, определяющую потенциальную энергию, которой обладает электрон в водородоподобном атоме, находящийся на орбите радиуса r:

Уравнение для электрона в водородоподобном атоме должно быть стационарным и его можно записать как:

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

§ 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн да Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. §215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х,у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина, определяет вероятность пребывания частицы в момент времениt в объеме dV, т. е. в области с координатами x и x+dx.yиy+dy.zuz+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

(217.1)

где,т — масса частицы,— оператор Лапласа,

— мнимая единица, V <х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) произ­водныедолжны быть непрерывны; 3) функциядолжна быть

интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) , или в комплексной записиСледовательно, плоская

волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, чтоВ квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус,

но поскольку физический смысл имеет только, то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

(217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсоми подставляя выражения

(217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу).

Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то

полная энергия Е складывается из типической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные

рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случаяпридем

° к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шреди-нгера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является обкщим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шреднягера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера длястационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

так что

(217.4)

где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множительи соответствующих преобразований

придем к уравнению, определяющему функцию

(217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциямиНо регулярные решения имеют место не при любых значениях параметраЕ, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собствев-нымн. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называют­ся собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непре-

рывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.

§ 218. Принцип причинности ■ квантовой механике

Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинно­сти — принципу классического детермизма, по известному состоянию системы в неко­торый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика ос­новывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причи­на, а ее состояние в последующий момент — следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соот­ношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в началь­ный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.

Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъ­ектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъ­екта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В кванто­вой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией (х,у, z, t), квадрат модуля которой(х,у, z, t) 2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция(х,у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредин-гера (217.1), содержащему первую производную функции по времени. Это же означает, что задание функции(для момента времениt) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние

есть причина, а состояниев последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функциипредопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшест­вующего состояния, как того требует принцип причинности.

Источники:

http://studopedia.ru/2_40870_uravnenie-shredingera–osnovnoe-uravnenie-nerelyativistskoy-kvantovoy-mehaniki-uravnenie-shredingera-dlya-statsionarnih-sostoyaniy.html

http://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/stacionarnoe_uravnenie_shredingera/

http://studfile.net/preview/6328454/page:8/