Таблица стандартных разложений. Ряд маклорена и разложение некоторых функций

Ряд Тейлора. Ряды Маклорена.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:

Свойства ряда Тейлора.

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: ,

2. Натуральный логарифм:

3. Биномиальное разложение: для всех |x|

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена;

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

.

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е. , , ,…, ;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

, .

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

.

.

.

.

.

.

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

, .

Пример 10. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

,

, т.е. .

Пример 11. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменив на получим:

, или

,

где , т.е. .

Задание для практической работы по теме «Выделение знакоположительного, знакочередующегося и степенного ряда. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора»

1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд.

2. Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости.

3. Используя разложения в ряд Маклорена функции , , , , разложить степенные ряды функции.

Раздел 3. оСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ.

Практическое занятие №14

Тема 3.1:«Выполнение операций над множествами».

Цель: Выполнять операций над множествами.

Теоретический материал:

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, . M, K. . Если множество A состоит из элементов a,b,c. это обозначается с помощью фигурных скобок: A= . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a Î A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a Ï A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N= <1,2,3. >. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Æ.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x Î A следует x Î B и обратно, из x Î B следует x Î A. Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

это означает, что для любого объекта x соотношения xÎ A и xÎ B равносильны. Здесь » – квантор всеобщности (» x читается как «для каждого x«).

Множество А является подмножествоммножества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

Если AÌ B, но A¹ B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество <2,4,6. 2n. >является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.Для наглядного представления операций над множествами применяются диаграммы.

1. Объединение.C=A È B: = <x: x Î A или x Î B>

2. Пересечение. C=A Ç B:= <x: x Î A и x Î B >

3. Вычитание. A B: = <x:x Î A и x Ï B>

4. Дополнение (до U) множества A называется .
Пусть U — универсальное множество ( все остальные множества принадлежат U)

: = <x:x Î U и x Ï A> = U A

Формула Маклорена

Формулой Маклорена** называется формула Тейлора (10.6) при д = 0:

Здесь остаточный член имеет вид:

•Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик. ••Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик.

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Один из основных принципов математики — представление сложного через более простое. Формулы Тейлора и Маклорена как раз являются реализацией этого принципа. Любые функции, удовлетворяющие условиям теоремы Тейлора, с достаточной степенью точности могут быть представлены в виде многочлена п-й степени. Многочлены же — наиболее простые элементарные функции, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т.д.

Формулы (Ю.6) и (10.12) дают возможность разложить функцию/(х) по формуле Тейлора (в окрестности точки а) и по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить/(х) в виде многочленов, коэффициенты которых вычисляются достаточно просто. Эти формулы широко используются и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену в форме Лагранжа.

Выведем рахпожения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Поскольку/»(*) = е х ,/ (л) (0) * е° = 1 для любого п, формула Маклорена (10.12) имеет вид:

Формула (10.13) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Запишем ее с остаточным членом в форме Лагранжа при х — 1:

Отбрасывая последнее слагаемое, получаем приближенное значение числа с

2,7182818. причем погрешность расчета оценивается по формуле

Например, при п = 7 погрешность вычисления числа е составит менее 7,44 • 10

5 , или менее 0,01%.

Поскольку f (n) = cos ^x + //^ j,

Подстановка в формулу (10.12) приводит к разложению по формуле Мак- лорсна:

4. /(х) = In (1 + х).

Так как = (-1)»» 1 ^ /(0) = 0, / ы (0) = (-1)»“ 1 (/i -1)!; подстанов-

ка в формулу (10.12) приводит к разложению функции In (1 + х) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

5. /(1 + х) а , где а — вещественное число.

/ (х) = а (а — 1) (а — 2). (а — п + I) (I + х) а » я , т.е./ (я >(0) = а (а — 1). (а — п + 1), и формула Маклорена для данной функции имеет вид:

В частном случае, когда а = п — целое число,/ * = 0, и формула (10.17) переходит в формулу бинома Ньютона:

т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.

Путем последовательного дифференцирования этой функции можно установить, что

Тогда формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций

Формулы (10.13)—(10.17) и (10.19) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций е х , sin х, cosx, In (1 + х),

(1 + х) а и arctg х при х -» 0. Указанные асимптотические формулы эффективно используются при вычислении пределов функций. Покажем это на примерах.

Пример 5. Найти предел lim Sin * Х .

Применяя формулу (10.14) при п = 2, получаем:

п ^ ,, „ .. cos х — exp (-х 2 /2)

Пример 6. Найти предел lim——.

Используем формулы (10.13) при г =—и п = 2 и (10.15) при п = 2. Получаем

при подстановке в выражение под знаком предела:

Источники:

http://www.calc.ru/Ryad-Teylora-Ryady-Maklorena.html

http://studopedia.su/14_76150_razlozhenie-elementarnih-funktsiy-v-ryad-maklorena.html

http://studme.org/257746/matematika_himiya_fizik/formula_maklorena

Читать еще:  Проект про имя яна. Тайна и значение имени яна
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector
×
×
×
×