Числовая окружность. Декартовы координаты точек плоскости

Строительный портал. Оттачиваем мастерство

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовой окружности в 10 классе уделяется достаточно много времени. Это связано со значимостью этого математического объекта для всего курса математики.

Огромное значение для хорошего усвоения материала имеет правильная подборка средств обучения. К наиболее эффективным таким средствам относятся видеоуроки. В последнее время они достигают пика популярности. Поэтому автор не стал отставать от современности и разработал в помощь учителям математики столь замечательное пособие — видеоурок по теме «Числовая окружность на координатной плоскости».

Данный урок по длительности занимает 15:22 минут. Это практически максимальное время, которое может затратить учитель на самостоятельное объяснение материала по теме. Так как на объяснение нового материала уходит столько много времени, то на закрепление необходимо подобрать самые эффективные задания и упражнения, а также выделить еще один урок, где обучающиеся будут решать задания по данной теме.

Урок начинается с изображения числовой окружности в системе координат. Автор строит эту окружность и поясняет свои действия. Затем автор называет точки пересечения числовой окружности с осями координат. Далее поясняется, какие координаты будут иметь точки окружности в разных четвертях.

После этого автор напоминает, как выглядит уравнение окружности. И вниманию слушателей представляется два макета с изображением некоторых точек на окружности. Благодаря этому, на следующем шаге автор показывает, как находятся координаты точек окружности, соответствующие определенным числам, отмеченным на шаблонах. Так получается таблица значений переменных xи y в уравнении окружности.

Далее предлагается рассмотреть пример, где необходимо определить координаты точек окружности. Перед тем, как начинать решать пример, вводится некоторое замечание, которое помогает при решении. А затем на экране появляется полное, четко структурированное и наполненное иллюстрациями решение. Здесь также присутствуют таблицы, которые облегчают понимание сущность примера.

Затем рассматриваются еще шесть примеров, которые менее трудоемкие, чем первый, но не менее важные и отражающие главную идею урока. Здесь решения представлены в полном объеме, с подробным рассказом и с элементами наглядности. А именно, в решении присутствуют рисунки, иллюстрирующие ход решения, и математическая запись, формирующая математическую грамотность обучающихся.

Учитель может ограничиться и теми примерами,которые рассмотрены в уроке, но этого может быть недостаточно для качественного усвоения материала. Поэтому подобрать задания для закрепления просто крайне важно.

Урок может быть полезен не только учителям, время которых постоянно ограничено, но и обучающимся. Особенно тем, кто получает семейное образование или занимается самообразованием. Материалами могут пользоваться те обучающиеся, которые пропустили урок по данной теме.

Тема нашего урока «ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ»

Мы уже знакомы с декартовой прямоугольной системой координат xOy (икс о игрек). В этой системе координат расположим числовую окружность так, чтобы центр окружности был совмещен с началом координат, а ее радиус примем за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой с координатами (1;0) , В — с точкой (0;1), С — с (-1;0)(минус один, нуль), а D — с (0; -1)(нуль, минус один).

Так как каждая точка числовой окружности имеет в системе xOy (икс о игрек) свои координаты, то для точек первой четверти икх больше нуля и игрек больше нуля;

Во-второй четверти икх меньше нуля и игрек больше нуля,

для точек третьей четверти икх меньше нуля и игрек меньше нуля,

а для четвертой четверти икх больше нуля и игрек меньше нуля

Для любой точки E (x;y)(с координатами икс, игрек) числовой окружности выполняются неравенства -1≤ х≤ 1, -1≤у≤1 (икс больше либо равно минус один, но меньше либо равно один; игрек больше либо равно минус один, но меньше либо равно один).

Вспомним, что уравнение окружности радиусом R c центром в начале координат имеет вид х 2 + у 2 =R 2 (икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат). А для единичной окружности R =1, поэтому получаем х 2 + у 2 = 1

(икс квадрат плюс игрек квадрат равно один).

Найдем координаты точек числовой окружности, которые представлены на двух макетах (см. рис 2, 3)

Пусть точка E, которая соответствует

(пи на четыре) — середина первой четверти изображенная на рисунке. Из точки E опустим перпендикуляр EK на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОEK. Угол АОЕ =45 0 , так как дуга АЕ составляет половину дуги АВ. Следовательно, треугольник ОЕК — равнобедренный прямоугольный, у которого ОК = ЕК. Значит, абсцисса и ордината точки Е равны, т.е. икс равно игрек. Чтобы найти координаты точки Е, решим систему уравнений: (икс равно игрек- первое уравнение системы и икс квадрат плюс игрек квадрат равно один — второе уравнение системы).Во второе уравнение системы вместо х подставим у, получим 2у 2 =1(два игрек квадрат равно единице), откуда у= = (игрек равно один деленное на корень из двух равно корень из двух деленное на два) (ордината положительна).Это значит, что точка Е в прямоугольной системе координат имеет координаты(,)(корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два).

Читать еще:  Скачать трейнер гта 4 версия 1.0 7.0. Banished - Файлы

Рассуждая аналогично, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам первого макета и получим: соответствует точка с координатами (- ,) (минус корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два); для — (- ,-) (минус корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два); для (семь пи на четыре) (,)(корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два).

Пусть точка D соответствует (рис.5). Опустим перпендикуляр из DР(дэ пэ) на ОА и рассмотрим треугольник ОDР. Гипотенуза этого треугольника OD равна радиусу единичной окружности, то есть единице, а угол DОР равен тридцати градусам, так как дуга АD = диги АВ(а дэ равно одной трети а бэ), а дуга АВ равна девяносто градусов. Следовательно, DР = (дэ пэ равно одной второй О дэ равно одной второй) Так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов равен половине гипотенузы, то есть у = (игрек равно одной второй). Применяя теорему Пифагора, получим ОР 2 = ОD 2 — DР 2 (о пэ квадрат равно о дэ квадрат минус дэ пэ квадрат), но ОР = х (о пэ равно икс) . Значит, х 2 = ОD 2 — DР 2 =

значит, х 2 = (икс квадрат равно трем четвертым) и х = (икс равно корень из трех на два).

Икс положительное, т.к. находится в первой четверти. Получили, что точка D в прямоугольной системе координат имеет координаты (,) корень из трех деленное на два, одна вторая.

Рассуждая аналогичным образом, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам второго макета и все полученные данные запишем в таблицы:

ПРИМЕР1. Найдите координаты точек числовой окружности: а) С 1 ();

б) С 2 (); в) С 3 (41π); г) С 4 (- 26π). (цэ один соответствующая тридцать пять пи на четыре, цэ два соответствующая минус сорока девяти пи на три, цэ три соответствующая сорок одному пи, цэ четыре соответствующая минус двадцати шести пи).

Решение. Воспользуемся утверждение, полученным ранее: если точка D числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2πk(тэ плюс два пи ка), где ка -любое целое число, т.е. kϵZ (ка принадлежит зэт).

а) Получим = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4.(тридцать пять пи на четыре равно тридцать пять на четыре, умноженное на пи равно сумме восьми и трех четвертых, умноженной на пи равно три пи на четыре плюс произведение двух пи на четыре).Это значит, что числу тридцать пять пи на четыре соответствует та же точка числовой окружности, что и числу три пи на четыре. Используя таблицу 1, получим С 1 () = С 1 (- 😉 .

б) Аналогично координаты С 2: = ∙ π = — (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Значит, числу

соответствует та же точка числовой окружности, что и числу. А числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу

(показать второй макет и таблицу 2). Для точки имеем х = , у =.

в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20.Значит, числу 41π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу π — это точка с координатами (-1 ; 0).

г) — 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), то есть числу — 26π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу ноль, — это точка с координатами (1;0).

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой у =

Решение. Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу, вторая точка соответствует числу,

Следовательно все точки получаем прибавляя полный оборот 2πk где k показывает сколько полных оборотов делает точка, т.е. получаем,

а любому числу все числа вида + 2πk. Часто в таких случаях говорят, что получили две серии значений: + 2πk, + 2πk.

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу (смотри второй макет),

а значит и любому числу вида + 2πk. А вторая точка соответствует числу, а значит, и любому числу вида + 2πk. Эти две серии значений можно охватить одной записью: ± + 2πk(плюс минус два пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой у > и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках M и P. А неравенству у > соответствуют точки открытой дуги МР, это значит дуги без концов (то есть без и) , при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки М, а заканчивая в точке Р. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. Неравенству х > соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке Р, которая соответствует,и концом в точке М, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

Читать еще:  Лямблиоз диспансерное наблюдение. Лямблии

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

Конспект уроков «Числовая окружность на координатной плоскости»

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Как отличить простую усталость от профессионального выгорания?

Можно ли избежать переутомления?

Название предмета Алгебра и начала математического анализа

УМК Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) / [ А.Г. Мордкович и др. ]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.

Уровень обучения. Базовый

Тема урока Числовая окружность на координатной плоскости (3 часа)

Цели: ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат.

Задачи : формировать умение находить декартовы координаты точек числовой окружности и выполнять обратное действие: зная декартовы координаты точки, определять её числовое значение на числовой окружности.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Знать, понимать: — числовая окружность.

Уметь: — находить на окружности точки по заданным координатам; — находить координаты точки, расположенной на числовой окружности.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил

Психологический настрой учащихся.

Проверка домашнего задания 1. № 4.17 (в; г), № 4.18 (в; г), № 4.19 (в; г), № 4.20 (в; г).

Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

II. Устная работа.

1. Назовите координаты точек плоскости:

2. Назовите число, соответствующее заданной точке на числовой окружности.

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту учебника. Разместив числовую окружность в декартовой системе координат, следует подробно разобрать свойства точек числовой окружности, находящихся в различных координатных четвертях. Дело в том, что, изучая данную модель, учащиеся сталкиваются с определенными трудностями. Им необходимо учиться работать одновременно в двух системах координат – криволинейной и декартовой.

Для преодоления этой трудности авторы учебника применяют следующий методический прием: для точки М числовой окружности используют запись М ( t ), если речь идет о криволинейной координате точки М , или запись М ( х ; у ), если речь идет о декартовых координатах точки.

(Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил.)

2. Проводим 7-ю методическую «игру» – отыскание декартовых координат «хороших» точек числовой окружности. Речь идет о переходе от записи М ( t ) к М ( х ; у ).

Можно организовать работу в парах с последующей самопроверкой (верные ответы в таблице 1 со с. 38 учебника).

Читать еще:  Разница между морем и океаном. Чем отличается море от океана

3. Проводим 8-ю методическую «игру» – отыскание знаков координат «плохих» точек числовой окружности. Если, например, М (2) = М ( х ; у ), то х  0; у  0. В процессе этой «игры» школьники фактически учатся определять знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 5.1 (а; б), № 5.2 (а; б), № 5.3 (а; б).

Данная группа заданий направлена на формирование умения отыскивать декартовы координаты «хороших» точек на числовой окружности.

2. № 5.4 (а; б), № 5.5 (а; б).

Эта группа заданий направлена на формирование умений находить криволинейные координаты точки по её декартовым координатам.

Данное упражнение направлено на формирование умения находить декартовы координаты «плохих» точек.

– Что собой представляет модель – числовая окружность на координатной плоскости?

– Как, зная криволинейные координаты точки на числовой окружности, найти её декартовы координаты и наоборот?

Домашнее задание: , стр. 36. № 5.1 (в; г) – 5.5 (в; г), № 5.10 (в; г).

Цель: закрепить понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат

Задачи : продолжить формирование умения переходить от криволинейных координат точки на числовой окружности к декартовым координатам; формировать умение отыскивать на числовой окружности точки, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или неравенству.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Знать, понимать: — числовая окружность.

Уметь: — находить на окружности точки по заданным координатам; — находить координаты точки, расположенной на числовой окружности.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил

Психологический настрой учащихся.

Проверка домашнего задания № 5.1 (в; г) – 5.5 (в; г), № 5.10 (в; г).

Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

1. Назовите криволинейные и декартовы координаты точек на числовой окружности.

2. Сопоставьте дугу на окружности и её аналитическую запись.

III. Объяснение нового материала.

1. На этом уроке учащиеся, по замыслу авторов учебника, отрабатывают две последние дидактические «игры», связанные с изучаемой моделью.

(Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил.)

2. 9-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Рассматриваем примеры 2 и 3 со с. 41–42 учебника.

Важность этой «игры» очевидна: учащиеся готовятся к решению простейших тригонометрических уравнений вида Для понимания сути дела следует прежде всего научить школьников решать эти уравнения с помощью числовой окружности, не переходя к готовым формулам.

При рассмотрении примера на нахождение точки с абсциссой обращаем внимание учащихся на возможность объединения ддвух серий ответов в одну формулу:

3. 10-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству.

Рассматриваем примеры 4–7 со с. 43–44 учебника. Решая подобные задачи, мы готовим учащихся к решению тригонометрических неравенств вида

После рассмотрения примеров учащиеся могут самостоятельно сформулировать алгоритм решения неравенств указанного типа:

1) от аналитической модели переходим к геометрической модели – дуга МР числовой окружности;

2) составляем ядро аналитической записи МР ; для дуги получаем

3) составляем общую запись:

IV. Формирование умений и навыков.

Работа в группах

1-я группа . Нахождение точки на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному уравнению.

№ 5.6 (а; б) – № 5.9 (а; б).

В процессе работы над этими упражнениями отрабатываем пошаговость выполнения: запись ядра точки, аналитической записи.

2-я группа . Нахождение точек на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному неравенству.

№ 5.11 (а; б) – 5.14 (а;б).

Главное умение, которое должны приобрести школьники при выполнении данных упражнений, – это составление ядра аналитической записи дуги.

V. Самостоятельная работа.

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу, и найдите её декартовы координаты:

2. Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой и запишите, каким числам t они соответствуют.

3. Обозначьте на числовой окружности точки с ординатой, удовлетворяющей неравенству и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу, и найдите её декартовы координаты:

2. Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой у = 0,5 и запишите, каким числам t они соответствуют.

3. Обозначьте на числовой окружности точки с абсциссой, удовлетворяющей неравенству и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.

– Как найти на окружности точку, абсцисса которой удовлетворяет заданному уравнению?

– Как найти на окружности точку, ордината которой удовлетворяет заданному уравнению?

– Назовите алгоритм решения неравенств с помощью числовой окружности.

Домашнее задание: , стр. 36. № 5.6 (в; г) – № 5.9 (в; г),

Источники:

http://icaev.ru/dekartovy-koordinaty-tochek-ploskosti-uravnenie-okruzhnosti-urok-chislovaya/

http://www.resolventa.ru/demo/him/diagege.htm

http://infourok.ru/konspekt-urokov-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti-1308588.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector