Разность и сумма арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия

Содержание

Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

А как бы считали вы?

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

, где – разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

1)

2) ,

где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам надо найти и :

Тогда

Пример 2.

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой :

Пример 3.

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Шаг () равен 1;

Обращаемся к формуле :

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Пример 4.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с 5-го (по 16), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии <> по формуле :

где

Пример 5.

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Читать еще:  Смертные грехи - самые страшные грехи в православии. Десять заповедей

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы вычтем сумму ;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96 в ряду 12, 16, … 96 за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Найдем .

Тогда

Итак,

Разность и сумма арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

аn+1 an = d. Или иначе: an+1 = an + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула nго члена арифметической прогрессии (аn), первый член которой равен а1 и разность равна d:

аn = а1 + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

  1. В арифметической прогрессии а1 = 2 и d = 3. Найдите а65. (Ответ: 194.)
  2. В арифметической прогрессии а86 = 100 и d = 4. Найдите а1. (Ответ: 440.)
  3. В арифметической прогрессии а1 = 65 и а21 = 55. Найдите d. (Ответ: 6.)
  4. В арифметической прогрессии а1 = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?

В данной прогрессии а1 = 1,5 и d = 4,5 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: аn = 1,5 + 3(n 1), т.е. аn = 3n 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие аn > 1000. Для этого решим неравенство 3n 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а334: имеем a334 = 3 • 334 1,5 = 1000,5).

Читать еще:  К чему снится учить ходить ребенка мальчика. К чему снится ребенок мальчик

Способ 1. Выразив а15 и a20 через а1 и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а1 = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a30, a именно: а30 = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а20 через а15 и d: a20 = а15 + 5d. Подставив значения а20 и а15, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а30. Это можно сделать, например, так:
а30 = а20 + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (аn) арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

аn = аm + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а20 через а5:
а2 = а1 + 19d = (a1 + 4d) + 15d = а5 + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной соответствующий член последовательности.

Если последовательность арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость nго члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а1 = 1 и d = 3, то аn = 1 + 3(n – 1), т.е. аn = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а1 = 1, аn = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив Sn через а1, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а1 = 12, аn = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу аn = а1 + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

Это конспект по математике на тему «Арифметическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Арифметическая прогрессия

Что нужно знать

  • Простейшие алгебраические уравнения

Что вы узнаете

  • Что такое арифметическая прогрессия и для чего она нужна
  • Как найти любой член арифметической прогрессии
  • Как найти разность арифметической прогрессии
  • Чему равна сумма первых n n n членов арифметической прогрессии

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Читать еще:  Геодезические сети. Метод триангуляции

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Что такое арифметическая прогрессия?

Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией , или просто арифметической прогрессией .

Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 2 2 2 , − 2 -2 − 2 , 3 3 3 , − 3 -3 − 3 ?

Как найти произвольный член прогрессии?

Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, a 2 = a 1 + d a_2=a_1+d a 2 ​ = a 1 ​ + d , a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d a_3=a_2+d=a_1+2d a 3 ​ = a 2 ​ + d = a 1 ​ + 2 d , a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d a_4=a_3+d=a_1+3d a 4 ​ = a 3 ​ + d = a 1 ​ + 3 d и т.д. k k k -й член мы можем найти по формуле:

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы a n = a k + ( n − k ) d a_n=a_k+(n-k)d a n ​ = a k ​ + ( n − k ) d следует такая формула:

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На 8 8 8 -й день она выучила 1 5 15 1 5 заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?

Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:

Сумма первых n n n членов арифметической прогрессии

Еще одна формула, которая часто бывает полезна:

Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.

Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:

Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых n n n натуральных чисел: 1 + 2 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 1+2+. +n=frac <2>1 + 2 + . . . + n = 2 n ( n + 1 ) ​ .

Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от 1 1 1 до 1 0 0 100 1 0 0 . Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1 + 1 0 0 = 1 0 1 1+100=101 1 + 1 0 0 = 1 0 1 , 2 + 9 9 = 1 0 1 2+99=101 2 + 9 9 = 1 0 1 и т.д., и мгновенно получил результат 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 50cdot 101=5050 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 .

Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.

При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых n n n членов арифметической прогрессии:

Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.

Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической , а не в геометрической прогрессии .

О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.

Заключение

Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии:

Источники:

http://egemaximum.ru/arifmeticheskaya-progressiya-summa-n-pervyx-chlenov-arifmeticheskoj-progressii/

Арифметическая прогрессия

http://lampa.io/p/%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F-00000000753cfa14d82214511e944e87

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector