Какими свойствами обладает параллелограмм. Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
  3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1 . Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть и — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне . Сумма углов и равна . Углы и — половинки углов и . Значит, сумма углов и равна градусов. Из треугольника находим, что угол — прямой.
Ответ: .

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна . Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы и , а также и — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол равен углу , а угол — углу .
Получаем, что треугольники и — равнобедренные, то есть , а . Тогда .

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

, где — основание параллелограмма, — его высота.
, где и — стороны параллелограмма, — угол между ними.

И еще одна формула.

, где и — диагонали параллелограмма, — угол между ними.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Читать еще:  Игры кликеры на улучшение. Игры кликеры

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Читать еще:  Сокращение персонала трудовой кодекс. Какие могут возникнуть нюансы

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Параллелограмм

Параллелограмм — это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны являются попарно параллельными.

Разновидностями параллелограмма (частные случаи) являются квадрат, прямоугольник и ромб.

Содержание

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны тождественны.

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC Rightarrow angle 1 = angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD Rightarrow angle3 = angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, triangle ABC = triangle ADC (по второму признаку: angle 1 = angle 2, angle 3 = angle 4 и AC — общая).

И, значит, triangle ABC = triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

2. Противоположные углы тождественны.

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что angle 1 = angle 2, angle 3 = angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: angle 1 + angle 3 = angle 2 + angle 4 . Учитывая, что triangle ABC = triangle ADC получаем angle A = angle C , angle B = angle D .

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что triangle AOB = triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов angle 2 и angle 1 ) и AO = OC (напротив углов angle 3 и angle 4 соответственно).

Читать еще:  Какого числа именины у максима. Максим: именины по церковному календарю

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

triangle ABC = triangle ADC по свойству 1: AB = CD , AC — общая и angle 1 = angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если triangle ABC = triangle ADC , то angle 3 = angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC ( angle 3 и angle 4 — накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

AB = CD , AD = BC Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .

По свойству 1 triangle ABC = triangle ACD .

Из этого следует, что: angle 1 = angle 2 Rightarrow AD || BC и angle 3 = angle 4 Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

angle A = angle C , angle B = angle D Rightarrow ABCD — параллелограмм.

2 alpha + 2 beta = 360^ (поскольку ABCD — четырехугольник, а angle A = angle C , angle B = angle D по условию).

Получается, alpha + beta = 180^ . Но alpha и beta являются внутренними односторонними при секущей AB .

И то, что alpha + beta = 180^ говорит и о том, что AD || BC .

При этом alpha и beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD Rightarrow параллелограмм.

BO = OD ; AO = OC , angle 1 = angle 2 как вертикальные Rightarrow triangle AOB = triangle COD , Rightarrow angle 3 = angle 4 , и Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , angle 5 = angle 6 Rightarrow triangle AOD = triangle BOC Rightarrow angle 7 = angle 8 , и Rightarrow AD || BC .

Источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/parallelogramm-ego-svojstva-i-ploshhad/

http://academyege.ru/page/parallelogramm.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector