Как найти площадь трапеции с одинаковыми. Как найти площадь трапеции

Площадь трапеции по сторонам

Как найти площадь трапеции по 4 сторонам?

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. Основания известны, следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

Из вершины тупого угла провести прямую, параллельную боковой стороне.

Найти площадь полученного треугольника по формуле Герона. Зная площадь, найти высоту треугольника, которая является также высотой трапеции.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 11 см и 28 см, а боковые стороны — 25 см и 26 см.

Дано : ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=25 см, BC=11 см,

CD=26 см, AD=28 см

1) Проведем через вершину C прямую CL, CL∥AB.

Четырехугольник ABCL — параллелограмм (по определению, так как BC∥AL — по условию, CL∥AB — по построению).

По свойству параллелограмма, AL=BC=11 см, CL=AB=25 см. Следовательно, LD=AD-AL=28-11=17 см.

2) Рассмотрим треугольник CDL. Его площадь найдём по формуле Герона

найдём площадь трапеции ABCD:

Провести из тупых углов трапеции две высоты.

В результате получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Один из катетов этих треугольников — высота трапеции. Её можно выразить через другие стороны в каждом из треугольников, затем приравнять полученные равенства.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 10см и 14 см, а боковые стороны — 13 см и 14 см.

Дано :ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=13 см, BC=10 см,

CD=15 см, AD=14 см

Проведём высоты трапеции BK и CF.

Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, KF=BC=10 см.

Пусть FD=x см, тогда AK=AD-KF-FD=14-10-x=4-x см.

Рассмотрим треугольник CDF — прямоугольный. По теореме Пифагора

Аналогично, из треугольника ABK

Приравниваем правые части:

Традиционно трапецию изображают именно в таком виде, как на рисунке 1 — с двумя тупыми углами при меньшем основании.

Но в трапеции также могут быть тупыми противоположные углы — как на рисунке 2.

Для трапеции с противоположными тупыми углами верны все рассуждения, приведенные выше, за одним исключением — в этом случае BC=AF=AK+AF.

В разных вариантах трапеции отрезки FD и AK имеют разную длину, но величина высоты, а значит, и площади, одинакова.

2 Comments

Интересное утверждение в решении задачи 2: ‘Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, BK=CF=10 см.’
Если этот четырёхугольник — прямоугольник, то это ещё не значит, что он квадрат.
Не согласна с этим объяснением. Прокомментируйте подробнее.

Площадь трапеции: формулы и методика вычислений

Для того чтобы чувствовать себя на уроках геометрии уверенно и успешно решать задачи, недостаточно выучить формулы. Их нужно в первую очередь понимать. Бояться, а тем более ненавидеть формулы – непродуктивно. В этой статье доступным языком будут проанализированы различные способы поиска площади трапеции. Для лучшего усвоения соответствующих правил и теорем уделим некоторое внимание ее свойствам. Это поможет разобраться в том, как работают правила и в каких случаях следует применять те или иные формулы.

Определяем трапецию

Свойства трапеции

Это определение обязательно надо выучить и понять, ведь это ключ к решению множества задач!

У трапеции всегда можно опустить высоту на основание. Высота – это перпендикуляр, часто обозначаемый символом h, который проведен из любой точки одного основания на другое основание или его продолжение. Средняя линия и высота помогут найти площадь трапеции. Подобные задачи являются самыми распространенными в школьном курсе геометрии и регулярно появляются среди контрольных и экзаменационных работ.

Самые простые формулы площади трапеции

В этой формуле a, b обозначают основания трапеции, h – высоту. Для удобства восприятия в этой статье знаки умножения отмечены символом (*) в формулах, хотя в официальных справочниках знак умножения обычно опускают.

Дано: трапеция с двумя основаниями, равными 10 и 14 см, высота составляет 7 см. Чему равна площадь трапеции?

Разберем решение этой задачи. По этой формуле сначала нужно найти полусумму оснований: (10+14)/2 = 12. Итак, полусумма равняется 12 см. Теперь полусумму умножаем на высоту: 12*7 = 84. Искомое найдено. Ответ: площадь трапеции равна 84 кв. см.

Вторая известная формула гласит: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции. То есть фактически вытекает из предшествующего понятия средней линии: S=m*h.

Использование диагоналей для вычислений

Другой способ нахождения площади трапеции на самом деле не так уж сложен. Он связан с ее диагоналями. По этой формуле для нахождения площади требуется умножить полупроизведение ее диагоналей (d₁ d₂) на синус угла между ними:

Рассмотрим задачу, которая показывает применение этого способа. Дано: трапеция с длиной диагоналей равной соответственно 8 и 13 см. Угол a между диагоналями равняется 30°. Найти площадь трапеции.

Решение. Используя вышеприведенную формулу, легко вычислить требуемое. Как известно, sin 30° составляет 0,5. Следовательно, S = 8*13*0,5=52. Ответ: площадь равна 52 кв. см.

Ищем площадь равнобокой трапеции

Трапеция может быть равнобокой (равнобедренной). Ее боковые стороны одинаковы И углы при основаниях равны, что хорошо иллюстрирует рисунок. Равнобедренная трапеция имеет такие же свойства, что и обычная, плюс ряд особых. Вокруг равнобокой трапеции может быть описана окружность, и в нее может быть вписана окружность.

Какие же есть методики вычисления площади такой фигуры? Нижеприведенный способ потребует больших вычислений. Для его применения нужно знать значения синуса (sin) и косинуса (cos) угла при основании трапеции. Для их расчетов требуются либо таблицы Брадиса либо инженерный калькулятор. Вот эта формула:

где с – боковое бедро, a – угол при нижнем основании.

Равнобокая трапеция обладает диагоналями одинаковой длины. Верно и обратное утверждение: если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной. Отсюда следующая формула, помогающая найти площадь трапеции – полупроизведение квадрата диагоналей на синус угла между ними: S = ½ d 2 sina.

Находим площадь прямоугольной трапеции

Известен частный случай прямоугольной трапеции. Это трапеция, у которой одна боковая сторона (ее бедро) примыкает к основаниям под прямым углом. Она имеет свойства обычной трапеции. Помимо этого, она обладает очень интересной особенностью. Разность квадратов диагоналей такой трапеции равняется разности квадратов ее оснований. Для нее используют все ранее приведенные методики вычисления площади.

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Используем формулу Пика

в этой формуле M – количество узлов, т.е. пересечений линий фигуры с линиями клетки на границах трапеции (оранжевые точки на рисунке), N – количество узлов внутри фигуры (синие точки). Удобнее всего пользоваться ею при нахождении площади неправильного многоугольника. Тем не менее, чем больше арсенал используемых методик, тем меньше ошибок и лучше результаты.

Разумеется, приведенными сведениями далеко не исчерпываются типы и свойства трапеции, а также способы поиска ее площади. В этой статье дан обзор наиболее важных ее характеристик. В решении геометрических задач важно действовать постепенно, начинать с легких формул и задач, последовательно закреплять понимание, переходить на другой уровень сложности.

Собранные воедино самые распространенные формулы помогут ученикам сориентироваться в разнообразных способах вычисления площади трапеции и более качественно подготовиться к тестам и контрольным работам по этой теме.

Площадь трапеции

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.

Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.

Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.

Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b ). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:

Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.

Проведя две высоты в трапеции, получаем по бокам прямоугольные треугольники с известными гипотенузами и неизвестными катетами x и y . Таким образом x+y=d-b , y=d-b-x .
Одинаковый катет у обоих треугольников – высота, которую мы ищем. Через теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках выражаем высоту и . Приравнивая, получаем a 2 -x 2 =c 2 -y 2 или x 2 -y 2 =a 2 -c 2 .
x 2 -(d-b-x) 2 =a 2 -c 2 – Подставляем вместо х полученное выше выражение d-b-y .
x 2 -d 2 +bd+dx-b 2 +bd-bx-x 2 +dx-bx=a 2 -c 2 – Раскрываем скобки.
x 2 -d 2 +2bd+2dx-b 2 -2bx-x 2 =a 2 -c 2 – Приводим подобные слагаемые.
2dx-2bx=a 2 -c 2 +d 2 +b 2 -2bd – Переносим все вправо, оставляя слева только y .
2x(d-b)=a 2 -c 2 +(d-b) 2 – Выносим общие множители.

Подставляем обратно y в формулу высоты .
Формула площади трапеции через стороны будет выглядеть так:

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна

Источники:

Площадь трапеции по сторонам

http://www.syl.ru/article/159382/mod_ploschad-trapetsii-formulyi-i-metodika-vyichisleniy

http://geleot.ru/education/math/geometry/area/trapezoid