Что называют основанием пирамиды. Пирамида

Что называют основанием пирамиды. Пирамида

Пирамида — (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник,
основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие
общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные,
четырехугольные и т. д.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой
пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на
плоскость основания.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса .

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основани

Если все боковые ребра равны, то:

  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
  • также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра
    • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

    где — площадь основания и — высота;

    • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

    • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

    • Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

    где — апофема , — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.

    Особые случаи пирамиды

    Правильная пирамида

    Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник , а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

    • боковые ребра правильной пирамиды равны;
    • в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
    • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
    • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания [6] ;
    • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

    Прямоугольная пирамида

    Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

    Усечённая пирамида

    Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

    Пирамида

    Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

    По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

    Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

    Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

    Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

    Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

    Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

    Некоторые свойства пирамиды

    1) Если все боковые ребра равны, то

    около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

    Верно и обратное.

    Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

    Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

    2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    Верно и обратное.

    Виды пирамид

    Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

    Для правильной пирамиды справедливо:

    – боковые ребра правильной пирамиды равны;

    – в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

    – в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

    – около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

    – площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


    Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

    Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

    Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

    Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

    Пирамиды

    Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A1A2 . An , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

    Определение 1. Пирамидой ( n — угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A1A2 . An (рис. 1) .

    Точку S называют вершиной пирамиды.

    Точки A1 , A2 , . , An , S часто называют просто вершинами пирамиды.

    Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

    Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

    Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

    Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

    Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

    Доказательство. Заметим, что у n — угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n — угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

    то теорема Эйлера доказана.

    Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

    Замечание 2. Если центр основания A1A2 . An правильной пирамиды SA1A2 . An обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

    Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

    На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SAnAn-1 и отрезок SC – апофема грани SA2A1 .

    Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

    Свойства правильной пирамиды:

    Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

    Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

    У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

    Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

    Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

    Тетраэдры. Правильные тетраэдры

    Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

    Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

    Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

    По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

    Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

    Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

    Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

    где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

    ,

    .

    По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

    Ответ.

    Источники:

    http://www.sites.google.com/site/azz181818/home/telo-geometriceskoe/piramida

    http://egemaximum.ru/piramida/

    http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoollos.htm

    Читать еще:  Все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Геометрические фигуры
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector