Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019)

В каком случае степени умножаются. Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019)

Жаропонижающие средства для детей назначаются педиатром. Но бывают ситуации неотложной помощи при лихорадке, когда ребенку нужно дать лекарство немедленно. Тогда родители берут на себя ответственность и применяют жаропонижающие препараты. Что разрешено давать детям грудного возраста? Чем можно сбить температуру у детей постарше? Какие лекарства самые безопасные?

В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

Представим это произведение в полном виде:

Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие — что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

(а) х / (а) у = (а) х — у

Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

(а) х / (а) х = (а) (х — х) = (а) 0

С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

Вне зависимости от значения а.

Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

Решим упражнение. Найдем значение выражения:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Ответ: выражение равно единице.

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32_8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:

a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

Читать еще:  Солим резаные огурцы на зиму. Маринованные огурцы резанные

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m Распечатать

Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019)

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Чтобы узнать все о степенях, о том для чего они нужны, как использовать свои знания в повседневной жизни читай эту статью.

И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ОГЭ или ЕГЭ и к поступлению в ВУЗ твоей мечты.

Let»s go. (Поехали!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Возведение в степень — это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно — 16 бутылок.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения . Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно —возведение числа в степень .

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени — это. И решают такие задачки в уме — быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат — это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат — это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа. По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска — это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .

Читать еще:  Что такое экспонента для чайников. Что такое экспонента

Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки — можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4

У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты — умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени — миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5

У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год — умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Термины и понятия. чтобы не запутаться

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто — это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще — это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:

Степень числа с натуральным показателем

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени — это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко — это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

  1. Любое число в первой степени равно самому себе:
  2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
  3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:

Определение. Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.

Свойства степеней

Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.

Но по определению это степень числа с показателем, то есть: , что и требовалось доказать.

Пример : Упростите выражение.

Пример: Упростите выражение.

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что.

2. то и есть -ая степень числа

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа:

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать?

Но это неверно, ведь.

Степень с отрицательным основанием

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.

Но каким должно быть основание?

В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом . И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже.

Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число? А? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на, получится.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019)

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Читать еще:  Счастливые числа для овна. Счастливые числа знака зодиака овен

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 3 в степень — 2 .

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) — 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 — 2 3 .

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь — 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n

Возвести в степень

Возведений в степень: 24601

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n -ой степенью числа a , если p равно числу a , умноженному само на себя n раз: p = a n = a·. ·a
n — называется показателем степени , а число a — основанием степени .

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1 . Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3 4
Решение : как было сказано выше, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 .
Ответ : 3 4 = 81 .

Пример 2 . Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5 5
Решение : аналогично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125 .
Ответ : 5 5 = 3125 .

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1 . Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2 -4

Решение : как было сказано выше, 2 -4 = = = 0.0625 .

Источники:

http://www.flowerrs.ru/v-kakom-sluchae-stepeni-umnozhayutsya-stepen-i-ee-svoistva-ischerpyvayushchii-gid-2019/

http://blademine.ru/konservativnoe/stepen-i-ee-svoistva-ischerpyvayushchii-gid-2019.html

http://peskiadmin.ru/stepen-i-ee-svoistva-ischerpyvayushchii-gid-2019-vozvedenie-v.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector