Формулы корней. Свойства корней

Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства n -ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах .

  1. Свойство умноженных чисел a и b , которое представляется как равенство a · b = a · b . Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
  2. из частного a : b = a : b , a ≥ 0 , b > 0 , он также может записываться в таком виде a b = a b ;
  3. Свойство из степени числа a с четным показателем a 2 · m = a m при любом числе a , например, свойство из квадрата числа a 2 = a .

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a · b = a · b трансформируется как a · b = a · b . Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a · b = a · b . Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a · b — число, положительное или равное нулю, которое будет равно a · b при возведении в квадрат. Значение выражения a · b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде ( a · b ) 2 = a 2 · b 2 . По определению квадратного корня a 2 = a и b 2 = b , то a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b .

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a 1 , a 2 , … , a k будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Из этого равенства следует, что a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 и 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 ( 1 ) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 ( 1 ) .

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a : b = a : b , a ≥ 0 , b > 0 . Свойство позволяет записать равенство a : b 2 = a 2 : b 2 , а a 2 : b 2 = a : b , при этом a : b является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0 : 16 = 0 : 16 , 80 : 5 = 80 : 5 и 3 0 , 121 = 3 0 , 121 .

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как a 2 = a Чтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a ≥ 0 и при a 0 .

Очевидно, что при a ≥ 0 справедливо равенство a 2 = a . При a 0 будет верно равенство a 2 = — a . На самом деле, в этом случае − a > 0 и ( − a ) 2 = a 2 . Можно сделать вывод, a 2 = a , a ≥ 0 — a , a 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

5 2 = 5 = 5 и — 0 , 36 2 = — 0 , 36 = 0 , 36 .

Доказанное свойство поможет дать обоснование a 2 · m = a m , где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a 2 · m выражением ( a m ) 2 , тогда a 2 · m = ( a m ) 2 = a m .

3 8 = 3 4 = 3 4 и ( — 8 , 3 ) 14 = — 8 , 3 7 = ( 8 , 3 ) 7 .

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n -ой степени:

  1. Свойство из произведения чисел a и b , которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a · b n = a n · b n , данное свойство справедливо для произведения k чисел a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
  2. из дробного числа обладает свойством a b n = a n b n , где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
  3. При любом a и четных показателях n = 2 · m справедливо a 2 · m 2 · m = a , а при нечетных n = 2 · m − 1 выполняется равенство a 2 · m — 1 2 · m — 1 = a .
  4. Свойство извлечения из a m n = a n · m , где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
  5. Для любого неотрицательного a и произвольных n и m , которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство a m n · m = a n ;
  6. Свойство степени n из степени числа a , которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m , определяемое равенством a m n = a n m ;
  7. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a b , выполняется неравенство a n b n ;
  8. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m > n , тогда при 0 a 1 справедливо неравенство a m > a n , а при a > 1 выполняется a m a n .

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

  1. Первым делом докажем свойства корня n -ой степени из произведения a · b n = a n · b n . Для a и b , которые являются положительными или равными нулю, значение a n · b n также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство a n · b n n = a n n · b n n . По определению корня n -ой степени a n n = a и b n n = b , следовательно, a n · b n n = a · b . Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.
Читать еще:  Коды на вормикс вконтакте. Секреты игры Wormix - всё о нашей любимой игре

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , … , a n выполняется a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Приведем примеры использования свойства корня n -ой степени из произведения: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 и 8 , 3 4 · 17 , ( 21 ) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8 , 3 · 17 , ( 21 ) · 3 · 5 7 4 .

  1. Докажем свойство корня из частного a b n = a n b n . При a ≥ 0 и b > 0 выполняется условие a n b n ≥ 0 , а a n b n n = a n n b n n = a b .

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3 : 2 3 10 .

  1. Для следующего шага необходимо доказать свойства n -ой степени из числа в степени n . Представим это в виде равенства a 2 · m 2 · m = a и a 2 · m — 1 2 · m — 1 = a для любого действительного a и натурального m . При a ≥ 0 получаем a = a и a 2 · m = a 2 · m , что доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а равенство a 2 · m — 1 2 · m — 1 = a очевидно. При a 0 получаем соответственно a = — a и a 2 · m = ( — a ) 2 · m = a 2 · m . Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m — 1 2 · m — 1 = a будет справедливо, так как за нечетной степени рассматривается — c 2 · m — 1 = — c 2 · m — 1 для любого числа c , положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

7 4 4 = 7 = 7 , ( — 5 ) 12 12 = — 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 и ( — 3 , 39 ) 5 5 = — 3 , 39 .

  1. Докажем следующее равенство a m n = a n · m . Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами a n · m = a m n . Это будет означать верная запись . Для a , которое является положительным или равно нулю, из вида a m n является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . С их помощью можно преобразовать равенства в виде a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Например, 7 3 5 = 7 5 · 3 и 0 , 0009 6 = 0 , 0009 2 · 2 · 6 = 0 , 0009 24 .

  1. Докажем следующее свойство a m n · m = a n . Для этого необходимо показать, что a n – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n · m равно a m . Если число a является положительным или равным нулю, то n -ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом a n · m n = a n n m , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

  1. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида a m n = a n m . Очевидно, что при a ≥ 0 степень a n m является неотрицательным числом. Более того, ее n -ая степень равна a m , действительно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

  1. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a b . Рассмотрим неравенство a n b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a b . Следовательно, a n b n при a b .

Для примера приведем 12 4 15 2 3 4 .

  1. Рассмотрим свойство корня n -ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m > n и 0 a 1 справедливо a m > a n . Предположим, что a m ≤ a n . Свойства позволят упростить выражение до a n m · n ≤ a m m · n . Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , то есть, a n ≤ a m . Полученное значение при m > n и 0 a 1 не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при m > n и a > 1 справедливо условие a m a n .

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Формулы корней. Свойства корней

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да.

Начнём с самой простой. Вот она:

Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет.

Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

Как умножать корни?

Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?

Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.

Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

Как внести число под корень?

Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка — это корень квадратный из четырёх!

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 — корень из 9. 8 — корень из 64. 11 — корень из 121. Ну, и так далее.

Читать еще:  К чему снятся кленовые разноцветные листья. Жёлтые листья

Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала. Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но — не забывайте! — под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие — внесение числа под корень — можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

Как сравнивать корни?

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)

Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?

Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

Как извлекать корни из больших чисел?

Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число 6561 и всё. Да, произведения здесь нет. Но если нам надо — мы его сделаем! Разложим это число на множители. Имеем право.

Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Что, не знаете!? Признаки делимости забыли!? Зря. Идите в Особый раздел 555, тема «Дроби», там они есть. На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый — девятка (это мы сами выбрали), а второй — 729 (такой уж получился). Уже можно записать:

Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:

Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и — вперёд!

Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:

Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?

Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание — «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают. ) Вот вам ещё одно применение свойства корней. Полезная вещь пятая.

Как вынести множитель из-под корня?

Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:

Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!

Читать еще:  Относительные прилагательные вопросы. Разряды прилагательных

Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:

Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:

Перемножать всё — сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам:

Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать. Главное — не ошибаться. Не человек для математики, а математика для человека!)

Применим знания к практике? Начнём с простенького:

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. «
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да.

Начнём с самой простой. Вот она:

Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет.

Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

Как умножать корни?

Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?

Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.

Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

Как внести число под корень?

Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка — это корень квадратный из четырёх!

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 — корень из 9. 8 — корень из 64. 11 — корень из 121. Ну, и так далее.

Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала. Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но — не забывайте! — под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие — внесение числа под корень — можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

Как сравнивать корни?

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)

Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?

Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/korni/svojstva-kornej/

http://www.egesdam.ru/page261.php

http://megalektsii.ru/s62957t7.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector