Квадратная матрица называется диагональной если. Понятие матрицы
spiruk
Сайт групп СПИ Саранского кооперативного института
1. Матрицы. Виды матриц
Понятие / определение матрицы. Виды матриц
Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.
Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n — ее порядком.
В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение: 
Хотя иногда в литературе встречается обозначение: 
Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто используется одна большая буква латинского алфавита, (например, А), либо символ ||aij||, а иногда и с разъяснением: A=||aij||=(aij) (i=1,2,…,m; j=1,2,…n)
Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.
Например, матрица
это матрица порядка 2×3, ее элементы a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, …
Итак, мы ввели определение матрицы. Рассмотрим виды матриц и дадим соответствующие к ним определения.
Виды матриц
Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.
Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.
В случае квадратной матрицы
вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.
Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если
то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22
§1. Матрицы. Виды матриц
Опр. Прямоугольная таблица, состоящая из т строк и п столбцов действительных чисел называется матрицей размера т×п. Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами: А, В,…, а массив чисел выделяют круглыми или квадратными скобками.
Числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы и обозначаются малыми латинскими буквами с двойным индексом 
, гдеi – номер строки, j – номер столбца, на пресечении которых расположен элемент. В общем виде матрица записывается так:
Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.
Если число строк матрицы т равно числу ее столбцов п, то матрица называется квадратной (в противном случае – прямоугольной).
Матрица размера 
называется матрицей-строкой. Матрица размера
Элементы матрицы, имеющие равные индексы (
и т.д.), образуютглавную диагональ матрицы. Другая диагональ называется побочной.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и имеет стандартное обозначение Е:
Если все элементы матрицы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, говорят, что матрица имеет треугольный вид:
§2. Операции над матрицами
1. Транспонирование матрицы – преобразование, при котором строки матрицы записывают в виде столбцов при сохранении их порядка. Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали:
.
2. Матрицы одинаковой размерности можно суммировать (вычитать). Суммой (разностью) матриц называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц:
.
3. Любую матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число:
.
4. Если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой, то можно выполнить умножение первой матрицы на вторую. Произведением таких матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй матрицы.
Следствие. Возведение матрицы в степень к>1 есть произведение матрицы А к раз. Определено только для квадратных матриц.
Виды матриц
Матрица размера 
называется квадратной, число 
называется порядком матрицы.
– квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.
Матрица 
называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. 
.
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, – вектор-столбцом.
– вектор-строка; 
– вектор-столбец.
Диагональные матрицы
Квадратная матрица 
называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.
Скалярной называется диагональная матрица 
, у которой все диагональные элементы равны между собой.
Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.
Единичной матрицей 
называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.
Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто 
.
– единичная матрица второго порядка.
Треугольные матрицы
Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.
Замечание. Диагональная матрица – это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.
– верхнетреугольная матрица.
Ступенчатая матрица
Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
- если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
- если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером
, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем .
Другое определение ступенчатой матрицы.
Ступенчатой называется матрица, которая содержит 
строк и у которой первые 
диагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последних 
строк равны нулю, то есть это матрица вида:
Главным элементом некоторой строки матрицы 
называется ее первый ненулевой элемент.
Задание. Найти главные элементы каждой строки матрицы 
Решение. Главный элемент первой строки – это первый ненулевой элемент этой строки, а поэтому 
– главный элемент строки под номером 1; аналогично 
– главный элемент второй строки.
Другое определение ступенчатой матрицы.
Матрица называется ступенчатой, если:
- все ее нулевые строки стоят после ненулевых;
- в каждой ненулевой строке, начиная со второго, ее главный элемент стоит правее (в столбце с большим номером) главного элемента предыдущей строки.
По определению к ступенчатым матрицам будем относить нулевую матрицу , а также матрицу, которая содержит одну строку.
Примеры ступенчатых матриц:
, 
, 
, 
, 
Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:
, 
, 
Задание. Выяснить, является ли матрица 
ступенчатой.
Решение. Проверяем выполнение условий из определения:
Источники:
http://studfile.net/preview/3102661/
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_6_2.php
Загрузка...
