Тригонометрические неравенства онлайн. Решение тригонометрических неравенств

Содержание

1 Тригонометрические неравенства онлайн. Решение тригонометрических неравенств

Неравенства

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.

Не важно каким является неравенство – строгим ( ) или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Читать еще: К чему снится покупка очков для зрения. Сломанные и расколотые

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

Тригонометрические неравенства и методы их решения

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Методы решений неравенств:

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
Графическое решение тригонометрических неравенств.
Решение неравенств методом интервалов.

При решении более сложных тригонометрических неравенств пользуются двумя основными приемами:

I. Данное неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к простейшим тригонометрическим неравенствам. При выполнении преобразований пользуются теми же приемами, что и при решении тригонометрических уравнений.

II. Применяется метод интервалов для определения числовых промежутков, в которых содержатся решения неравенства. Предварительно решается соответствующее тригонометрическое уравнение и устанавливаются интервалы знакопостоянства с учетом области определения неравенства.

Неравенство (sinx>a)

При (|a|≥1) неравенство (sinx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .
При (a a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
При (−1≤a a) выражается в виде (arcsin a + 2pi n 1) неравенство (sinxge a) не имеет решений: (xin varnothing) .
При (ale−1) решением неравенства (sinxge a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
При (-1 решение неравенства (sinxge a) выражается в виде (arcsin a + 2pi n le x le pi — arcsin a + 2pi n,;n in mathbb) .
Случай (a=1 ) : (x = frac2 +2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (sinx

Неравенство (sinx≤a)

При (a≥1) решением неравенства (sinx≤a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .

При (a

Случай (a=−1) : (x = -frac2 + 2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (cosx>a)

При (a≥1) неравенство (cosx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .

При (a a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .

При (−1≤a a) имеет вид (-arccos a + 2pi n 1) неравенство (cosx≥a) не имеет решений: (xin varnothing) .

При ( a≤−1) решением неравенства (cosx≥a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .

При (-1 решение неравенства (cosx≥a) имеет вид (-arccos a + 2pi n le x le arccos a + 2pi n,;n in mathbb) .

Случай (a=1) : (x = 2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (cosx

Неравенство (cosx≤a)

При (a≥1) решением неравенства (cosx≤a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .

При (a

Случай (a=−1) : (x = pi + 2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (tgx>a)

При любом действительном значении (a) решение строгого неравенства (tgx>a) имеет вид (arctg a + pi n

Для любого значения (a) решение неравенства (tgx записывается в виде (-frac2 + pi n

Неравенство (tgx≤a)

При любом (a) неравенство (tgx≤a) имеет следующее решение: (-frac2 + pi n a)

При любом (a) решение неравенства (ctgx>a) имеет вид (pi n

Для любого значения (a) решение неравенства (ctgx лежит в открытом интервале (arcctg a + pi n

Неравенство (ctgx≤a)

При любом (a) решение нестрогого неравенства (ctgx≤a) находится в полуоткрытом интервале (arcctg a + pi n le x frac12) .

Решение: Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть (y=cosx и y=frac12) . Выделим промежутки, на которых график функции косинус (y=cosx) расположен выше графика прямой (y=frac12) .

Найдем абсциссы точек (x_1 и x_2) – точек пересечения графиков функций (y=cosx и y=frac12) , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство: (x_1=-arccosfrac12=-frac3; x_2=arccosfrac12=frac3) .

Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом (2pi) , ответом будут значения x из промежутков ((-frac3+2pi k;frac3+2pi k), kin Z) .

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую (x=frac12) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим (P_ и P_) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше (frac12) . Найдем значение (x_1 и x_2) , совершая обход против часовой стрелки так, чтобы (x_1 :

Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы ((-frac3+2pi k;frac3+2pi k), kin Z) .

Тригонометрические неравенства и их решения

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Решение тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида: ( sin x a ), ( cos x > a ), ( operatorname x > a ), ( operatorname x > a ), ( sin x leq a ), ( cos x leq a ), ( operatorname x leq a ), ( operatorname x leq a ), ( sin x geq a ), ( cos geq a ), ( operatorname x geq a ), ( operatorname x geq a )

Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.

По определению, синусом угла ( alpha ) есть ординатой точки ( P_(x, y) ) единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.

Примеры решения тригонометрических неравенств

Решить неравенство ( sin x leq frac> <2>)

Синус – функция ограниченная: ( |sin x| leq 1 ) , а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.

Ответ: решений нет.

Решить неравенство ( cos x>frac<1> <2>)

Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть ( y=cos x ) и ( y=frac<1> <2>) . Выделим промежутки, на которых график функции косинус ( y=cos x ) расположен выше графика прямой ( y=frac<1> <2>) (рис. 4).

Найдем абсциссы точек ( boldsymbol_ <1>) и ( x_ <2>) – точек пересечения графиков функций ( y=cos x ) и ( y=frac<1> <2>) , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство. ( x_<1>=-arccos frac<1><2>=-frac <3>); ( x_<1>=arccos frac<1><2>=frac <3>)

Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом ( 2 pi ) , ответом будет значения ( x ) из промежутков ( left(-frac<3>+2 pi k ; frac<3>+2 pi kright) ), ( k in Z )

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую ( x=frac<1> <2>) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим ( P_> ) и ( P_> ) (рис. 5) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше ( frac<1> <2>) . Найдем значение ( x_ <1>) и ( 2 ) , совершая обход против часовой стрелки так, чтобы ( x_

Источники:

http://math24.biz/inequality

http://itest.kz/ru/ent/matematika/10-klass/lecture/trigonometricheskie-neravenstva-i-metody-ih-resheniya

http://sciterm.ru/spravochnik/trigonometricheskie-neravenstva-i-ih-resheniya/