Разность и сумма арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия
Содержание
- 1 Разность и сумма арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия
- 1.1 Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
- 1.2 Разность и сумма арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия
- 1.3 Арифметическая прогрессия
- 1.4 Что такое арифметическая прогрессия?
- 1.5 Как найти произвольный член прогрессии?
- 1.6 Как найти разность арифметической прогрессии?
- 1.7 Характеристическое свойство арифметической прогрессии
- 1.8 Сумма первых n n n членов арифметической прогрессии
- 1.9 Заключение
Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.
Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.
Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.
А как бы считали вы?
Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!
Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.
Пример.
Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии
Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.
Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:
, где
– разность арифметической прогрессии.
Сумма чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.
Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Сумма первых членов арифметической прогрессии
может быть найдена по формулам
1)
2) ,
где — первый член прогрессии,
— член с номером
,
— количество суммируемых членов.
(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).
Примеры
Пример 1.
Арифметическая прогрессия задана формулой
Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам надо найти
и
:
Тогда
Пример 2.
Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.
Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.
Воспользуемся формулой :
Пример 3.
Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?
Шаг () равен 1;
Обращаемся к формуле :
Поскольку мы работаем с натуральными , то
Пример 4.
Арифметическая прогрессия задана формулой
Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.
Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:
Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с 5-го (по 16), – также арифметическая прогрессия.
Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии <
> по формуле
:
где
Пример 5.
Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.
Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.
Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,
то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.
Мы поступим так:
1) вычислим сумму всех двузначных чисел;
2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;
3) из суммы вычтем сумму
;
Итак,
Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?
Обозначим порядковый номер числа 96 в ряду 12, 16, … 96 за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию (
).
Найдем .
Тогда
Итак,
Разность и сумма арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия
Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии
Определения и обозначения
Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.
В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:
аn+1 – an = d. Или иначе: an+1 = an + d.
Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.
Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.
Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.
Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:
Формулы n–го члена арифметической прогрессии
Формула n–го члена арифметической прогрессии (аn), первый член которой равен а1 и разность равна d:
аn = а1 + d(n – 1).
Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):
- В арифметической прогрессии а1 = 2 и d = 3. Найдите а65. (Ответ: 194.)
- В арифметической прогрессии а86 = 100 и d = –4. Найдите а1. (Ответ: 440.)
- В арифметической прогрессии а1 = 65 и а21 = –55. Найдите d. (Ответ: –6.)
- В арифметической прогрессии а1 = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)
Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?
В данной прогрессии а1 = 1,5 и d = 4,5 – 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: аn = 1,5 + 3(n – 1), т.е. аn = 3n – 1,5.
Найдём значения n, при которых выполняется условие аn > 1000. Для этого решим неравенство 3n – 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а334: имеем a334 = 3 • 334 – 1,5 = 1000,5).
Способ 1. Выразив а15 и a20 через а1 и d, составим систему уравнений:
Решив её, найдём, что а1 = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a30, a именно: а30 = 138 – 7 • 29 = –65.
Способ 2. Выразим а20 через а15 и d: a20 = а15 + 5d. Подставив значения а20 и а15, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а30. Это можно сделать, например, так:
а30 = а20 + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.
При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:
аn = аm + (n – m)d.
Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а20 через а5:
а2 = а1 + 19d = (a1 + 4d) + 15d = а5 + 15d.
Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости
Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.
Если последовательность – арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость n–го члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:
an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – 1).
Например, если в арифметической прогрессии а1 = 1 и d = 3, то аn = 1 + 3(n – 1), т.е. аn = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).
Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.
Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой
Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.
Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а1 = 1, аn = 1000, n = 1000, получим:
Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив Sn через а1, d и n:
Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.
Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а1 = 12, аn = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу аn = а1 + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n – 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:
Это конспект по математике на тему «Арифметическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:
Арифметическая прогрессия
Что нужно знать
- Простейшие алгебраические уравнения
Что вы узнаете
- Что такое арифметическая прогрессия и для чего она нужна
- Как найти любой член арифметической прогрессии
- Как найти разность арифметической прогрессии
- Чему равна сумма первых n n n членов арифметической прогрессии
В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.
Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.
Начнем с арифметической прогрессии.
Что такое арифметическая прогрессия?
Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией , или просто арифметической прогрессией .
Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 2 2 2 , − 2 -2 − 2 , 3 3 3 , − 3 -3 − 3 ?
Как найти произвольный член прогрессии?
Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, a 2 = a 1 + d a_2=a_1+d a 2 = a 1 + d , a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d a_3=a_2+d=a_1+2d a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d , a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d a_4=a_3+d=a_1+3d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d и т.д. k k k -й член мы можем найти по формуле:
Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:
Как найти разность арифметической прогрессии?
Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы a n = a k + ( n − k ) d a_n=a_k+(n-k)d a n = a k + ( n − k ) d следует такая формула:
А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):
Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На 8 8 8 -й день она выучила 1 5 15 1 5 заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?
Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:
Сумма первых n n n членов арифметической прогрессии
Еще одна формула, которая часто бывает полезна:
Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.
Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:
Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых n n n натуральных чисел: 1 + 2 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 1+2+. +n=frac
Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от 1 1 1 до 1 0 0 100 1 0 0 . Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1 + 1 0 0 = 1 0 1 1+100=101 1 + 1 0 0 = 1 0 1 , 2 + 9 9 = 1 0 1 2+99=101 2 + 9 9 = 1 0 1 и т.д., и мгновенно получил результат 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 50cdot 101=5050 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 .
Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.
При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых n n n членов арифметической прогрессии:
Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.
Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической , а не в геометрической прогрессии .
О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.
Заключение
Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии:
Источники:
http://egemaximum.ru/arifmeticheskaya-progressiya-summa-n-pervyx-chlenov-arifmeticheskoj-progressii/
http://lampa.io/p/%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F-00000000753cfa14d82214511e944e87