Нули функции y sinx. Урок математики

Урок и презентация на тему: «Функция y=sin(x). Определения и свойства»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:

  • Свойства функции Y=sin(X).
  • График функции.
  • Как строить график и его масштаб.
  • Примеры.

Свойства синуса. Y=sin(X)

Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?

Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)

Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.

4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .

Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).

Построение графика функции синус х, y=sin(x)

Посчитаем значения функции на нашем отрезке:

Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.

Таблица преобразований для формул привидения

Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:

Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.

График функции Y=sin(X) называют — синусоидой.

Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.

Примеры задач с синусом

1. Решить уравнение sin(x)= x-π

Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π

2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1

Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.

Читать еще:  Когда был создан последний земский собор. Земские соборы в истории россии

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.

Задачи на синус для самостоятельного решения

  • Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
  • Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
  • Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]

Графиком функции является синусоида.

Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.

Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).

3) Это нечетная функция.

4) Это непрерывная функция.

— с осью абсцисс: (πn; 0),
— с осью ординат: (0; 0).

6) На отрезке [-π/2; π/2] функция возрастает, на отрезке [π/2; 3π/2] – убывает.

7) На промежутках функция принимает положительные значения.
На промежутках [-π + 2πn; 2πn] функция принимает отрицательные значения.

8) Промежутки возрастания функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn].
Промежутки убывания функции: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

9) Точки минимума функции: -π/2 + 2πn.
Точки максимума функции: π/2 + 2πn

наибольшее значение 1.

Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:

На листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.

На оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x .

На оси y отметим 1, включающий две клетки.

Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x :

Урок «Функция y=sinx, ее свойства и график»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» представляет наглядный материал по данной теме, а также комментарии к нему. В ходе демонстрации рассматривается вид функции, ее свойства, подробно расписывается поведение на различных отрезках координатной плоскости, особенности графика, описывается пример графического решения тригонометрических уравнений, содержащих синус. С помощью видеоурока учителю легче сформировать понятие у ученика о данной функции, научить решать задачи графическим способом.

В видеоуроке применяются средства, с помощью которых облегчается запоминание и понимание учебной информации. В представлении графиков и при описании решении задач используются анимационные эффекты, которые помогают понять поведение функции, представить ход решения последовательно. Также озвучивание материала дополняет его важными комментариями, которые заменяют объяснение учителя. Таким образом, данный материал может применяться и как наглядное пособие. И в качестве самостоятельной части урока вместо объяснения учителя по новой теме.

Демонстрация начинается с представления темы урока. Представляется функция синус, описание которой выделено в рамку для запоминания – s=sint, в которой аргумент tможет быть любым действительным числом. Описание свойств данной функции начинается с области определения. Отмечается, что областью определения функции является вся числовая ось действительных чисел, то есть D(f)=(- ∞;+∞). В качестве второго свойства выделяется нечетность функции синуса. Ученикам напоминается, что данное свойство изучалось в 9 классе, когда отмечалось, что для нечетной функции выполняется равенство f(-x)=-f(x). Для синуса подтверждение нечетности функции демонстрируется на единичной окружности, разбитой на четверти. Зная, какой знак принимает функция в разных четвертях координатной плоскости, отмечается, что для аргументов с противоположными знаками на примере точек L(t) и N(-t) для синуса выполняется условие нечетности. Поэтому s=sint – нечетная функция. Это означает симметричность графика функции относительно начала координат.

Третье свойство синуса демонстрирует промежутки возрастания и убывания функции. В нем отмечается, что на отрезке [0;π/2] данная функция возрастает, на отрезке [π/2;π] убывает. Свойство демонстрируется на рисунке, на котором изображена единичная окружность и при движении от точки А против часовой стрелки ордината растет, то есть возрастает значение функции до π/2. При движении от точки В до С, то есть при изменении угла от π/2 до π значение ординаты уменьшается. В третьей четверти окружности при движении от точки С до точки Dордината убывает от 0 до -1, то есть значение синуса убывает. В последней четверти при движении от точки Dдо точки А значение ординаты возрастает от -1 до 0. Таким образом можно сделать общий вывод о поведении функции. На экране отображается вывод, что sint возрастает на отрезке [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], убывает на отрезке [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] для любого целого k.

Читать еще:  Чукчи - интересные факты, обычаи, праздники.

Четвертое свойство синуса рассматривает ограниченность функции. Отмечается, что функция sint является ограниченной и сверху, и снизу. Ученикам напоминается сведения из алгебры 9 класса, когда они познакомились с понятием ограниченности функции. На экран выводится условие ограниченной сверху функции, для которой существует некоторое число, для которого выполняется неравенство f(x)>=М в любой точке функции. Также напоминается условие ограниченной снизу функции, для которой существует число m, меньшее каждой точки функции. Для sint выполняется условие -1 27.07.2014

Разработка урока по математике на тему «Функция у = sin x»

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Как отличить простую усталость от профессионального выгорания?

Можно ли избежать переутомления?

Выбранный для просмотра документ Конспект урока.docx

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №45

Разработка урока по теме

алгебра и начала анализа, 11 класс.

Автор учитель математики

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Гавинская Елена Вячеславовна.

2016 – 2017 учебный год

Автор – Гавинская Елена Вячеславовна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининграда средняя общеобразовательная школа № 45

Предмет – математика (модуль «Алгебра и начала анализа»)

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений, базовый и профильный уровень /Ш.А.Алимов и др., — 18 — е изд., — М.: Просвещение, 2012 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы — Microsoft Office Power Point 2010

повторить правила построения графика функции y = sin x , научиться применять приёмы преобразования графика, читать график, использовать свойства и график функции при решении уравнений и неравенств.

формирование функциональных представлений на наглядном материале, умений построения графиков функции y = sin x при различных преобразованиях; формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике;

способствовать развитию внимания, логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, обобщать, применять знания в нестандартных ситуациях,

способствовать развитию и пониманию у учащихся меж предметных связей в задачах практического содержания,

активизировать интерес к получению новых знаний,

воспитывать графическую культуру, формировать точность и аккуратность при выполнении чертежей.

Обоснование выбора методов, средств и форм обучения:

оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран (интерактивная доска, далее ИД), компьютеры или ноутбуки индивидуально для каждого учащегося, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Тип урока : комбинированный.

Целесообразность использования медиа продукта на занятии продиктована следующими факторами:

интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

автоматизацией процесса контроля,

улучшением наглядности изучаемого материала,

увеличением количества предлагаемой информации,

уменьшением времени подачи материала;

повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

Обоснование выбора форм и методов работы на уроке по теме « Функция у = sin x и её свойства » и методические рекомендации по применению презентации на уроке.

Тема « Функция у = sin x и её свойства » входит в тему «Тригонометрические функции» по авторскому планированию Ш.А.Алимова. или Ю.М.Колягина. В заданиях ЕГЭ прошлых лет указанная тема встречается как вспомогательный компонент при решении заданий группы С. Поэтому предлагаемые формы и методы работы по данной теме способствуют отработке навыков применения графика функции у = sin x и её свойств к решению различных заданий . Задания, предложенные на уроке, подбирались с учетом возрастных особенностей учащихся и способствуют развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях с учетом меж предметных связей при решении задач практического содержания. Предложенные формы и методы применяются для групповой, самостоятельной и фронтальной работ. Однако их можно использовать и как тренажёр для отдельного учащегося, работающего за компьютером.

Читать еще:  Лосяш из бумаги. Смешарики своими руками: делаем весело и с удовольствием

И последнее примечание: все учащиеся класса с начала учебного года разделены на три типологические группы: группа А – самые «слабые» учащиеся, группа В – «средние» учащиеся, группа С – учащиеся с высоким уровнем обученности по предмету.

Объявляется цель и план урока.

Записывается домашнее задание: повторить теорию, №724 (3), 725 (4), 726 (4), 731 (2); группе С – дополнительно №732.

2.Проверка домашнего задания.

Работа по слайду №3. Учащиеся реагируют с помощью карточек + (согласен), — (не согласен) на предложенное учителем решения. Обсуждаются фронтально трудности, с которыми столкнулись учащиеся при выполнении домашнего задания. Оставшиеся номера (№722(2), 723(2, 4), 726(2, 4)) учащиеся обсуждают в парах, при необходимости получают консультацию учителя.

Работая в парах (наиболее слабый учащийся из пары рассказывает решение, второй его проверяет), учащиеся повторяют на практических заданиях (у = sin x + 2, у = sin x – 2, у = sin ( x + 2), у = sin ( x – 2)) сдвиги графиков функции у = sin х вдоль оси Ох и Оу. Проверка с помощью слайдов №5, 6. При этом ещё раз проговаривается теория сдвигов графиков вдоль осей координат. На последнем шаге данного этапа урока ученик группы А у доски ещё раз проговаривает свойства функции у = sin х с помощью слайдов №7, 8.

4.Изложение нового материала.

С привлечением учащихся (используя примеры сжатий и растяжений уже знакомых учащимся графиков функций) вводится новый материал. Сначала построение графика функции у = к∙ sin х и перечисление свойств при к1 и 0к1 с помощью слайда №10, а затем построение графика функции у = sin (кх) и перечисление свойств при к1 и 0к1 с помощью слайда №11. Основные выводы учащиеся записывают в тетрадь.

5. Гимнастика для глаз.

6. Закрепление изученного материала.

Сначала учащиеся обсуждают в парах план решения №727(1), 728 (1), 729 (2), строят графики в тетрадях, отвечают на вопросы к заданиям. При необходимости получают консультацию у учителя. Окончательная проверка с помощью слайдов №18, 19.

7. Самостоятельная работа (в типологических группах).

Группа А («слабые» учащиеся). Можно дать по вариантам. Уч-ся данной типологической группы выполняют самостоятельно тест в Excel (смотреть в приложении), при необходимости подзывают учителя и получают необходимые им консультации, а также пользуются образцами решения подобного типа задания, которые есть у них в тетрадях. Работы проверяет учитель.

2) Группа В («средние» учащиеся). Уч-ся данной типологической группы выполняют самостоятельно тест Word (смотреть в приложениях) по вариантам, при необходимости подзывают учителя и получают необходимые им консультации. Тетрадями и опорным конспектом не пользуются. Работы сдают учителю.

3) Группа С («сильные» учащиеся). Уч-ся данной типологической группы выполняют самостоятельно построение графика функции из №731(2) . При необходимости подзывают учителя и получают необходимые им консультации. Проверка с помощью слайда №20.

8.Подведение итогов урока, выставление отметок.

Учащимся предлагается ответить на вопрос: что вызвало наибольшие затруднения на уроке? Какова ценность сегодняшнего урока? Чему же мы сегодня с вами научились?

Анкетирование можно провести с помощью системы Verdict:

Источники:

http://www.interesnyekartinki.ru/nuli-funkcii-y-sinx-urok-matematiki-tema-funkciya-y-sin-x-ee-svoistva-i.html

http://urokimatematiki.ru/urok-funkciya-ysin-ee-svoystva-i-grafik-841.html

http://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-matematike-na-temu-funkciya-u-sin-1184146.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему: