Нахождение уравнения касательной к графику функции. Калькулятор онлайн

Угловой коэффициент касательной и ее уравнение

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной: (f'(x_0)=tgvarphi=k) .

Это и есть геометрический смысл производной.

Касательная прямая – прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Уравнение касательной к графику функции (y = f(x)) в точке (x_0) : (y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)) , или (y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)) .

Из геометрии известно, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно −1. Поэтому, зная уравнение касательной, можно сразу записать уравнение нормали в виде: (y – = – frac<1><> right)>>left( > right)) .

Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции (y = f(x)) :

1. Вычислить (f(x_0)) .
2. Вычислить производные (f ′(x) и f ′(x_0)) .
3. Внести найденные числа (x_0, f(x_0), f ′(x_0) ) в уравнение касательной и решить его.

Пример. Найдите уравнение касательной к графику функции (f(x) = x^3 – 2x^2 + 1) в точке с абсциссой 2.

1) Точка касания (x_0=2) . Вычислим (f(x_0)) : (f(x_0) = f(2) = 2^3 – 2 cdot 2^2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1) .

2) Находим (f ′(x)) . Для этого применяем формулы дифференцирования: (f ′(x) = 3x^2 – 2 cdot 2x = 3x^2 – 4x) .

Теперь, используя полученное значение (f ′(x)) , вычислим (f ′(x_0)) : (f ′(x_0) = f ′(2) = 3 cdot2^2 – 4 cdot 2 = 12 – 8 = 4) .

3) Итак, у нас есть все необходимые данные: (x_0 = 2, f(x_0) = 1, f ′(x_0) = 4) . Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

(y= f(x_0) + f ′(x_0) (x – x_0) = 1 + 4 cdot(x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7) .

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции (y=cos3x) в точке с абсциссой (x_0=frac6) .

Найдите уравнение касательной к графику функции (y = xsqrt ) в точке (x_0=2) .

Найдите уравнение касательной к графику функции (f(x)=ln(2x+4)) в точке (x_0=-frac12) .

Найдите уравнение касательной к графику функции (f(x)=e^<2x+1>) в точке, в которой угловой коэффициент касательной равен 2.

Найдите угол между касательными к графику функции (f(x)=x^2+3x-1) в точках с абсциссами (x=-1 и x=1) .

Составьте уравнение касательной к графику функции (y=2x^2-1) ; (x_0=0) . В ответе запишите все уравнения прямых, которые параллельны найденной касательной.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у(х) = 3cos2x в точке x (_0) = (fracpi3) .

Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции у(х) = (frac38) ctg2x в точке x (_0=fracpi6) ?

Найдите угол между касательной к графику функции y(x) = sin2x + cos2x в точке (0; 0) и осью OX.

Уравнение касательной к графику функции. Исчерпывающий гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Геометрический смысл производной

Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему «Производная». Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции при приращении аргумента, равном . Справился? Должно получиться . А теперь найди производную функции в точке . Ответ: . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше. Рассмотрим график какой-то функции :

Выберем на линии графика некую точку . Пусть ее абсцисса , тогда ордината равна . Затем выберем близкую к точке точку с абсциссой ; ее ордината – это :

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси как . Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Какие значения может принимать угол ? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – , а минимально возможный – . Значит, . Угол не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с , а логичнее выбирать меньший угол. Возьмем на рисунке такую точку , чтобы прямая была параллельна оси абсцисс, а – ординат:

По рисунку видно, что , а . Тогда отношение приращений:

(так как , то – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать . Тогда точка будет приближаться к точке . Когда станет бесконечно малым , отношение станет равно производной функции в точке . Что же при этом станет с секущей? Точка будет бесконечно близка к точке , так что их можно будет считать одной и той же точкой. Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки , но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси назовем . Тогда получится, что производная

то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент ? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент. Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ! То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: Теперь углы и тупые. А приращение функции – отрицательное. Снова рассмотрим : . С другой стороны, . Получаем: , то есть все, как и в прошлый раз. Снова устремим точку к точке , и секущая примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке . Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной. Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси – это . Найдем тангенс этого угла: . Таким образом, производная функции в точке равна .
Ответ: . Теперь попробуй сам:

1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Ответы:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Достроим треугольник со стороной , лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике. Он тупой 90<>^circ right)”> , поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла). Применим знания из тригонометрии. Интересующий нас угол является смежным с . А значит: Найдем : . Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен .
Ответ: .

Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс:
А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

Уравнение касательной

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например, . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке . Например, в точке . Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты и в уравнении

Но ведь мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

В нашем примере будет так:

Теперь остается найти . Это проще простого: ведь – значение при . Графически – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь во всех точках оси ):

Проведём (так, что – прямоугольный). Тогда (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны и ? По рисунку явно видно, что , а . Тогда получаем:

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке .

Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции в точке .
Решение:
На этом примере выработаем простой алгоритм действий в подобных задачах:

4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

Видеоурок: Уравнение касательной к графику функции

Лекция: Уравнение касательной к графику функции

Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х; f (х)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.

Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.

Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.

Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.

Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х.

Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:

Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.

Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.

Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х 3 в точке х = 3.

1. Находим производную данной функции:
y’ = 3x 2 .

2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому
y'(3) = 3* 3 2 = 27.

3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x):
f(3) = 3 3 = 27.

Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y’ = f(x).

4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:
у = 27 * (х – 3) + 27.

Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:
у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х – 54.

То есть уравнение касательной:
у = 27х – 54.

Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.

Источники:

http://itest.kz/ru/ent/matematika/10-klass/lecture/uglovoj-koefficient-kasatelnoj-i-ee-uravnenie

http://youclever.org/book/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funktsii-1

http://cknow.ru/knowbase/701-413-uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funkcii.html