График функции синус икс. График функции y = sin x

График функции синус икс. График функции y = sin x

В разделе «Определение значений тригонометрических функций любого угла» мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х) полностью определяется ее поведением в интервале π /2 .

Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале.

Составим следующую таблицу значений нашей функции;

Отмечая соответствующие точки на плоскости координат и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисунке

Полученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х.

1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей.Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов.

2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до π /2. Поэтому на оси х возьмем отрезок [0 , π /2 ] и разделим его на 8 равных частей.

3.Проведем прямые, параллельные оси х, а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми.

4.Точки пересечения соединим плавной линией.

Точки оси х с абциссами π /2 + φ и π /2φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π /2, и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [ π /2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале [0 , π /2 ] относительно прямой х = π /2.

Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х,

легко построить график этой функции в интервале [— π, 0].

Функция у = sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом .

Полученная в результате этого кривая называется синусоидой. Она и представляет собой график функции у = sin х.

Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.

1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.

2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1 π /2 + 2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π /2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.

Читать еще:  Игра пони защитники гармонии. Стражи гармонии

3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).

4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.

Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точки х= .

Как видно из рисунка , в окрестности точки х = 0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных)

Например, sin 0,012 0,012; sin (—0,05) —0,05;

Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х

sin х π /2 π /2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π /2 в силу того, что | sin х | π /2 > 1

1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).

2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ — π /2 , π /2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8.

3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1 /2.

4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (—0,015); г) sin (—2°30′).

График функции синус икс. График функции y = sin x

В разделе «Определение значений тригонометрических функций любого угла» мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х) полностью определяется ее поведением в интервале π /2 .

Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале.

Составим следующую таблицу значений нашей функции;

Отмечая соответствующие точки на плоскости координат и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисунке

Полученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х.

1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей.Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов.

2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до π /2. Поэтому на оси х возьмем отрезок [0 , π /2 ] и разделим его на 8 равных частей.

3.Проведем прямые, параллельные оси х, а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми.

4.Точки пересечения соединим плавной линией.

Точки оси х с абциссами π /2 + φ и π /2φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π /2, и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [ π /2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале [0 , π /2 ] относительно прямой х = π /2.

Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х,

Читать еще:  Как понять степень окисления. Основные способы получения оксидов

легко построить график этой функции в интервале [— π, 0].

Функция у = sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом .

Полученная в результате этого кривая называется синусоидой. Она и представляет собой график функции у = sin х.

Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.

1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.

2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1 π /2 + 2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π /2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.

3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).

4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.

Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точки х= .

Как видно из рисунка , в окрестности точки х = 0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных)

Например, sin 0,012 0,012; sin (—0,05) —0,05;

Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х

sin х π /2 π /2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π /2 в силу того, что | sin х | π /2 > 1

1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).

2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ — π /2 , π /2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8.

3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1 /2.

4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (—0,015); г) sin (—2°30′).

Урок «Функция y=sinx, ее свойства и график»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» представляет наглядный материал по данной теме, а также комментарии к нему. В ходе демонстрации рассматривается вид функции, ее свойства, подробно расписывается поведение на различных отрезках координатной плоскости, особенности графика, описывается пример графического решения тригонометрических уравнений, содержащих синус. С помощью видеоурока учителю легче сформировать понятие у ученика о данной функции, научить решать задачи графическим способом.

Читать еще:  Секреты Warframe. Warframe фарм реликвии бездны

В видеоуроке применяются средства, с помощью которых облегчается запоминание и понимание учебной информации. В представлении графиков и при описании решении задач используются анимационные эффекты, которые помогают понять поведение функции, представить ход решения последовательно. Также озвучивание материала дополняет его важными комментариями, которые заменяют объяснение учителя. Таким образом, данный материал может применяться и как наглядное пособие. И в качестве самостоятельной части урока вместо объяснения учителя по новой теме.

Демонстрация начинается с представления темы урока. Представляется функция синус, описание которой выделено в рамку для запоминания – s=sint, в которой аргумент tможет быть любым действительным числом. Описание свойств данной функции начинается с области определения. Отмечается, что областью определения функции является вся числовая ось действительных чисел, то есть D(f)=(- ∞;+∞). В качестве второго свойства выделяется нечетность функции синуса. Ученикам напоминается, что данное свойство изучалось в 9 классе, когда отмечалось, что для нечетной функции выполняется равенство f(-x)=-f(x). Для синуса подтверждение нечетности функции демонстрируется на единичной окружности, разбитой на четверти. Зная, какой знак принимает функция в разных четвертях координатной плоскости, отмечается, что для аргументов с противоположными знаками на примере точек L(t) и N(-t) для синуса выполняется условие нечетности. Поэтому s=sint – нечетная функция. Это означает симметричность графика функции относительно начала координат.

Третье свойство синуса демонстрирует промежутки возрастания и убывания функции. В нем отмечается, что на отрезке [0;π/2] данная функция возрастает, на отрезке [π/2;π] убывает. Свойство демонстрируется на рисунке, на котором изображена единичная окружность и при движении от точки А против часовой стрелки ордината растет, то есть возрастает значение функции до π/2. При движении от точки В до С, то есть при изменении угла от π/2 до π значение ординаты уменьшается. В третьей четверти окружности при движении от точки С до точки Dордината убывает от 0 до -1, то есть значение синуса убывает. В последней четверти при движении от точки Dдо точки А значение ординаты возрастает от -1 до 0. Таким образом можно сделать общий вывод о поведении функции. На экране отображается вывод, что sint возрастает на отрезке [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], убывает на отрезке [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] для любого целого k.

Четвертое свойство синуса рассматривает ограниченность функции. Отмечается, что функция sint является ограниченной и сверху, и снизу. Ученикам напоминается сведения из алгебры 9 класса, когда они познакомились с понятием ограниченности функции. На экран выводится условие ограниченной сверху функции, для которой существует некоторое число, для которого выполняется неравенство f(x)>=М в любой точке функции. Также напоминается условие ограниченной снизу функции, для которой существует число m, меньшее каждой точки функции. Для sint выполняется условие -1 27.07.2014

Источники:

http://oldskola1.narod.ru/trigF13.htm

http://oldskola1.narod.ru/trigF13.htm

http://urokimatematiki.ru/urok-funkciya-ysin-ee-svoystva-i-grafik-841.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector