Обратное действие логарифму. Обратная тригонометрическая функция

Тригонометрия. Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.

К ним обычно относят 6 функций:

  • арксинус (обозначение: arcsin x; arcsin x — это угол, sin которого равен x),
  • арккосинус (обозначение: arccos x; arccos x — это угол, косинус которого равняется x и так далее),
  • арктангенс (обозначение: arctg x или arctan x),
  • арккотангенс (обозначение: arcctg x или arccot x или arccotan x),
  • арксеканс (обозначение: arcsec x),
  • арккосеканс (обозначение: arccosec x или arccsc x).

Арксинус (y = arcsin x) – обратная функция к sin (x = sin y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его sin.

Арккосинус (y = arccos x) – обратная функция к cos (x = cos y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его cos.

Арктангенс (y = arctg x) – обратная функция к tg (x = tg y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg.

Арккотангенс (y = arcctg x) – обратная функция к ctg (x = ctg y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его ctg.

arcsec — арксеканс, возвращает угол по значению его секанса.

arccosec — арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса.

Когда обратная тригонометрическая функция не определяется в указанной точке, значит, ее значение не появится в итоговой таблице. Функции arcsec и arccosec не определяются на отрезке (-1,1), а arcsin и arccos определяются только на отрезке [-1,1].

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции прибавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции связывают с длиной дуги единичной окружности (либо углом, который стягивает эту дугу), которая соответствует тому либо другому отрезку.

Читать еще:  Почему Бог не отвечает? Бог молчит, не отвечает на молитвы, что делать.

Иногда в зарубежной литературе, как и в научных/инженерных калькуляторах, используют обозначениями вроде sin −1 , cos −1 для арксинуса, арккосинуса и тому подобное, — это считается не полностью точным, т.к. вероятна путаница с возведением функции в степень −1−1 » (минус первая степень) определяет функцию x = f -1 (y), обратную функции y = f (x)).

Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x и сохраним обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями:

где k – всякое целое число. При k = 0 у нас есть главные значения.

Выражение обратных тригонометрических функций комплексного переменного через логарифм

Формулы обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции выражаются через натуральные логарифмы следующим образом:

Здесь стоит подчеркнуть, что все эти функции многозначны и обозначают всю совокупность значений в целом. Везде подразумевается, что квадратный корень имеет два знака: «+» и «–», а логарифм имеет бесконечное множество значений, отличающихся на 2πin , где n — целое. То есть, например, под арксинусом имеется в виду вся совокупность значений:
.
Такое правило распространяется на все многозначные функции комплексного переменного и их названия начинаются с большой буквы. Названия с маленькой буквы означают однозначную ветвь функции, заданной на определенной области Римановой поверхности.

Ниже приводится вывод этих формул.

Арксинус

Пусть f = arcsin z .

Чтобы выразить arcsin z через элементарные функции, решаем уравнение:

Выразим sin f через комплексные переменные:

Умножим на 2 i e if

Далее следует разобраться со знаком ± . С точки зрения комплексных переменных, квадратный корень всегда имеет два значения, различающихся знаком плюс и минус . Поэтому корень всегда подразумевает неоднозначность. Выберем такой знак, чтобы формула была справедлива для главного значения арксинуса. То есть для действительных значения арксинуса f = arcsin z должны находится в интервале

Читать еще:  Духовная сфера наука. Глава V

Рассмотрим знак + . Положим z = 0 .

То есть знак + соответствует главному значению арксинуса, которое имеет множество значений при

Если мы возьмем знак – , то

То есть знак – соответствует ветви арксинуса, которая имеет множество значений при

Остальные ветви получаются вследствие многозначности логарифма. Выразим выражение под знаком логарифма через модуль r и аргумент φ :

где n — целое. Тогда

То есть многозначность логарифма дает ветви, которые отстоят друг от друга на величину 2 π , что соответствует периоду синуса.

Арккосинус

Выполняем аналогичные вычисления для арккосинуса. Пусть f = arccos z .

Умножим на 2 e if

Если взять знак + , то при z = 0 имеем:

Знак + соответствует главному значению арккосинуса, которое имеет множество значений при

Если бы мы взяли знак – , то

То есть знак – соответствует ветви арккосинуса, которая имеет множество значений при .

Арктангенс

Для арктангенса, пусть f = Arctg z .

Умножим числитель и знаменатель на e if и выполняем преобразования

Рассмотрим действительные z . Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
,
где .

