Что такое логарифм? Решение логарифмов. Примеры

Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

log_a a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

log_a 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log₂16. Поэтому сначала найдем значение log₂16, а затем подставим полученный результат в log₄:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм. Больше видео уроков вы можете найти в нашей группе Вконтакте.

Что такое логарифм? Решение логарифмов. Примеры

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно “не очень. ”
И для тех, кто “очень даже. ” )

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно – уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 – 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм.

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень.

Чувствую, сомневаетесь вы. Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

3 x = 9

Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе степени. Если вы не в ладах с показательными уравнениями, или вообще про них ничего не слышали – не страшно. Просто подберите х, чтобы равенство сработало. Удалось? Ну да, х = 2. Три в квадрате – это девять.

А теперь решите почти то же самое:

3 x = 8

Что, что-то не так? Ответ, что нету такого икса, не принимается!

Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….

Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (3 1 = 3) и двойкой (3 2 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз. Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?

Вернёмся к нашему загадочному примеру:

3 x = 8.

х – это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если непонятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.

Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:

Читаем ещё раз: “икс равен логарифму восьми по основанию три”.

Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу. Основание у чего угодно – оно, обычно, внизу бывает.

И это правильный ответ!

Мы решили крутое показательное уравнение 3 x = 8!

И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!

Как решить пример:

5 x = 12 ?

Легко! х – это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12. В математической записи:

2 x =135 ?

19 x = 0,352 ?

Это все верные ответы! Приятно, правда?

Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: “как доехать до вокзала?” И нам честно и правильно ответили: “На автобусе, который идёт до вокзала!” В жизни толку с такого ответа мало.

А в математике – пожалуйста!

На вопрос: чему равен х в уравнении

3 x = 8 ?

Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:

Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас. Я покажу вам это конкретное число:

Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно.

Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ – посчитает на калькуляторе.

Так, что такое логарифм – осознали, и решать целый класс показательных уравнений – научились.

Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log₂4 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.

И чему же равен log₂4?

Переводим с математического на русский: log₂4 – это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?

Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:

А log₃27 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:

Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:

Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.

Что, тяжело сообразить, в какой степени шестёрка даст 216? А я предупреждал, что здесь таблицу умножения знать надо! Более того, намекну, что таблицу умножения вообще знать надо. Не только здесь.

Ну что, смотрим на часы? Сильно я ошибся?

Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они не опасны. Но есть, есть у них свои фишки! Самая важная – это ограничения.

До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.

Запишем в общем виде, т.е. через буквы:

Вспомним: а – это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

Прикинем, любым ли числом может быть а? Если, к примеру, а = 1? Забавно получится, единица в любой степени – единица. Как-то оно не очень. Как ни меняй с, а а и b единичками останутся. Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа – капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя. Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.

В результате получилось:

а > 0; a ≠ 1

А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим. получим. Да! Положительное число и получим. Отсюда:

Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.

При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но при решении логарифмических уравнений и неравенств – это настолько важно, что я здесь про ограничения сказал, в уравнениях скажу, и при любом удобном случае повторять буду!

Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.

Иррациональное число. Сплошь и рядом попадается в высшей математике. Само попадается, его не придумали. Почему попадается – неизвестно.

Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.

Основание 10 не пишется, буква “о” пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И

Логарифмы по основанию “е” называются натуральными. Хотя чего уж там натурального.

Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!

Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение “Решение логарифмов” предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.

Запишем знакомое нам выражение:

Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:

А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:

Подставим это в предыдущую формулу, и получим:

И зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!

Это первая формула свойств логарифмов. Её надо помнить! Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.

Чему равняется выражение:

В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужто забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:

Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:

Оставшиеся свойства логарифмов выводить не будем, я их приведу сразу в комплекте. Этот комплект надо знать! Это основа для решения логарифмов.

Свойства логарифмов.

Такой вот джентльменский набор. Много? Да нет. Первые три – понятны. Остаётся всего пять запомнить. Но их надо знать железно. Причем слева направо и справа налево. Особо отмечу последнюю формулу. Это формула перехода к новому основанию логарифма. Ленятся ее, почему-то, запоминать. А в ЕГЭ, бывает, только она и спасает. Мы с ней дружить будем.

Обратите внимание – действия с логарифмами (формулы 4 и 5) возможны только при одинаковых основаниях! А если основания разные!? А вот тут нас как раз спасёт последняя формула.

Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули использовать. Но там мы разберёмся со всеми подводными камнями, не волнуйтесь!

Ну, ладно. Формулы хорошие, решать-то как? Открываю тайну. Все задания на упрощение выражений с логарифмами решаются применением этих хороших формул (во, Америку открыл!). Попробуем, что-нибудь простенькое?

Оба логарифма ровно не считаются. Смотрим на формулы – свойства и выбираем подходящую. Это четвёртая формула, только справа налево. Подумаешь! Сообразим как-нибудь.

Как видите, свойства логарифмов позволили нам перейти от несчитаемого выражения к чудному числу 1. Собственно, это и есть общая идея решения логарифмов (да и идея математики вообще!) – использование правил, свойств для преобразования плохих выражений (я про математику!) в хорошие.

Надеюсь, всё понятно? Что, слишком элементарно? Ну ладно. Вот примеры чуток посложнее. Вычислить:

Ответы (в беспорядке): 2; 2,5; 4,5; 3.

Решилось? Неплохо! А ещё?

Тоже без проблем? Ну ладно. А вот это?

Ответы: 1; 36; 1; 2; 0,5.

И это получилось? Блеск! Ну что ж, думаю, что решение логарифмов – не самое слабое Ваше место! Можете заглянуть в Раздел 555. Особый. Есть там примерчик для Вас, на десерт. На третьем уровне.

Что, не всё решается? Или ничего не решается? Не переживайте, это дело поправимое. Вам прямая дорога в Раздел 555. Особый. Там подробно рассказано, как свойства логарифмов в дело употреблять. И не только для этих примеров, а и для всех сразу! Даны практические советы, которых вы не найдёте в учебниках. Очень рекомендую!

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) – это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log_ab = x, что равносильно a x = b, поэтому log_aa x = x.

log₂8 = 3, т.к. 2 3 = 8

log₇49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log₅1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм – это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log₁₀100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм – также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828. – иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождество
a log_ab = b

8 2log₈3 = (8 2log₈3 ) 2 = 3 2 = 9
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
log_a (bc) = log_ab + log_ac

log₃8,1 + log₃10 = log₃ (8,1*10) = log₃81 = 4
Логарифм частного равен разности логарифмов
log_a (b/c) = log_ab – log_ac

9 log₅50 /9 log₅2 = 9 log₅50- log₅2 = 9 log₅25 = 9 2 = 81
Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа log_ab m = mlog_ab

Показатель степени основания логарифма log_{a n} b =1/n*log_ab

если m = n, получим log_{a n} b n = log_ab

log₄9 = log_{2 2} 3 2 = log₂3
Переход к новому основанию
log_ab = log_cb/log_ca,

если c = b, получим log_bb = 1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: “Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах”. Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источники:

http://yourrepetitor.ru/chto-takoe-logarifm-kak-poschitat-logarifm-svojstva-logarifmov-primery-resheniya-logarifmov/

http://www.egesdam.ru/page280.php

http://reshit.ru/Formuly-logarifmov-Logarifmy-primery-resheniya