Что показывает первая производная. Правила вычисления производных

Правила вычисления производных

• Материалы к уроку
• Скачать все правила

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x :

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f ( x ) = x 2 + (2 x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2 x 3 )’ = 2 · ( x 3 )’ = 2 · 3 x 2 = 6 x 2 .

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f ( x ) и g ( x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, ( f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 2 + sin x; g ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 3.

Функция f ( x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’( x ) = ( x 2 + sin x )’ = ( x 2 )’ + (sin x )’ = 2 x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g ( x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’( x ) = ( x 4 + 2 x 2 − 3)’ = ( x 4 + 2 x 2 + (−3))’ = ( x 4 )’ + (2 x 2 )’ + (−3)’ = 4 x 3 + 4 x + 0 = 4 x · ( x 2 + 1).

Ответ:
f ’( x ) = 2 x + cos x;
g ’( x ) = 4 x · ( x 2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

( f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 3 · cos x; g ( x ) = ( x 2 + 7 x − 7) · e x .

Функция f ( x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’( x ) = ( x 3 · cos x )’ = ( x 3 )’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3 x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )

У функции g ( x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g ( x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’( x ) = (( x 2 + 7 x − 7) · e x )’ = ( x 2 + 7 x − 7)’ · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · ( e x )’ = (2 x + 7) · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7 x −7) = ( x 2 + 9 x ) · e x = x ( x + 9) · e x .

Ответ:
f ’( x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
g ’( x ) = x ( x + 9) · e x .

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f ( x ) и g ( x ), причем g ( x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h ( x ) = f ( x )/ g ( x ). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f ( x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f ( x ) = sin ( x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’( x ) = f ’( t ) · t ’, если x заменяется на t ( x ).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f ( x ) = e 2 x + 3 ; g ( x ) = sin ( x 2 + ln x )

Заметим, что если в функции f ( x ) вместо выражения 2 x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f ( x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2 x + 3 = t , f ( x ) = f ( t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( e t )’ · t ’ = e t · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим:

f ’( x ) = e t · t ’ = e 2 x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2 x + 3 · 2 = 2 · e 2 x + 3

Теперь разберемся с функцией g ( x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:

g ’( x ) = g ’( t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:

g ’( x ) = cos ( x 2 + ln x ) · ( x 2 + ln x )’ = cos ( x 2 + ln x ) · (2 x + 1/ x ).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’( x ) = 2 · e 2 x + 3 ;
g ’( x ) = (2 x + 1/ x ) · cos ( x 2 + ln x ).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

( x n )’ = n · x n − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f ( x ) = ( x 2 + 8 x − 7) 0,5 .

Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8 x − 7 = t . Находим производную по формуле:

f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( t 0,5 )’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x 2 + 8 x − 7. Имеем:

f ’( x ) = 0,5 · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 · ( x 2 + 8 x − 7)’ = 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 .

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Правила вычисления производных

Правила нахождения производных сводятся к умению применять формулы основных алгебраических действий над функциями. К правилам относятся:

1. Правило производной суммы $$y’ = (fx_1 + fx_2 + dots + fx_n)’ = (fx’_1+fx’_2+dots +fx’_n)$$
2. Правило производной разности $$y’ = (fx_1 — fx_2 — dots — fx_n)’ = (fx’_1-fx’_2-dots -fx’_n)$$
3. Производная произведения $$y’ = (fx_1 cdot fx_2 cdot dots cdot fx_n) = fx’_1 fx_2 fx_3 dots fx_n + fx_1 fx’_2 fx_3 dots fx_n + dots + fx_1 fx_2 fx_3 dots fx’_n$$
4. Производная частного [y’=left(fracright)^ <<'>> =frac > gleft(xright)-gleft(xright)^ <<'>> fleft(xright)>left(xright)> ]

Вычислить по правилу разности производную

1. По правилу разности: производная разности функций есть разность их производных. [y’=left(x^ <3>-2sqrt[<3>] -4e^ -ln xright)^ <<'>> =left(x^ <3>right)^ <<'>> -left(2sqrt[<3>] right)^ <<'>> -left(4e^ right)^ <<'>> -left(ln xright)^ <<'>> ]
2. Разберем нахождение производной каждого слагаемого.
   1. Производная степени находится по формуле: [a^ =ncdot a^ ] [left(x^ <3>right)^ <<'>> =3x^ <2>]
   2. Производную корня можно найти через производную степени по выше указанной формуле, вынося числовой множитель за знак производной. [left(2sqrt[<3>] right)^ <<'>> =2left(sqrt[<3>] right)^ <<'>> =2left(x^<3>> right)^ <<'>> =2cdot frac<1><3>x^<-frac<2><3>> =frac<2><3sqrt[<3>] > > ]
   3. Производная постоянной е неизменна: [e^ =e^x ] [left(4e^ right)^ <<'>> =4left(e^ right)^ <<'>> =4e^ ]
   4. Производная натурального логарифма: [left(ln xright)^ <<'>> =frac<1>]
3. Запишем результат нахождения производной функций [y’=left(x^ <3>right)^ <<'>> -left(2sqrt[<3>] right)^ <<'>> -left(4e^ right)^ <<'>> -left(ln xright)^ <<'>> =3x^ <2>-frac<2><3sqrt[<3>] > > -4e^ -frac<1>]

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Вычислить по правилу суммы производную

[y=arcsin x+arccos x+arctgx]

1. По правилу суммы: производная суммы функций есть сумма их производных. [y’=left(arcsin x+arccos x+arctgxright)^ <<'>> =arcsin x’+arccos x’+arctgx’]
2. Разберем нахождение производной каждого слагаемого.
   1. Производная арксинуса: [arcsin x’=frac<1>> > ]
   2. Производная арккосинуса: [arccos x’=-frac<1><1-x^<2>> ]
   3. Производная арктангенса: [arctgx’=frac<1><1+x^<2>> ]
3. Запишем результат нахождения производной функций [y’=arcsin x’+arccos x’+arctgx’=frac<1>> > -frac<1><1-x^<2>> +frac<1><1+x^<2>> ]

[y=sin xcdot cos xcdot tgxcdot ctgx]

1. По правилу производной произведения: $$y’ = (fx_1 cdot fx_2 cdot dots cdot fx_n) = fx’_1 fx_2 fx_3 dots fx_n + fx_1 fx’_2 fx_3 dots fx_n + dots + fx_1 fx_2 fx_3 dots fx’_n$$ [y’=left(sin xcdot cos xcdot tgxright)^ <<'>> =sin x’cdot cos xcdot tgx+sin xcdot cos x’cdot tgx+sin xcdot cos xcdot tgx’=]
2. Найдем производные множителей [y’=cos xcdot cos xcdot tgx-sin xcdot sin xcdot tgx+sin xcdot fracx> =cos ^ <2>xcdot tgx-sin x^ <2>cdot tgx+frac=]
3. Упростим выражение [y’=tgxleft(cos ^ <2>x-sin x^ <2>right)+tgx=tgx+tgx=2tgx]

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Источники:

http://www.berdov.com/docs/fluxion/rules/

http://zaochnik-com.ru/blog/proizvodnaya-dlya-chajnikov-opredelenie-kak-najti-primery-reshenij/

http://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differencial/pravila_vychisleniya_proizvodnyh/