При . Это соответствует главному значению арктангенса, .

При . При этом аргумент функции возрастает от до : . Тогда
.

При . При этом аргумент функции убывает от до : . Тогда .

Все это соответствует главному значению арктангенса, у которого
;
.

Итак,
.
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
.
Тогда лист с , при действительных z , даст нам главное значение арктангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель , что приведет к увеличению значения арктангенса на . Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Арккотангенс

Пусть f = arcctg z .

Рассмотрим уравнение:
или

Это уравнение такое, как для тангенса, только нужно заменить z на :
;
.

Также рассмотрим действительные z . Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
,
где .

При . Это соответствует главному значению арккотангенса, .

При . При этом аргумент функции убывает от до : . Тогда .

При . При этом аргумент функции возрастает от до : . Тогда .

Все это соответствует главному значению арккотангенса, у которого
;
.

Итак,
.
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
.
Тогда лист с , при действительных z , даст нам главное значение арккотангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель , что приведет к увеличению значения арккотангенса на . Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Читать еще:  Методы распознавания образов. Пару слов о распознавании образов

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-07-2014 Изменено: 13-04-2019

Свойства обратных тригонометрических функций

Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку, то названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия тригонометрических функций.

Арксинус

Арксинусом числа ( a ) называется такое значение угла ( alpha, ) для которого ( sin alpha=a,;|a|leqslant 1,;alphain[-frac<2>;frac<2>]. )

  • Областью определения функции арксинус является отрезок ( [-1;1]. )
  • Областью значений функции арксинус является отрезок ( [-frac<2>;frac<2>]. )
  • Арксинус строго возрастающая функция.
  • ( sin left (arcsin a right )=a,;|a|leqslant 1. )
  • ( arcsinleft (sin alpha right )=alpha,;alphain[-frac<2>;frac<2>]. )
  • Арксинус является нечетной функцией: ( arcsin(-a)=-arcsin a,;|a| leqslant 1. )
  • ( arcsin a>0,;ain(0;1]. )
  • ( arcsin a=0,;a=0. )
  • ( arcsin a 0,;ain[-1;1). )
  • ( arccos a=0,;a=1. )

Арктангенс

Арктангенсом числа ( a ) называется такое значение угла ( alpha, ) для которого ( text, alpha=a,;ainmathbb,;alphainleft (-frac<2>;frac <2>right ). )

  • Областью определения функции арктангенс является вся числовая прямая: ( mathbb. )
  • Областью значений функции арктангенс является интервал ( left (-frac<2>;frac<2>right ). )
  • Арктангенс строго возрастающая функция.
  • ( textleft (text,a right ) =a,;ainmathbb. )
  • ( textleft (text,alpha right ) =alpha,;alphainleft ( -frac<2>;frac<2>right ). )
  • Арктангенс является нечетной функцией: ( textleft (-a right ) =-text,a,;ainmathbb. )
  • ( text,a>0,;ain(0;infty ). )
  • ( text,a=0,;a=0. )
  • ( text,a 0,;ainmathbb. )

Основные соотношения

  • ( arcsin a+arccos a=frac<2>,;|a|leqslant 1. )
  • ( text,a+text,a=frac<2>,;ainmathbb. )

Решение простейших тригонометрических уравнений

( sin x=a,;|a|leqslant 1Rightarrow x=(-1)^karcsin,a+pi k,;kinmathbb )

( cos x=a,;|a|leqslant 1Rightarrow x=pmarccos,a+2pi k,;kinmathbb )

( text, x=a,;ainmathbbRightarrow x=text,a+pi k,;kinmathbb )

Частные случаи

( sin x=0Rightarrow x=pi k,;kinmathbb )

( cos x=0Rightarrow x=frac<2>+pi k,;kinmathbb )

( text, x=0Rightarrow x=pi k,;kinmathbb )

( sin x=1Rightarrow x=frac<2>+2pi k,;kinmathbb )

( cos x=1Rightarrow x=2pi k,;kinmathbb )

( sin x=-1Rightarrow x=-frac<2>+2pi k,;kinmathbb )

( cos x=-1Rightarrow x=pi+2pi k,;kinmathbb )

Источники:

http://www.calc.ru/Obratnyye-Trigonometricheskiye-Funktsii-A.html

http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/obratnie_trigonometricheskie/kompleksnie/

http://calcsbox.com/post/svojstva-obratnyh-trigonometriceskih-funkcij.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector