Как строится гипербола. Построение графика обратной зависимости (гиперболы)

Гипербола;

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(25)

где .

Параметры гиперболы:

Точки F₁(–c, 0), F₂(c, 0), где называются фокусами гиперболы, при этом величина 2с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А₁(–а, 0), А₂(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом А₁А₂ = 2а образует действительную ось гиперболы, а В₁В₂ = 2b – мнимую ось (В₁(0, –b), B₂(0, b)), О – центр гиперболы.

Величина называется эксцентриситетом гиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;

– фокальные радиусы гиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r₁ = a + εx, r₂ = –a + εx для точек правой ветви гиперболы, r₁ = – (a + εx), r₂ = – (–a + εx) – для точек левой ветви;

– директрисы гиперболы;

– уравнения асимптот.

Для гиперболы справедливо: ε > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством

Говорят, что уравнение

(26)

задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 20). Его можно записать также в виде

.

В таком случае ось мнимая, фокусы лежат на оси . Все остальные параметры определяются аналогично как для гиперболы (25).

Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2a (рис. 19).

Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox:

Пример 1. Привести уравнение гиперболы

к каноническому виду, найти еепараметры, изобразить гиперболу.

Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Из последнего уравнения непосредственно следует: a = 4, b = 3, c = 5, O(0, 0) – центр гиперболы. Фокусы находятся в точках F₁(–5, 0) и F₂(5, 0), эксцентриситет ε = 5/4, директрисы D₁ и D₂ описываются уравнениями D₁: x = –16/5, D₂: x = 16/5, асимптоты l₁ и l₂ имеют уравнения

Сделаем чертеж. Для этого по осям Ox и Oy симметрично относительно точки (0, 0) отложим отрезки А₁А₂ = 2а = 8 и В₁В₂ = 2b = 6 соответственно. Через полученные точки А₁(–4, 0), А₂(4, 0), В₁(0, –3), В₂(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник (рис. 21), диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу

Для нахождения угла φ между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой

.

,

откуда получаем

Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой

Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения:

которое делением на 30 приводится к виду

Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке действительная полуось – мнимая полуось – (рис. 22).

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы определить ее параметры и сделать чертеж.

Решение.Уравнение гиперболы, сопряженной данной, –

или

Действительная полуось b = 3, мнимая – а = 4, половина междуфокусного расстояния Вершинами гиперболы служат точки B₁(0, –3) и В₂(0, 3); ее фокусы находятся в точках F₁(0, –5) и F₂(0, 5); эксцентриситет ε = с/b = 5/3; директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями D₁: y = –9/5, D₂: y = 9/5; уравнения являются уравнениями асимптот (рис. 23).

Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются вспомогательный «прямоугольник» и асимптоты.

Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы.

Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы которое получается в результате параллельного переноса старой системы координат на вектор где (x, y) – центр гиперболы в «старой» системе координат. Тогда, используя соотношения между координатами произвольной точки М плоскости в заданной и преобразованной системах

получим уравнение гиперболы

Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O¢(x; y), а значит, действительная ось задается уравнением x = x,а мнимая – уравнением y = y. Ее вершинами являются точки , а асимптотами являются прямые . Половина междуфокусного расстояния Тогда фокусы гиперболы находятся в точках , эксцентриситет

Директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями

Пример 5.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса , а фокусы – в вершинах этого эллипса.

Решение.Уравнение означает, что фокусами эллипса являются точки а вершины, лежащие на главной оси, находятся в точках (так как ).

Тогда для искомой гиперболы известно, что

Значит, основные параметры гиперболы есть:

.

Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы

Задания для самостоятельного решения

Гипербола определение, свойства и виды, каноническое уравнение, формула нахождения фокуса, алгоритмы и примеры построения графика функции

При упоминании термина «гипербола» человек с поэтическим складом мышления подумает о преувеличенном сопоставлении. В крайности доходящем до абсурда.

Близкий к математике представит нечто подобное:

Это родственные кривые, полученные при сечении конуса плоскостью. Парабола, эллипс (окружность), гипербола.

Что такое гипербола в математике

Это геометрическое место точек M, физическая разница расстояний от которых до выбранных (F1, F2), называемых фокусами, постоянна.

Оговоримся, что все сказанное относится к Евклидовой плоскости, где параллельные прямые не пересекаются.

Но если из отрезка |F1F2| соорудить координатную прямую X, за начальную точку взять середину (она же будет центром гиперболы) отрезка, то получим декартову систему координат. Где кривая описывается алгебраическим уравнением II-го порядка.

Получим классическую формулу аналитической геометрии:

где a – действительная полуось, b – мнимая.

поскольку x и y связаны квадратной зависимостью, обе оси будут осями симметрии;

пересечения с осью абсцисс (фокусов) с координатами ±a называются вершинами гиперболы, и расстояние между ними является минимальной дистанцией между ветвями (о последних ниже);

кратчайший отрезок от фокуса до вершины зовется перицентрическим расстоянием и пишется «rp».

Асимптоты и фокусы гиперболы

Фокусы находятся на оси X (из этого исходили). Расстояние до центра гиперболы (он же центр симметрии C) называется фокальным и обозначается «c». Его формула:

Умозрительно очевидно, что сечение конуса состоит из двух кривых. Называются они ветвями гиперболы. Также не подлежит сомнению то, что ветви ограничены воображаемой поверхностью. Фокусы всегда находятся внутри ветвей.

Помучившись с производными и пределами, получим формулы асимптот (прямые, расстояние до которых от кривой стремится к нулю на бесконечном удалении от «0»):

Дистанцию от фокуса до асимптоты зовут прицельным параметром и обозначают буквой «b».

Как построить график функции гиперболы

Существует много ресурсов, где можно онлайн наблюдать, как строится функция. Но нужно все уметь самому. Итак, давайте учиться.

Построим для примера график уравнения

По формуле выше выстраиваем асимптоты.

Отмечаем вершины х = ±2 (А1, А2). Приблизительный вид уже ясен.

При х = ±3, y = ±3,5 (примерно).

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом считают величину:

Или, в иной записи:

Является параметром, характеризующим отклонение конического сечения от окружности:

кривые с равным эксцентриситетом подобны;

показатель угла наклона асимптот.

Равнобочная (равносторонняя) гипербола

Таковой кривая является при условии a = b. Если покрутить систему координат, функцию можно свести к виду:

Эксцентриситет данной конструкции составит квадратный корень из 2.

Иначе говоря, получаем график обратной пропорциональности:

Или «любимую» школьниками.

Коль уж речь зашла о школьном курсе, добавим сведений:

прямые x = 0, y = 0 – асимптоты;

область определения – все действительные числа, кроме 0;

область значений – все, за исключением 0;

функция нечетная, поскольку меняет знак при смене знака аргумента;

убывающая при положительных и отрицательных x.

Касательная и нормаль

В каждой точке гладкой кривой возможно построить касательную и нормаль (перпендикуляр). Гипербола – не исключение. Касательная – прямая, совпадающая с кривой только в одной точке (в пределах изгиба одного порядка).

Уравнение касательной в точке с координатами (x0y0) имеет вид:

Сопряженные гиперболы

Записанное таким образом уравнение даст сопряженную фигуру:

То есть с теми же асимптотами, но расположенную по-другому, с поворотом на 90°.

Пример на рисунке.

Свойства гиперболы

Их должен знать каждый школьник:

Касательная в произвольной точке H окажется биссектрисой угла F1HF2.

Кривая симметрична относительно осей и своего центра.

Отсеченный асимптотами отрезок касательной делится точкой соприкосновения пополам. Площадь же выделенного треугольника не меняется от изменения точки.

Использование

Где применяются знания о гиперболе:

для создания эллиптических и других координат;

в солнечных часах (сечение конуса света);

для анализа движения космических объектов.

Заключение

Непростая кривая с неожиданными в некоторых случаях применением. Что удивительно, задача о сечениях конуса была поставлена древнегреческими учеными во II-м веке до нашей эры. Это говорит о высочайшем уровне тогдашних инженеров.

Нет, солнечные часы понятно были, а мелких искусственных спутников не было точно. И астероиды не исследовали, но вопросы возникали. И были ответы без ссылок на многочисленных богов. Удивительные люди.

Разбираемся с магией гиперболы

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Приветствую вас на очередной лекции по магии функций и интегралов.

Сегодня мы поговорим о гиперболе. Начнём от простого. Самый простой вид гиперболы:

(1)

Эта функция, в отличии от прямой в её стандарных видах, имеет особенность. Как мы знаем, знаменатель дроби не может равняться нулю, потому что на ноль делить нельзя.
x ≠ 0
Отсюда делаем вывод, что областью определения является вся числовая прямая, кроме точки 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Если х стремится к 0 справа (записывается вот так: х->0+), т.е. становится очень-очень маленьким, но при этом остаётся положительным, то у становится очень-очень большим положительным (y->+∞).
Если же х стремится к 0 слева (x->0-), т.е. становится по модулю тоже очень-очень маленьким, но остаётся при этом отрицательным, то у также будет отрицательным, но по модулю будет очень большим (y->-∞).
Если же х стремится в плюс бесконечность (x->+∞), т.е. становится очень большим положительным числом, то у будет становиться всё более и более меньшим положительным числом, т.е. будет стремиться к 0, оставаясь всё время положительным (y->0+).
Если же х стремится в минус бесконечность (x->-∞), т.е. становится большим по модулю, но отрицательным числом, то у будет тоже отрицательным всегда числом, но маленьким по модулю (y->0-).

у, как и х, не может принимать значения 0. Он только к нулю стремится. Поэтому множество значений такое же, как и область определения: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Исходя из этих рассуждений, можно схематически нарисовать график функции

Видно, что гипербола состоит из двух частей: одна находится в 1-м координатном углу, где значения х и у положительные, а вторая часть — в третьем координатном углу, где значения х и у отрицательные.
Если двигаться от -∞ к +∞, то мы видим, что функция наша убывает от 0 до -∞, потом происходит резкий скачок (от -∞ до +∞) и начинается вторая ветка функции, которая тоже убывает, но от +∞ до 0. То есть, эта гипербола убывающая.

Если совсем чуть-чуть изменить функцию: воспользоваться магией минуса,

(1′)

то функция чудесным образом переместится из 1 и 3 координатных четвертей во 2-ю и 4-ю четверти и станет возрастающей.

Напомню, что функция является возрастающей, если для двух значений х₁ и х₂,таких, что х₁ f(х₂) для тех же значений х.

Ветви гиперболы приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Такие линии, к которым приближается график функции, но никогда их не пересекает, называются ассимптотой данной функции.
Для нашей функции (1) ассимптотами являются прямые х=0 (ось OY, вертикальная ассимптота) и у=0 (ось OX, горизонтальная ассимптота).

А теперь давайте немного усложним простейшую гиперболу и посмотрим, что произойдёт с графиком функции.

(2)

Всего-то добавили константу “а” в знаменатель. Добавление какого-то числа в знаменатель в качестве слагаемого к х означает перенос всей “гиперболической конструкции” (вместе с вертикальной ассимптотой) на (-a) позиций вправо, если а — отрицательное число, и на (-а) позиций влево, если а — положительное число.

На левом графике к х добавляется отрицательная константа (а 0), что вызывает перенос графика вправо, а на правом графике — положительная константа (a>0), благодаря которой график переносится влево.

А какая магия может повлиять на перенос “гиперболической конструкции” вверх или вниз? Добавление константы-слагаемой к дроби.

(3)

Вот теперь вся наша функция (обе веточки и горизонтальная ассимптота) поднимется на b позиций вверх, если b — положительное число, и опустится на b позиций вниз, если b — отрицательное число.

Обратите внимание, что ассимптоты передвигаются вместе с гиперболой, т.е. гиперболу (обе её ветки) и обе её ассимптоты надо обязательно рассматривать как неразрывную конструкцию, которая едино передвигается влево, вправо, вверх или вниз. Очень приятное ощущение, когда одним добавлением какого-то числа можно заставлять функцию целиком двигаться в любую сторону. Чем не магия, овладеть которой можно очень легко и направлять её по своему усмотрению в нужную сторону?
Кстати, так управлять можно движением любой функции. На следующих уроках мы это умение будем закреплять.

Перед тем как задать вам домашнее задание, я хочу обратить ваше внимание ещё вот на такую функцию

(4)

Нижняя веточка гиперболы перемещается из 3-го координатного угла вверх — во второй, в тот угол, где значение у положительное, т.е. эта веточка отражается симметрично относительно оси ОХ. И теперь мы получаем чётную функцию.

Что значит “чётная функция”? Функция называется чётной, если выполняется условие: f(-x)=f(x)
Функция называется нечётной, если выполняется условие: f(-x)=-f(x)
В нашем случае

(5)

Всякая чётная функция симметрична относительно оси OY, т.е. пергамент с рисунком графика можно сложить по оси OY, и две части графика точно совпадут друг с другом.

Как видим, эта функция тоже имеет две ассимптоты — горизонтальную и вертикальную. В отличие от рассмотренных выше функций, эта функция является на одной своей части возрастающей, на другой — убывающей.

Попробуем поруководить теперь этим графиком, прибавляя константы.

(6)

Вспомним, что прибавление константы в качестве слагаемого к “х” вызывает перемещение всего графика (вместе с вертикальной ассимптотой) по горизонтали, вдоль горизонтальной ассимптоты (влево или вправо в зависимости от знака этой константы).

(7)

А добавление константы b в качестве слагаемого к дроби вызывает перемещение графика вверх или вниз. Всё очень просто!

А теперь попробуйте сами поэкспериментировать с такой магией.

Домашнее задание 1.

Каждый берёт для своих экспериментов две функции: (3) и (7).
а=первой цифре вашего ЛД
b=второй цифре вашего ЛД
Попробуйте добраться до магии этих функций, начиная с простейшей гиперболы, как я это делала на уроке, и постепенно добавляя свои константы. Функцию (7) уже можете моделировать, исходя из конечного вида функции (3). Укажите области определения, множество значений, ассимптоты. Как ведут себя функции: убывают, возрастают. Чётные — нечётные. В общем, попробуйте провести такое же исследование, как было на уроке. Возможно, вы найдете что-то ещё, о чём я забыла рассказать.

Кстати, обе ветки самой простейшей гиперболы (1) симметричны относительно биссектрисы 2 и 4 координатных углов. А теперь представьте, что гипербола стала вращаться вокруг этой оси. Получим вот такую симпатичную фигуру, которой можно найти применение.

Задание 2. Где можно использовать данную фигуру? Попробуйте нарисовать фигуру вращения для функции (4) относительно её оси симметрии и порассуждайте, где такая фигура может найти применение.

Помните, как мы в конце прошлого урока получили прямую с выколотой точкой? И вот последнее задание 3.
Построить график вот такой функции:

(8)

Коэффициенты a, b — такие же, как в задании 1.
с=третьей цифре вашего ЛД или a-b, если ваше ЛД двузначное.
Небольшая подсказка: сначала полученную после подстановки цифр дробь надо упростить, и затем вы получите обычную гиперболу, которую и надо построить, но в конце надо учесть область определения исходного выражения.

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной

Источники:

http://studopedia.su/13_155732_giperbola.html

http://sprint-olympic.ru/uroki/algebra/78240-giperbola-opredelenie-svoistva-i-vidy-kanonicheskoe-yravnenie-formyla-nahojdeniia-fokysa-algoritmy-i-primery-postroeniia-grafika-fynkcii.html

http://wordsland.ru/mfi/giperbola.php