Таблица стандартных разложений. Ряд маклорена и разложение некоторых функций
Содержание
- 1 Таблица стандартных разложений. Ряд маклорена и разложение некоторых функций
- 1.1 Ряд Тейлора. Ряды Маклорена.
- 1.2 Определение ряда Тейлора.
- 1.3 Свойства ряда Тейлора.
- 1.4 Ряды Маклорена некоторых функций.
- 1.5 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена;
- 1.6 Формула Маклорена
- 1.7 Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- 1.8 Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций
Ряд Тейлора. Ряды Маклорена.
Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.
Определение ряда Тейлора.
Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.
Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:
Свойства ряда Тейлора.
Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:
У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.
Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:
Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. 
, значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.
Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:
Ряды Маклорена некоторых функций.
1. Экспонента: 
,
2. Натуральный логарифм:
3. Биномиальное разложение: 
для всех |x|
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена;
Для приложений важно уметь данную функцию 
разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.
Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида
.
Если 
, то получим частный случай ряда Тейлора
,
который называется рядом Маклорена.
Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.
Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.
Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:
Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке 
, т.е. 
, 
, 
,…, 
;
Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;
Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле
, 
.
Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:
.
.
.
.
.
.
Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию 
.
Решение. Так как 
, то, заменяя 
на 
в разложении 
, получим:
, 
.
Пример 10. Выписать ряд Маклорена функции 
.
Решение. Так как 
, то воспользовавшись формулой 
, в которой заменим на 
, получим:
,
,
, т.е. 
.
Пример 11. Разложить в ряд Маклорена функцию 
.
Решение. Воспользуемся формулой 
. Так как
, то заменив на 
получим:
, или
,
где 
, т.е. 
.
Задание для практической работы по теме «Выделение знакоположительного, знакочередующегося и степенного ряда. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора»
1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд.
2. Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости.
3. Используя разложения в ряд Маклорена функции , 
, 
, 
, разложить степенные ряды функции.
Раздел 3. оСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ.
Практическое занятие №14
Тема 3.1:«Выполнение операций над множествами».
Цель: Выполнять операций над множествами.
Теоретический материал:
Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.
Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, . M, K. . Если множество A состоит из элементов a,b,c. это обозначается с помощью фигурных скобок: A=
Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.
Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x Î A следует x Î B и обратно, из x Î B следует x Î A. Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:
это означает, что для любого объекта x соотношения xÎ A и xÎ B равносильны. Здесь » – квантор всеобщности (» x читается как «для каждого x«).
Множество А является подмножествоммножества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.
Если AÌ B, но A¹ B, то A – собственное подмножество множества В.
Пример 1. Множество <2,4,6. 2n. >является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Операции над множествами.Для наглядного представления операций над множествами применяются диаграммы.
1. Объединение.C=A È B: = <x: x Î A или x Î B>
2. Пересечение. C=A Ç B:= <x: x Î A и x Î B >
3. Вычитание. A B: = <x:x Î A и x Ï B>
4. Дополнение (до U) множества A называется 
.
Пусть U — универсальное множество ( все остальные множества принадлежат U)
: = <x:x Î U и x Ï A> = U A
Формула Маклорена
Формулой Маклорена** называется формула Тейлора (10.6) при д = 0:
Здесь остаточный член имеет вид:
•Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик. ••Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик.
Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
Один из основных принципов математики — представление сложного через более простое. Формулы Тейлора и Маклорена как раз являются реализацией этого принципа. Любые функции, удовлетворяющие условиям теоремы Тейлора, с достаточной степенью точности могут быть представлены в виде многочлена п-й степени. Многочлены же — наиболее простые элементарные функции, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т.д.
Формулы (Ю.6) и (10.12) дают возможность разложить функцию/(х) по формуле Тейлора (в окрестности точки а) и по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить/(х) в виде многочленов, коэффициенты которых вычисляются достаточно просто. Эти формулы широко используются и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену в форме Лагранжа.
Выведем рахпожения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.
Поскольку/»(*) = е х ,/ (л) (0) * е° = 1 для любого п, формула Маклорена (10.12) имеет вид:
Формула (10.13) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Запишем ее с остаточным членом в форме Лагранжа при х — 1:
Отбрасывая последнее слагаемое, получаем приближенное значение числа с
2,7182818. причем погрешность расчета оценивается по формуле
Например, при п = 7 погрешность вычисления числа е составит менее 7,44 • 10
5 , или менее 0,01%.
Поскольку f (n) = cos ^x + //^ j,
Подстановка в формулу (10.12) приводит к разложению по формуле Мак- лорсна:
4. /(х) = In (1 + х). 
Так как = (-1)»» 1 ^ /(0) = 0, / ы (0) = (-1)»“ 1 (/i -1)!; подстанов-
ка в формулу (10.12) приводит к разложению функции In (1 + х) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):
5. /(1 + х) а , где а — вещественное число.
/ (х) = а (а — 1) (а — 2). (а — п + I) (I + х) а » я , т.е./ (я >(0) = а (а — 1). (а — п + 1), и формула Маклорена для данной функции имеет вид:
В частном случае, когда а = п — целое число,/ * = 0, и формула (10.17) переходит в формулу бинома Ньютона:
т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.
Путем последовательного дифференцирования этой функции можно установить, что 
Тогда формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций
Формулы (10.13)—(10.17) и (10.19) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций е х , sin х, cosx, In (1 + х),
(1 + х) а и arctg х при х -» 0. Указанные асимптотические формулы эффективно используются при вычислении пределов функций. Покажем это на примерах.
Пример 5. Найти предел lim Sin * Х .
Применяя формулу (10.14) при п = 2, получаем:
п ^ ,, „ .. cos х — exp (-х 2 /2)
Пример 6. Найти предел lim——.
Используем формулы (10.13) при г =—и п = 2 и (10.15) при п = 2. Получаем
при подстановке в выражение под знаком предела:
Источники:
http://www.calc.ru/Ryad-Teylora-Ryady-Maklorena.html
http://studopedia.su/14_76150_razlozhenie-elementarnih-funktsiy-v-ryad-maklorena.html
http://studme.org/257746/matematika_himiya_fizik/formula_maklorena
Загрузка...
