Как определить что функция монотонна. Пределы монотонных функций

Вопросы. Односторонние пределы монотонной функции

Односторонние пределы монотонной функции

Пусть функция определена на .

Определение 8. Функция называется ограниченной сверху на , если , что для выполняется неравенство: . Постоянная называется верхней границей функции на .

Верхних границ у ограниченной сверху функции существует бесконечно много. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей и обозначается: .

Определение 9. Функция называется ограниченной снизу на , если , что для выполняется неравенство: . Постоянная называется нижней границей функции на .

Нижних границ у ограниченной снизу функции существует бесконечно много. Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей и обозначается: .

Определение 10. Функция называется ограниченной на , если она ограничена и снизу, и сверху. Иначе: функция является ограниченной на , если , что для выполняется неравенство: .

Пример. Функция является ограниченной, когда , поскольку для : .

Пример. Функция является ограниченной, когда , но не будет ограниченной для .

Определение 11. Функция называется монотонно возрастающей на множестве , если для из того, что следует, что .Функция называется строго монотонно возрастающей на множестве , если для из того, что следует, что .

Определение 12. Функция называется монотонно убывающей на множестве , если для из того, что следует, что .Функция называется строго монотонно убывающей на множестве , если для из того, что следует, что .

Определение 13. Монотонно возрастающие, строго монотонно возрастающие, монотонно убывающие, строго монотонно убывающие функции называются монотонными функциями.

Пример. Функция является строго монотонно возрастающей, когда , строго монотонно убывающей, когда , не является монотонной, когда .

Теорема 6. Пусть функция определена и монотонна на , тогда для в каждой точке существуют оба односторонних предела.

1. Определения предела функции по Коши, по Гейне.

2. Геометрический смысл предела функции в точке.

3. Как может вообще вести себя функция в точке ?

4. Может ли функция в точке иметь предел, если она не определена в этой точке?

5. Как влияет на существование предела функции и значение этого предела в точке поведение функции в самой точке ? Ответ объяснить.

6. Сколько пределов может иметь функция в точке?

7. Пусть для функций и : , . Доказать, что .

8. Условие Коши для функции в точке . Критерий Коши существования предела функции в точке .

9. Определения односторонних пределов функции в точке . Может ли функция не иметь односторонних пределов в точке ? Привести примеры.

10. Ограниченность функции. Привести примеры ограниченных и неограниченных функций.

11. Монотонность функции. Теорема об односторонних пределах монотонной функции.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Пределы монотонных функций

Содержание:

Пределы монотонных функций

Пределы монотонных функций. Определение 16. Функция A называется увеличением (уменьшением) в множестве X, для X1×2 и неравенств A (X) a (x2) A (X) точки x1∈X и x2∈X(соответственно, неравенство A (x) A (x2)). Функцию увеличения (уменьшения) также можно назвать неубывающей (не увеличивающейся). Если функция увеличивается (уменьшается) в множестве X, то также говорят, что функция увеличивается (уменьшается) в этом множестве. Если функция A увеличивается (уменьшается) в множестве X, функция-A получает от A путем изменения всех знаков. Значение, т. е. (A) (x)= A (x), x∈X является функцией, которая уменьшается (увеличивается) в X.2 4

Читать еще:  Вариант гиа по английскому языку.

Функция, возрастающая или убывающая в множестве X, называется монотонной в этом множестве. Людмила Фирмаль

  • Теорема 4. Пусть функция A, X ^ K растет с множеством X, a = mT X, P = vir X, а затем a $ X, P $ X. Тогда функция точки A имеет предел справа、 Это A (x)= _nT A (X), точка P имеет предел с левой стороны、 Х ® Х е х Гм А (х)= ’ ИС(х). х ® П Х е х Итак, если функция A ограничена вершиной по условиям теоремы, то точка P имеет конечный предел. Слева, если A не ограничено выше, um A (x)= + тогда. X ® P Аналогично, если функция A ограничена снизу, то существует конечный предел справа в точке a, и если A Um A (x)= to, Если ограничено: х ® а Аналогичное утверждение относится и к редукции функций. Они могут быть получены путем перехода от функции A к функции-A. Результаты.

Примеры решения, формулы и задачи

  • Обозначим через H (P) окрестности точки P, где X-самое левое (то есть если P-действительное число, то расстояние H (P, e)=(P-e, P + e), e = = P-X, а если P = + th, то самое левое (X,+ then) из бесконечного полупериода. х€X р р (р) (5.64 м)) Выполняется неравенство X(рис. 27). таким образом, по возрастающей функции/ оно становится неравенством/(X) A (x). таким образом, для каждого x (5.64), удовлетворяющего условию、 П А (х) с SUP А( х) = B (5.65) (5.63) х Напомним, что точка p находится слева от точки H (b) в окрестности точки b, и из (5.65) мы получаем включение A (x)∈H (b). таким образом, для любой окрестности H (b) из b окрестность H (P) точки существует, как только включение a (x)∈H (B) становится x∈€hh (p).Это Что um A (x)= b = sup A(x). Н ® П Х Аналогичным образом, вы можете доказать Im /(x)= m4 A (x). Я не уверен. н ® х Доказательство, конечно. Чтобы было понятно, увеличить функцию на Х и Х делают точка соприкосновения в непустой набор X(со)И Х(со).

Тогда неравенство а (х’) а (Х’) имеет, вне зависимости от точки Х€Х (со) И х ’ €х (хо).Так, функция ограничена на число А (х’) на множестве X(х0), и ограниченное число (х’) ниже заданного х (хо). 8ir A (x) A(x’), 1P7 A(x) A (x’).(5.66) Х (Икс) х(хо) таким образом, оно передается на нижнюю границу значения функции правого множества X (xo、 8ir A (x) 1P7 A(x). (5.67) Х (Икс) х(хо) 28-29 августа. Согласно теореме 4, это завершает доказательство индукции, поскольку существует предел на a (x -) слева и A (x+) справа. / (Хо -)=воздух/(х),/(хо+) = м! /(икс) Х(Х) Х(Х) Таким образом, неравенство(5.61) совпадает с неравенством(5.67). 1.In теорема 4, функция A. поскольку X ^ K увеличивается, m! X = A $ X и sup X = P $X.

В частности, показанные верхняя и нижняя поверхности конечны, и первое неравенство справедливо для любой точки χ. Людмила Фирмаль

  • Однако, например, для A€X, для любой (немонотонной) функции, здесь 2 Случай. Если предел /(Х) существует, то функция х ® х е х Непрерывным в точке а(рис. 28) или несуществующие(рис. 29).Аналогичная ситуация наблюдается и в пункте п. Примечания 2.Из элементарной математики функция является А (р)= АР,, (5.68) Где r-рациональное число, а r€^монотонно на множестве Все рациональные^(см. также§ 2.6).Для каждого действительного числа x множество рациональных чисел r x, r x не пусто, и x является их точкой соприкосновения. Таким образом, согласно следствию теоремы 4, существуют ограничения It ag и Hm ag в действительном числе x、 г ® х-г ® х + r€^(набор рациональных чисел.
Читать еще:  Что значит, если снятся перчатки? Сонник: к чему снятся перчатки.



Режим работы с 07:00 утра до 24:00 ночи (часовой пояс Москва)

Образовательный сервис позволяющий получить дополнительные знания

Если не указано иное, контент на этом сайте лицензирован под международной лицензией Creative commons attribution 4.0

© 2000 – 2019 ИП «Фирмаль Людмила Анатольевна»

Все авторские права на размещённые материалы сохраняются за правообладателями. Любое коммерческое и другое использование кроме предварительного ознакомления запрещено. Публикация предоставленных материалов не преследует за собой коммерческой выгоды. Публикация являются рекламой бумажных изданий этих документов. Я оказываю услуги по сбору, компоновке и обрабатыванию информации по теме заданной мне Клиентом. Результат работы не будет готовым научным трудом, но может быть источником для его самостоятельного изучения и написания.

Как определить что функция монотонна. Пределы монотонных функций

Определение. Булева функция f(x1, …, xn) называется монотонной (принадлежит классу M), если для любой пары наборов α и β таких, что αβ, выполняется условие f(α)≤ f(β) (назовем его условием монотонности).

Примеры. Исследуем мажоритарную булеву функцию.

Перебор пар начнем с наборов α=000 и β=001: для них αβ и выполнено условие монотонности f(000)=f(001). Отметим, что набор α таков, что любой другой набор β является последователем α, и, казалось бы, следует анализировать каждую из этих пар. Однако f(α)=0, поэтому условие f(α)≤ f(β) будет выполнено для любого набора β. Значит, в качестве α достаточно рассмотреть лишь те наборы, на которых функция принимает значение единица: 011, 101, 110 и 111. Кроме того, наборы в таблице истинности расположены в естественном порядке, значит, наборы –последователи лежат ниже предшественников. Набор α=011 имеет единственного последователя β=111 и f(011)=f(111), то есть условие монотонности для этой пары не нарушено. Рассмотрим остальные возможные пары наборов: α=101, β=111 и α=110, β=111 (набор α=111 последователей не имеет). Для них условие монотонности также не нарушено. Значит, мажоритарная функция монотонна.

Из элементарных булевых функций монотонными являются, например, конъюнкция и дизъюнкция. Не являются монотонными, например, штрих Шеффера и стрелка Пирса. •

В общем случае набор имеет несколько последователей, и для всех таких пар надо проверять выполнение условия монотонности. Чтобы сформулировать более простой алгоритм распознавания монотонной функции, докажем утверждение, которое к тому же будет использовано при доказательстве леммы о немонотонной функции.

Утверждение о условии немонотонности. Для любой пары наборов α и β таких, что αβ и f(α) > f(β), найдется пара соседних наборов α’, β’ с теми же свойствами: α’β’ и f(α’) > f(β’).

Доказательство. Если α и β – соседи, то утверждение верно (α’=α, β’=β). Иначе вычислим расстояние d (по Хэммингу) между наборами α=a1… an и β=b1… bn и начнем строить цепочку наборов γ, …, γd такую, что

и любые два расположенных рядом набора γi –1i (i=1, …, d) являются соседями. Очередной набор γi получим из предыдущего набора γi –1 заменой значения одной из ортогональных компонент наборов γi –1 и β (это будет замена 0 на 1, так как αβ), затем проверим условие немонотонности f(γi –1)>f(γi). Если оно выполнено, утверждение доказано (α’=γi –1, β’=γi). Иначе получим и исследуем очередной набор. В худшем случае, когда постоянно выполняется условие монотонности, имеем

Читать еще:  Игры боевые корабли ио. Боевые корабли ио

но тогда f(γd –1)=1 и f(β)=0, значит, условие немонотонности выполнится для последней пары: α’=γd –1 и β’=γd=β. •

Пример. Пусть задана пара булевых векторов , тогда цепочка соседей может иметь следующий вид:

Если f(α)>f(β), то смена значения функции с 1 на 0 произойдет по крайней мере на одной из четырех пар соседей. •

Алгоритм распознавания монотонной булевой функции (основан на утверждении о условии немонотонности).

Начало. Задана таблица истинности булевой функции.

Шаг 1. Сравниваем значения функции на наборах, соседних по первой переменной, то есть верхнюю половину столбца значений функции (вектор φ1) с нижней половиной (вектор φ1). Если условие φ1φ1 нарушено, то функция не монотонна, идем на конец.

Шаг 2. Сравниваем значения функции на наборах, соседних по второй переменной, то есть верхние четвертины столбца значений функции (векторы φ’2, φ»2) с нижними четвертинами (векторами φ’2, φ»2) в каждой половине. Если хотя бы одно из условий φ’2φ’2 и φ»2φ»2нарушено, то функция не монотонна, идем на конец.

Шаги 3 –n. Аналогично сравниваем восьмые, шестнадцатые части, и так далее. Если ни одно из проверяемых условий не нарушено, то функция монотонна.

Примеры. Рассмотрим две булевых функции (первая – мажоритарная).

Проверим на монотонность мажоритарную функцию. Сравниваем половины столбца значений: φ1=0001 0111=φ1. Сравниваем четвертины: φ’2=00 01=φ’2, φ»2=01 11=φ»2. Сравниваем осьмушки: 0 0 , 0 1, 0 1 , 1 1 . Следовательно, мажоритарная функция монотонна.

Проверим на монотонность функцию g(x,y,z). Сравниваем половины столбца значений: φ1=0110 0111=φ1. Сравниваем четвертины: так как φ’2=01 не предшествует φ’2=10, функция g(x,y,z) не монотонна. •

Теорема о замкнутости класса M. Множество всех монотонных булевых функций является замкнутым классом.

Доказательство. Рассмотрим суперпозицию любых булевых функций из M, то есть функцию

и покажем, что она монотонна. Подставим в суперпозицию любую пару наборов α и β таких, что αβ, получим:

где γ и δ – булевы векторы. Так как αβ, и булевы функции f1(x1, …, xn), …, fm(x1, …, xn) монотонны, то γδ. Поскольку функция f(y1, …, ym) также монотонна, то f(γ)≤ f(δ), следовательно, f(α)≤ f(β), то есть f(x1, …, xn) монотонна, и класс M замкнут. •

Лемма о немонотонной булевой функции. Если булева функция немонотонна, то из нее подстановкой вместо аргументов констант 0 и 1 и переменной x можно получить инверсию переменной x .

Доказательство. Рассмотрим немонотонную функцию f(x1, …, xn). Согласно утверждению о условии немонотонности, существует пара соседних наборов α=a1… an и β=b1… bn таких, что αβ и f(α) > f(β), то есть

Пусть α и β – соседи по k –й компоненте, тогда

Подставим в функцию f(x1, …, xn) вместо каждого аргумента xi либо константу ai, если i ≠ k, либо переменную x, если i = k (подстановка константы и переменной допустима по условию теоремы). В результате получим функцию одного аргумента

Покажем, что g(x)= x :

Итак, инверсия x получена. •

Пример. Рассмотрим функцию f(y,z) = y ↓ z.

Она немонотонна, так как существует пара наборов α=00 и β=10 таких, что αβ и f(α)>f(β). Так как α и β – соседи по первой компоненте, то, согласно доказательству леммы, положим y=x и подставим вместо z константу 0, получим:

Источники:

http://studopedia.ru/3_53484_voprosi.html

http://9219603113.com/predely-monotonnyh-funkcij/

http://ido.tsu.ru/iop_res/bulevfunc/text/g15_5.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector