Решение тригонометрических неравенств. Решение неравенств онлайн

Неравенства

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.

Не важно каким является неравенство – строгим ( ) или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Читать еще:  Гадание на бумажке с ручкой. Гадания на бумаге: на будущее, любовь и желание

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

Тригонометрические неравенства и их решения

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Решение тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида: ( sin x a ), ( cos x > a ), ( operatorname x > a ), ( operatorname x > a ), ( sin x leq a ), ( cos x leq a ), ( operatorname x leq a ), ( operatorname x leq a ), ( sin x geq a ), ( cos geq a ), ( operatorname x geq a ), ( operatorname x geq a )

Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.

По определению, синусом угла ( alpha ) есть ординатой точки ( P_(x, y) ) единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.

Примеры решения тригонометрических неравенств

Решить неравенство ( sin x leq frac> <2>)

Синус – функция ограниченная: ( |sin x| leq 1 ) , а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.

Ответ: решений нет.

Решить неравенство ( cos x>frac<1> <2>)

Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть ( y=cos x ) и ( y=frac<1> <2>) . Выделим промежутки, на которых график функции косинус ( y=cos x ) расположен выше графика прямой ( y=frac<1> <2>) (рис. 4).

Читать еще:  Скачать игры типа гта на андроид. GTA-подобные игры

Найдем абсциссы точек ( boldsymbol_ <1>) и ( x_ <2>) – точек пересечения графиков функций ( y=cos x ) и ( y=frac<1> <2>) , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство. ( x_<1>=-arccos frac<1><2>=-frac <3>); ( x_<1>=arccos frac<1><2>=frac <3>)

Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом ( 2 pi ) , ответом будет значения ( x ) из промежутков ( left(-frac<3>+2 pi k ; frac<3>+2 pi kright) ), ( k in Z )

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую ( x=frac<1> <2>) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим ( P_> ) и ( P_> ) (рис. 5) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше ( frac<1> <2>) . Найдем значение ( x_ <1>) и ( 2 ) , совершая обход против часовой стрелки так, чтобы ( x_

Решение неравенств

Решите неравенство [x+10 0] Решим его методом интервалов:

Таким образом, подходят (xin left(-infty;-frac53right)cup(2;+infty)) .

Решите неравенство [x^2+34x+289>0]

Заметим, что по формуле квадрата суммы (x^2+34x+289=(x+17)^2) , следовательно, неравенство принимает вид: [(x+17)^2>0] Решим его методом интервалов:

Таким образом, нам подходят (xin(-infty;-17)cup(-17;+infty)) .

Решите неравенство [x^2-4x+4leqslant 0]

Заметим, что по формуле квадрата разности (x^2-4x+4=(x-2)^2) , следовательно, неравенство принимает вид: [(x-2)^2leqslant 0] Решим его методом интервалов:

Таким образом, нам подходят (xin<2>) .

Решите неравенство [x^2+3x+3geqslant 0]

Разложим на множители выражение (x^2+3x+3) , для этого решим уравнение (x^2+3x+3=0) . Оно имеет отрицательный дискриминант, следовательно, не разлагается на множители и принимает значения одного знака: либо положительно, либо отрицательно при всех (x) . Проверить его знак можно, подставив вместо (x) любое число, например, (x=0) : получим (3) , следовательно, выражение всегда (>0) .

Таким образом, нам подходят (xin mathbb) .

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения [(x — 1)(x + 2) = 0] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: [x = 1,qquadqquad x = -2]

Читать еще:  Что можно и нельзя есть в пост? Что нельзя делать в великий пост.

2) Найдём нули знаменателя: [(x — 3)(x + 4) = 0qquadLeftrightarrowqquad left[ begin x = 3\ x = -4 end right.]

По методу интервалов:

откуда [xin(-4; -2]cup[1; 3),.] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения [(x + 1)(x — 2) = 0] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: [x = -1,qquadqquad x = 2]

2) Найдём нули знаменателя: [(x + 3)(x^2 + 4) = 0] так как (x^2geqslant 0) , то (x^2 + 4geqslant 4) , следовательно, нули знаменателя: [x = -3]

По методу интервалов:

откуда [xin(-infty; -3)cup[-1; 2],.] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Источники:

http://math24.biz/inequality

http://sciterm.ru/spravochnik/trigonometricheskie-neravenstva-i-ih-resheniya/

http://shkolkovo.net/catalog/reshenie_neravenstv

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector
×
×
×
×