Умножение матриц задания. Матрицы и операции над ними

Содержание

Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Решение. Так как матрицы $A$ и $B$ равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Ответ. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Задание. Пусть $A=left( begin <3>\ <-1>endright)$. Найти матрицу $2A$.

Ответ. $2 A=left( begin <6>\ <-2>endright)$

Подробная теория про умножение марицы на число по ссылке.

Сумма матриц

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы $A$, $B$ и $C$ — матрицы одного размера.

  1. Ассоциативность $(A+B)+C=A+(B+C)$
  2. $A+Theta=Theta+A$, где $Theta$ — нулевая матрица соответствующего размера.
  3. $A-A=Theta$
  4. Коммутативность $A+B=B+A$
  5. Дистрибутивность $lambda(A+B)=lambda A+lambda B$
  6. $(lambda+mu) A=lambda A+mu A$
  7. $(lambda mu) A=lambda(mu A)$

Произведение двух матриц

Произведением матрицы $A_$ на матрицу $B_$ называется матрица $C_$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $C_$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Решение. Так как $A=A_<2 times 3>$, а $B=B_<3 times 1>$, то в результате получим матрицу размера $C=C_<2 times 1>$, т.е. матрицу вида $C=left( begin> \ >endright)$ . Найдем элементы данной матрицы:

$c_<11>=a_ <11>cdot b_<11>+a_ <12>cdot b_<21>+a_ <13>cdot b_<31>=1 cdot 1+2 cdot 2+0 cdot 3=5 $ $c_<21>=a_ <21>cdot b_<11>+a_ <22>cdot b_<21>+a_ <23>cdot b_<31>=3 cdot 1+1 cdot 2+(-1) cdot 3=2 $

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Ответ. $C=A B=left( begin <5>\ <2>endright)$

Свойства произведения матриц:

  1. Ассоциативность $(A cdot B) cdot C=A cdot(B cdot C)$
  2. Ассоциативность по умножению $(mu cdot A) cdot B=mu cdot(A cdot B)$
  3. Дистрибутивность $A cdot(B+C)=A cdot B+A cdot C$ , $(A+B) cdot C=A cdot C+B cdot C$
  4. Умножение на единичную матрицу $E_ cdot A_=A_ cdot E_=A_$
  5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $A B neq B A$
  6. $E A=A$

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы — это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Задание. Найти транспонированную матрицу $A^$, если $A=left( begin <1>& <3>& <7>\ <2>& <4>& <-1>endright)$

Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы «Матрицы. Виды матриц. Основные термины».

Сложение и вычитание матриц.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Запись «$i=overline<1,m>$» означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=overline<1,5>$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Заданы три матрицы:

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы $A$ равен $2times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$ C=A+B=left(begin -1 & -2 & 1 \ 5 & 9 & -8 end right)+ left(begin 10 & -25 & 98 \ 3 & 0 & -14 end right)=\= left(begin -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) end right)= left(begin 9 & -27 & 99 \ 8 & 9 & -22 end right) $$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$ D=A-B=left(begin -1 & -2 & 1 \ 5 & 9 & -8 end right)- left(begin 10 & -25 & 98 \ 3 & 0 & -14 end right)=\= left(begin -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) end right)= left(begin -11 & 23 & -97 \ 2 & 9 & 6 end right) $$

Ответ: $C=left(begin 9 & -27 & 99 \ 8 & 9 & -22 end right)$, $D=left(begin -11 & 23 & -97 \ 2 & 9 & 6 end right)$.

Умножение матрицы на число.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Задана матрица: $ A=left(begin -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end right)$. Найти матрицы $3cdot A$, $-5cdot A$ и $-A$.

$$ 3cdot A=3cdot left(begin -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end right) =left(begin 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 end right)= left(begin -3 & -6 & 21 \ 12& 27 & 0 end right).\ -5cdot A=-5cdot left(begin -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end right) =left(begin -5cdot(-1) & -5cdot(-2) & -5cdot 7 \ -5cdot 4 & -5cdot 9 & -5cdot 0 end right)= left(begin 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 end right). $$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$ -A=-1cdot A=-1cdot left(begin -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end right)= left(begin 1 & 2 & -7 \ -4 & -9 & 0 end right) $$

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_<5times 4>$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_<9times 8>$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4neq 9$. А вот умножить матрицу $A_<5times 4>$ на матрицу $B_<4times 9>$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_<5times 4>$ и $B_<4times 9>$ будет матрица $C_<5times 9>$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Заданы матрицы: $ A=left(begin -1 & 2 & -3 & 0 \ 5 & 4 & -2 & 1 \ -8 & 11 & -10 & -5 end right)$ и $ B=left(begin -9 & 3 \ 6 & 20 \ 7 & 0 \ 12 & -4 end right)$. Найти матрицу $C=Acdot B$.

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=left(begin c_ <11>& c_ <12>\ c_ <21>& c_ <22>\ c_ <31>& c_ <32>end right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: «Матрицы. Виды матриц. Основные термины», в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_<11>$. Чтобы получить элемент $c_<11>$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_<11>$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$ c_<11>=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продолжим решение и найдем $c_<12>$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$ c_<12>=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_<21>$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Следующий элемент $c_<22>$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_<22>=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Чтобы найти $c_<31>$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$ c_<31>=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

И, наконец, для нахождения элемента $c_<32>$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_<32>=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=left(begin 0 & 37 \ -23 & 91 \ 8 & 216 end right)$. Или, если уж писать полностью:

$$ C=Acdot B =left(begin -1 & 2 & -3 & 0 \ 5 & 4 & -2 & 1 \ -8 & 11 & -10 & -5 end right)cdot left(begin -9 & 3 \ 6 & 20 \ 7 & 0 \ 12 & -4 end right)=left(begin 0 & 37 \ -23 & 91 \ 8 & 216 end right). $$

Ответ: $C=left(begin 0 & 37 \ -23 & 91 \ 8 & 216 end right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$$ left(begin 6 & 3 \ -17 & -2 endright)cdot left(begin 4 & 9 \ -6 & 90 end right) =left(begin 6cdot<4>+3cdot(-6) & 6cdot<9>+3cdot <90>\ -17cdot<4>+(-2)cdot(-6) & -17cdot<9>+(-2)cdot <90>end right) =left(begin 6 & 324 \ -56 & -333 end right) $$

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $Acdot Bneq Bcdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $Acdot B=Bcdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза «домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа» означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)cdot A=Ycdot A$.

Транспонированная матрица.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_<3times 5>$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $alpha$, $beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

  1. $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
  2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
  3. $(alpha+beta)cdot A=alpha A+beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
  4. $alphacdot(A+B)=alpha A+alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
  5. $A(BC)=(AB)C$
  6. $(alphabeta)A=alpha(beta A)$
  7. $Acdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)cdot A=BA+CA$.
  8. $Acdot E=A$, $Ecdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
  9. $Acdot O=O$, $Ocdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
  10. $left(A^T right)^T=A$
  11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
  12. $(AB)^T=B^Tcdot A^T$
  13. $left(alpha A right)^T=alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Примеры решения задач с матрицами

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным операциям над матрицами.

На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними. Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Примеры по темам:

Матрицы: основные определения и понятия

Задание. Чему равен элемент $ a_ <23>$ матрицы $ A=left( begin <1>& <4>& <0>\ <-1>& <3>& <7>endright) $ ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, $a_<23>=7$.

Ответ. $a_<23>=7$

Умножение матрицы на число

Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.

Задание. Пусть $A=left( begin <3>\ <-1>endright)$ . Найти матрицу 2$A$.

Ответ. $2 A=left( begin <6>\ <-2>endright)$

Сложение и вычитание матриц

Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.

Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$, если $A=left( begin <1>& <2>\ <2>& <-1>\ <3>& <0>endright), B=left( begin <-1>& <1>\ <1>& <2>\ <0>& <0>endright)$

Умножение матриц

Теоретический материал по теме — умножение матриц.

Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=left( begin <1>& <-1>\ <2>& <0>\ <3>& <0>endright), B=left( begin <1>& <1>\ <2>& <0>endright)$

Решение. Так как $A=A_<3 times 2>$ , а $B=B_<2 times 2>$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_<3 times 2>$ , а это матрица вида $C=left( begin> & > \ > & > \ > & >endright)$ .

Вычисли элементы матрицы $C$ :

$ c_<11>=a_ <11>cdot b_<11>+a_ <12>cdot b_<21>=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $

$ c_<12>=a_ <11>cdot b_<12>+a_ <12>cdot b_<22>=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $

$ c_<21>=a_ <21>cdot b_<11>+a_ <22>cdot b_<21>=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $

$ c_<22>=a_ <21>cdot b_<12>+a_ <22>cdot b_<22>=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $

$ c_<31>=a_ <31>cdot b_<11>+a_ <32>cdot b_<21>=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $

$ c_<31>=a_ <31>cdot b_<12>+a_ <32>cdot b_<22>=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $

Выполним произведения в более компактном виде:

Найдем теперь произведение $D=B A=B_ <2 times 2>cdot A_<3 times 2>$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $A B=left( begin <-1>& <1>\ <2>& <2>\ <3>& <3>endright)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

Транспонирование матрицы

Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.

Задание. Найти матрицу $A^$, если $A=left( begin <1>& <0>\ <-2>& <3>endright)$

Минор и алгебраическое дополнение

Задание. Найти минор $M_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| begin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>endright|$ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

Задание. Найти алгебраическое дополнение $A_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| begin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>endright|$ .

Вычисление определителя

Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| begin <11>& <-2>\ <7>& <5>endright|$

Решение. $left| begin <11>& <-2>\ <7>& <5>endright|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Задание. Вычислить определитель $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|$ методом треугольников.

Решение. $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$

Задание. Вычислить определитель $left| begin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>endright|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Задание. Вычислить определитель $Delta=left| begin <-2>& <1>& <3>& <2>\ <3>& <0>& <-1>& <2>\ <-5>& <2>& <3>& <0>\ <4>& <-1>& <2>& <-3>endright|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $Delta=-80$

Нахождение обратной матрицы

Задание. Для матрицы $A=left( begin <7>& <4>\ <5>& <3>endright)$ найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице $A$ справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что $A^<-1>=left( begin <3>& <-4>\ <-5>& <7>endright)$

Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( begin <1>& <1>\ <1>& <2>endright)$

Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| begin <1>& <1>\ <1>& <2>endright|=2-1=1 neq 0$

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( begin <1>& <0>& <2>\ <2>& <-1>& <1>\ <1>& <3>& <-1>endright)$

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$Delta=left| begin <1>& <0>& <2>\ <2>& <-1>& <1>\ <1>& <3>& <-1>endright|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$

$-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 neq 0$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^<-1>$ к матрице $A$ находится по формуле:

Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

Нахождение ранга матрицы

Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей — две четвертых:

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей — три третьих:

Меняем местами первую и вторую строчки:

Далее четвертую и первую строки:

Ответ. $operatorname A=2$

Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin <1>& <2>& <-1>& <-2>\ <2>& <4>& <3>& <0>\ <-1>& <-2>& <6>& <6>endright)$ , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор $M_<1>=1 neq 0$ . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор $M_<2>^<1>=left| begin <1>& <2>\ <2>& <4>endright|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор $M_<1>$ окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_<2>^<2>=left| begin <1>& <-1>\ <2>& <3>endright|=5 neq 0$ , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор $M_<2>^<2>$ . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$ равен двум: $operatorname A=2$

Ответ. $operatorname A=2$

Источники:

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_6_3.php

http://math1.ru/education/matrix/matrixop.html

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_6_16.php

Читать еще:  Гадалка чтобы был лад в семье. Семейный заговор – защита семейных отношений
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector