Доказательство от противного — что представляет собой, когда используется.

Мой секрет

В чем суть метода от противного. Доказательство от противного — что представляет собой, когда используется

Что такое метод доказательства «от противного»?

Суть метода доказательства от противного заключается в два этапах. Первое в доказательстве СУЩЕСТВОВАНИЯ самого quot;доказательстваquot; и второе в доказательстве ЕДИНСТВЕННОСТИ доказания. Коряво описал, но хотел сказать следующее. При доказательстве теорем таким методом нужно показать, что существует решение данной задачи или теоремы, а затем доказать, что это решение будет единственное. Это не единственный метод применяемый в доказательстве теорем, но как математический и логический инструмент небезынтересный.

Метод доказательства от противного используется не только в математике, хотя там и получил довольно широкое распространение в качестве инструмента доказательства отдельных задач и теорем.

На самом деле это логический метод доказательства любых утверждений, который может быть применен в любой области знаний. Даже в гуманитарных и социальных науках. Просто, в технических науках мы имеем дело с цифрами, а многих людей убеждает как раз наличие этих значков, а в мире логики мы оперируем умозаключениями, которые никогда не могут считаться абсолютной истиной.

Этот метод доказательства мы изучали в школе в средних классах, когда берется за основу какое-то утверждение, которое никак не доказать, вместо этого берут прямо противоположное ему утверждение, доказывают, что оно неверно-следовательно, то, что нам не доказать, верно, и это единственное верное решение данного вопроса.

В жизни мы говорим о чем-то, доказать не можем, но приводим пример противоположный и доказываем, что он неверен: из тайника украли деньги, знали о нем Вася и Петя, но у Пети алиби-он уехал на дачу на всю неделю, значит, деньги украл Вася.

Методом доказательства quot;от противногоquot; называется способ при котором недоказуемая истина, становится истиной, только лишь потому что иное всегда не правильно – а это как раз то и доказуемо. Соответственно, в результате этого метода, пусть и косвенно, но мы доказали quot;недоказуемую истинуquot;

Данный закон основывается на законе двойного отрицания если не верно А, то А верно.

К примеру у вас как вы думаете язва. Ваш врач для того что бы опровергнуть это суждение, доказывает вам опровергая то в чем вы уверенны, то есть ваше утверждение и говорит, что у вас нет язвы так как гастроскопия показало что в полости желудка нет повреждений, вы не теряете вес и можете есть все что захотите.

Стандартный прием, например, в математике. Нужно доказать утверждение А. А это трудно. Тогда берут прямо противоположное утверждение В, и доказывают, что оно неверно. Отсюда следует, что А – истинно. То же и в жизни. Простой пример: некто говорит: quot;Мистер Х – ворquot;. Его оппонент: quot;Но как это доказать?quot; Первый: quot;Предположим, что он – честный человекquot;. Второй: quot;Да это же курам насмех!quot;. Первый: quot;Вот мы и доказали, что Х – ворquot; :)))

Ложен, мы тем самым обосновываем истинность противоположного ему положения – тезиса. Напр., врач, убеждая пациента в том, что тот не болен гриппом, может рассуждать следующим образом: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т.д. Но ничего этого нет. Следовательно, нет и гриппа». Доказательство некоторого положения от противного – это истинности данного положения, опирающееся на демонстрацию ложности «противного» (противоречащего) положения и исключенного третьего.
Общая Д. от п. описывается следующим образом. Нужно доказать некоторое А. В процессе доказательства сначала формулируется противоположное ему высказывание не-А и предполагается, что истинно: допустим, что А ложно, тогда должно быть истинно не-А. Затем из этого якобы истинного антитезиса выводятся следствия – до тех пор, пока либо не получится , либо такое , которое явным образом противоречит известному истинному высказыванию. Если показано, что не-А ложно, то тем самым обоснована истинность тезиса А (см. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

Философия: Энциклопедический словарь. – М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

(лат. reduc-tio ad absurdum) , вид доказательства, при кром «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через противоречащего ему суждения – антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с к.-л. заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует след. схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В, то А – ложно. Другая, более общая Д. от п. – это путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А, вывели , следовательно – не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением. В последнем случае Д. от п. опирается на и закон двойного отрицания. Помимо указанных выше, существует «парадоксальная» форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.

Философский энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Лит.: Тарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч Α., Введение в математич. логику, пер. с англ., [т.] 1, М., 1960.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. – М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

Смотреть что такое “ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО” в других словарях:

– (proof by contradiction) Доказательство, при котором признание исходной предпосылки неверной ведет к противоречию. То есть предположение об ошибочности исходной посылки позволяет одновременно и доказать какое либо утверждение, и опровергнуть его; … Экономический словарь

Один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Один из видов косвенного доказательства. * * * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО, один из видов косвенного доказательства (см. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) … Энциклопедический словарь

Доказательство от противного – (лат. reduction ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Исследовательская деятельность. Словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО – (лат. reductio ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Профессиональное образование. Словарь

См.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики

– (лат. reductio ad absurdum) вид Доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается… … Большая советская энциклопедия

Читать еще: Гадание по календарю нострадамуса. Нострадамус, предсказания нострадамуса

Занятие рассчитано на 2академ. часа.

Цель: изучить различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), иллюстрирующие методологию рассуждений. Рассмотреть метод математической индукции.

Теоретический материал Методы доказательств

При доказательстве теорем применяется логическая аргументация. Доказательства в информатике  неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов. Необходимость доказательства возникает, когда нам нужно установить истинность высказывания вида (АВ). Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:

Прямое рассуждение (доказательство).

Предполагаем, что высказывание А истинно и показываем справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда A истинно, a B  ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (АВ) принимает ложное значение (см. табл).

Таким образом, прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, . ) необходимо следует доказываемый тезис q.

По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т. д.

1. Учитель на уроке при прямом доказательстве тезиса “Народ  творец истории”, показывает; во-первых , что народ является создателем материальных благ, во-вторых , обосновывает огромную роль народных масс в политике, разъясняет, как в современную эпоху народ ведет активную борьбу за мир и демократию, в-третьих , раскрывает его большую роль в создании духовной культуры.

2. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы – горючи. Сахар – углевод. Сахар горюч.

В современном журнале мод “Бурда” тезис “Зависть – корень всех зол” обосновывается с помощью прямого доказательства следующими аргументами: “Зависть не только отравляет людям повседневную жизнь, но может привести и к более серьезным последствиям, поэтому наряду с ревностью, злобой и ненавистью, несомненно, относится к самым плохим чертам характера. Подкравшись незаметно, зависть ранит больно и глубоко. Человек завидует благополучию других, мучается от сознания того, что кому-то больше повезло””.

2. Обратное рассуждение (доказательство ) . Предполагаем, что высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не В)(не А)), что согласно таблицы, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (АВ).

3. Метод «от противного».

Этот метод часто используется в математике. Пусть а – тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а (или ). Из допущениявыводим следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем
, при этом– ложно, значит, истинно его отрицание, т.е. , которое по закону двузначной классической логики (→а ) дает а. Значит, истинно а , что и требовалось доказать.

Примеров доказательства “от противного” очень много в школьном курсе математики. Так, пример, доказывается теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом “от противного” доказывается и следующая теорема: “Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны”. Доказательство этой теоремы пpямо начинается словами: “Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны”.

Доказательство «от противного» (по-латински “reductio ad absurdum”) характеризуется тем, что сам процесс доказательства какого-либо мнения осуществляется путем опровержения противоположного суждения. Ложность антитезиса можно доказать, установив тот факт, что он несовместим с истинным суждением.

Обычно такой метод наглядно демонстрируется с помощью формулы, где А – антитезис, а В – истина. Если при решении получается, что наличие переменной А приводит к результатам отличным от В, то доказывается ложность А.

Доказательство «от противного» без использования истины

Существует и более легкая доказательства ложности «противного» – антитезиса. Такая формула-правило гласит: «Если при решении с переменной А в формуле возникло противоречие, А – ложно». При этом не имеет значения, является ли антитезис отрицательным или утвердительным суждением. К тому же более простой способ доказательства от противного содержит в себе только два факта: тезис и антитезис, истина В не используется. В это значительно упрощает процесс доказательства.

Апагогия

В процессе доказательства от противного (которое еще называется «приведением к нелепости») часто используется апагогия. Это логический прием, цель которого доказать неверность какого-либо суждения так, чтобы непосредственно в нем или в вытекающих из него следствиях было выявлено противоречие. Противоречие может выражаться в тождестве заведомо различных предметов или в качестве выводов: конъюнкция или пары В и не В (истина и не истина).

Прием доказательства «от противного» часто используется . Во многих случаях доказать неверность суждения другим способом не представляется возможным. Кроме апагогии существует и парадоксальная форма доказательства от противного. Такая форма применялась еще в «Началах» Евклида и представляет собой следующее правило: А считается доказанным, если получается продемонстрировать и «истинность ложности» А.

Таким образом, процесс доказательства от противного (оно же зовется косвенным и апогогическим доказательством) выглядит следующим образом. Выдвигается мнение, противоположное , из этого антитезиса выводятся следствия, среди которых ищется ложное. Находят доказательства того, что среди следствий действительно имеется ложное. Из этого делается вывод, что антитезис неверен, а раз неверен антитезис, следует логичный вывод, что истина содержится именно в тезисе.

Доказательство «от противного» без использования истины

Апагогия

Читать еще: Япония участвовала второй мировой войне. Цена победы

Философия: Энциклопедический словарь. – М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Философская Энциклопедия. В 5-х т. – М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

Смотреть что такое “ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО” в других словарях:

Один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь

См.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения. Само рассуждение называется доказательством теоремы.

Теорема обратная данной – это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – ее условие. Например: Теорема : В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная теорема : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы. Например: следствием из теоремы о высоте равнобедренного треугольника является: Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Доказательство методом от противного заключается в следующем:

1) Делается предположение противоположное тому, что надо доказать.

2) Затем, исходя из предположения, путем рассуждений приходят к противоречию либо с условием, либо с известным фактом.

3) На основании полученного противоречия делается вывод о том, что предположение неверно, а значит верно то, что требовалось доказать.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны .

DАВС = DА 1 В 1 С 1

1. Приложим к DАВС к DА 1 В 1 С 1 , так чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой АВ.

2. Так как АВ= А 1 В 1 Þ они совпадут.

3. ÐСА 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 ÞÐСА 1 С 1 – развернутый и Þточки С, А 1 и С 1 – лежат на одной прямой.

4. Рассмотрим DСВС 1 – р/б (ВС= В 1 С 1 по условию)Þ ÐС = ÐС 1 (по свойству)

5. Таким образом, DАВС = DА 1 В 1 С 1 – по гипотенузе и острому углу. (ч.т.д.)

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.

Перпендикулярные прямые – это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла.(показать на рисунке)

Перпендикуляр к прямой – это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке)

1)Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.

2)Две прямые перпендикулярные к одной и той же прямой не пересекаются.

Читать еще: Сколько рабочих часов в августе.

Признак равнобедренного треугольника.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

1. Мысленно скопируем DАВС и перевернем копию – получим DСВА.

2. Наложим DСВА на DАВС, так чтобы вершина С копии совместилась с вершиной А DАВС.

3. Так как ÐА = ÐС (по условию) Þ ÐА копии и ÐС треугольника при наложении совпадут, так же ÐС копии и ÐА треугольника при наложении совпадут.

4. Отрезок СВ копии наложится на луч АВ треугольника и отрезок АВ копии наложится на луч СВ треугольника.

5. Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒

т. В 1 совпадет с точкой В и ⇒ АВ совместится с СВ ⇒ АВ=СВ

6. Из того, что АВ=СВ ⇒ по определению ΔАВС – равнобедренный(ч.т.д.)

Треугольник , у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основанием . (показать на рисунке)

Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(показать на рисунке)

Признак равнобедренного треугольника : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. (показать на рисунке)

Теорема о высоте равнобедренного треугольника : Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. (показать на рисунке)

Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника :

1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. (показать на рисунке)

2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой. (показать на рисунке)

Часто при доказательстве теорем пользуются методом доказательства от противного . Суть этого метода помогает понять загадка. Попробуйте её разгадать.

Представьте себе страну, в которой приговорённому к казни предлагается выбрать одну из двух одинаковых на вид бумаг: на одной написано «смерть», на другой – «жизнь». Враги оклеветали одного жителя этой страны. И, чтобы у него не осталось никаких шансов спастись, сделали так, что на обороте обоих бумажек, из которых он должен выбрать одну, было написано «смерть». Друзья узнали об этом и сообщили осуждённому. Он попросил никому об этом не рассказывать. Вытащил одну из бумажек. И остался жить. Как ему это удалось?

Ответ. Осуждённый проглотил выбранную им бумажку. Чтобы установить, какой жребий ему выпал, судьи заглянули в оставшуюся бумажку. На ней было написано: «смерть». Это доказывало, что ему повезло, он вытащил бумажку, на которой было написано: «жизнь».

Как в случае, о котором рассказывает загадка, при доказательстве возможны только два случая: можно… или нельзя… Если удастся убедится, что первое невозможно (на бумажке, которая досталась судьям, написано: «смерть»), то сразу можно сделать вывод, что справедлива вторая возможность (на второй бумажке написано: «жизнь»).

Доказательство методом «от противного» осуществляется так.

1) Устанавливают, какие варианты в принципе возможны при решении задачи или доказательстве теоремы. Вариантов может быть два (например, перпендикулярны ли не перпендикулярны рассматриваемые прямые); вариантов ответа может быть три и больше (например, какой получается угол: острый, прямой или тупой).

2) Доказывают. Что не может выполняться ни один из тех вариантов, которые нам необходимо отбросит. (Например, если надо доказать, что прямые перпендикулярные, смотрим, что получается, если рассматривать не перпендикулярные прямые. Как правило, удаётся установить, что в этом случае какой-либо из выводов противоречит тому, что дано в условии, а потому невозможен.

3) На основании того, что все нежелательные выводы отброшены и только один (желательный) остался нерассмотренным, делаем вывод, что именно он верный.

Решим задачу, используя доказательство от противного.

Дано: прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.

Используя метод доказательства «от противного», доказать, что а ll b.

Возможны только два случая:

1) прямые а и b параллельны (жизнь);

2) прямые а и b не параллельны (смерть).

Если удастся исключить нежелательный случай, то останется сделать вывод, что имеет место второй из двух возможных. Чтобы отбросить нежелательный случай, давайте подумаем, что произойдёт, если прямые а и b пересекаются:

По условию любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b. Поэтому, если удастся найти хотя бы одну прямую, которая пересекает а, но не пересекает b, этот случай надо будет отбросить. Таких прямых можно найти сколько угодно: достаточно провести через любую точку К прямой а, кроме точки М прямую КС, параллельную b:

Поскольку отброшен один из двух возможных случаев, можно сразу сделать вывод, что а ll b.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

Философский энциклопедический словарь . 2010 .

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960—1970 .

Смотреть что такое “ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО” в других словарях:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — (proof by contradiction) Доказательство, при котором признание исходной предпосылки неверной ведет к противоречию. То есть предположение об ошибочности исходной посылки позволяет одновременно и доказать какое либо утверждение, и опровергнуть его; … Экономический словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь

Доказательство от противного — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

доказательство от противного — один из видов косвенного доказательства. * * * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО, один из видов косвенного доказательства (см. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) … Энциклопедический словарь

Доказательство от противного — (лат. reduction ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Исследовательская деятельность. Словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — (лат. reductio ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Профессиональное образование. Словарь

доказательство от противного — см.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики

Доказательство от противного — (лат. reductio ad absurdum) вид Доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается… … Большая советская энциклопедия

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — один из видов косвенного доказательства … Естествознание. Энциклопедический словарь

Доказательство от противного — см. Абсурд1 … Философский словарь Спонвиля

Источники:

http://bboff.ru/v-chem-sut-metoda-ot-protivnogo-dokazatelstvo-ot-protivnogo/

http://www.interesnyekartinki.ru/dokazatelstvo-ot-protivnogo-chto-predstavlyaet-soboi-kogda-ispolzuetsya.html

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/349/%D0%94%D0%9E%D0%9A%D0%90%D0%97%D0%90%D0%A2%D0%95%D0%9B%D0%AC%D0%A1%D0%A2%D0%92%D0%9E