В любой арифметической прогрессии сумма. Арифметическая прогрессия

В любой арифметической прогрессии сумма. Арифметическая прогрессия

Сумма арифметической прогрессии — штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных.

Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много. сложение напрягает.) В этом случае спасает формула.

Формула суммы выглядит просто:

Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит.

Sn — сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый — прямое применение формулы разочарует.)

a1 первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда.

an — последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите.

n — номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов.

Определимся с понятием последнего члена an. Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?)

Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и. внимательно читать задание!)

В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена.

Самое главное — понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии. Количество этих самых первых членов, т.е. n, определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да. Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.)

Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии.

Прежде всего, полезная информация:

Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.

Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное — не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА.

1. Арифметическая прогрессия задана условием: an = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов.

Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a1, последний член an, да номер последнего члена n.

Где взять номер последнего члена n? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер — десятый!) Стало быть, вместо an в формулу будем подставлять a10, а вместо n — десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов.

Осталось определить a1 и a10. Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого — никак.

Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать:

Вот и все дела. Ответ: 75.

Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее:

2. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 3,7; a1=2,3. Найти сумму первых 15 её членов.

Сразу пишем формулу суммы:

Смотрим, что у нас для формулы есть, а чего не хватает. Есть первый член и количество членов:

Не хватает значения an, т.е. последнего члена. В нашем случае последним членом будет a15. Зато есть разность прогрессии d=3.7. Это намёк.) На применение формулы n-го члена. Я же говорил, что без неё — никак. Вот она, формула:

Читать еще:  Как избавиться от чувства вины? Почему измена вызывает в нас чувство вины.

Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой:

Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ:

Кстати, если в формулу суммы вместо an просто подставим формулу n-го члена, получим:

Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Как видим, тут не требуется n-й член an. В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да. Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.)

Теперь задание в виде краткой шифровки):

3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём.

Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще. Как жить!?

Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа — знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут.

Кратные трём. Гм. Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится. 12. делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи:

12, 15, 18, 21, . 96, 99.

Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!)

Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии:

А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 — фатально заблуждается. Номера — они всегда подряд идут, а члены у нас — через тройку перескакивают. Не совпадают они.

Тут два пути решения. Один путь — для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь — для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 — это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30.

Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии:

Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы:

Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем:

Ещё один тип популярных задачек:

4. Дана арифметическая прогрессия:

Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый.

Смотрим на формулу суммы и. огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого. Не сработает формула.

Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но. как-то тупо и долго получается, правда?)

Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть — с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S1-19, да сложим с суммой членов второй части S20-34, получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S1-34. Вот так:

Отсюда видно, что найти сумму S20-34 можно простым вычитанием

Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем?

Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии:

Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2:

Далее, по формулам:

Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов:

Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно — S1-19. А уж потом определили и S20-34, отбросив от полного результата ненужное. Такой «финт ушами» частенько спасает в злых задачках.)

В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.)

При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы.

Формулу n-го члена:

Формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает.

А теперь задачи для самостоятельного решения.

5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три.

Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет.

Читать еще:  Лечение гайе вернике. Энцефалопатия гайе-вернике

6. Арифметическая прогрессия задана условием: a1 =-5,5; an+1= an+0,5. Найдите сумму первых 24 её членов.

Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются.

7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи?

Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2.

Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

А как бы считали вы?

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

, где – разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

1)

2) ,

где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам надо найти и :

Тогда

Пример 2.

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой :

Пример 3.

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Шаг () равен 1;

Обращаемся к формуле :

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Пример 4.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с 5-го (по 16), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии <> по формуле :

где

Пример 5.

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы вычтем сумму ;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96 в ряду 12, 16, … 96 за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Найдем .

Тогда

Итак,

В любой арифметической прогрессии сумма. Арифметическая прогрессия

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

аn+1 an = d. Или иначе: an+1 = an + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Читать еще:  Магия чисел. К чему снятся хомяки

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула nго члена арифметической прогрессии (аn), первый член которой равен а1 и разность равна d:

аn = а1 + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

  1. В арифметической прогрессии а1 = 2 и d = 3. Найдите а65. (Ответ: 194.)
  2. В арифметической прогрессии а86 = 100 и d = 4. Найдите а1. (Ответ: 440.)
  3. В арифметической прогрессии а1 = 65 и а21 = 55. Найдите d. (Ответ: 6.)
  4. В арифметической прогрессии а1 = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?

В данной прогрессии а1 = 1,5 и d = 4,5 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: аn = 1,5 + 3(n 1), т.е. аn = 3n 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие аn > 1000. Для этого решим неравенство 3n 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а334: имеем a334 = 3 • 334 1,5 = 1000,5).

Способ 1. Выразив а15 и a20 через а1 и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а1 = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a30, a именно: а30 = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а20 через а15 и d: a20 = а15 + 5d. Подставив значения а20 и а15, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а30. Это можно сделать, например, так:
а30 = а20 + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (аn) арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

аn = аm + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а20 через а5:
а2 = а1 + 19d = (a1 + 4d) + 15d = а5 + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной соответствующий член последовательности.

Если последовательность арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость nго члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а1 = 1 и d = 3, то аn = 1 + 3(n – 1), т.е. аn = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а1 = 1, аn = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив Sn через а1, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а1 = 12, аn = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу аn = а1 + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

Это конспект по математике на тему «Арифметическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Источники:

http://www.egesdam.ru/page9ap3.php

http://egemaximum.ru/arifmeticheskaya-progressiya-summa-n-pervyx-chlenov-arifmeticheskoj-progressii/

Арифметическая прогрессия

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector