Основные формулы комбинаторики перестановки. Формулы комбинаторики

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Читать еще:  Что значит если во сне украли ребенка. Похищение детей

Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика (комбинаторный анализ) — раздел дискретной математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Например, сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, состоящей из 36 карт, или сколькими способами можно составить очередь, состоящей из10 человек и т.д. Каждое правило в комбинаторике определяет способ построения некоторой конструкции, составленной из элементов исходного множества и называемой комбинацией. Основная цель комбинаторики состоит в подсчете количества комбинаций, которые можно составить из элементов исходного множества в соответствии с заданным правилом. Простейшими примерами комбинаторных конструкций являются перестановки, размещения и сочетания.

Рождение комбинаторики связано с работами Б. Паскаля и П. Ферма по поводу азартных игр, большой вклад внесли Лейбниц, Бернулли, Эйлер. В настоящее время интерес к комбинаторике связан с развитием компьютеров. Нас в комбинаторике будет интересовать возможность определения количественно различных подмножеств конечных множеств для вычисления вероятности классическим способом.

Для определения мощности множества, которое соответствует тому или иному событию, полезно разобраться с двумя правилами комбинаторики: правило произведения и правило суммы (иногда их называют принципами умножения и сложения соответственно).

Правило nроизведения: пусть из некоторого конечного множества

1-й объект можно выбрать k1 способами,

Тогда произвольный набор, перечисленных n объектов из данного множества можно выбрать k1, k2, …, kn способами.

Пример 1. Сколько существует трехзначных чисел с разными цифрами?

Решение. В десятичной системе исчисления десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. На первом месте может стоять любая из девяти цифр (кроме нуля). На втором месте — любая из оставшихся 9 цифр, кроме выбранной. На последнем месте любая из оставшихся 8 цифр.

По правилу произведения 9·9·8 = 648 трёхзначных чисел имеют разные цифры.

Пример 2. Из пункта в пункт ведут 3 дороги, а из пункта в пункт – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из в через ?

Решение. В пункте есть 3 способа выбора дороги в пункт , а в пункте есть 4 способа попасть в пункт . Согласно принципу умножения, существует 3×4 = 12 способов попасть из пункта в пункт .

Правило суммы: при выполнении условий (1.1), любой из объектов можно выбрать k1+k2+…+kn способами.

Пример 3. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша.

Решение. Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5+7+3 = 15 способами.

Пример 4. Пусть из города в город можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города в город ?

Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3 = 6 способов.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.

Пример 5. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколькими способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?

Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способами.

Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3×2 = 6 способами.

Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.

Пример 6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин. После чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.

Пример 7. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая:

а) все письма рассылаются по разным адресам;

б) все письма посылаются по одному адресу;

в) только два письма посылаются по одному адресу.

Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1 = 6×5×4 = 120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2 = 6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами, и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=3×6×5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

Читать еще:  В чем измеряется фаза колебаний. Что значит "фаза колебаний"

способами.

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу k элементов из n. При этом элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

1. Схема выбора без возвращений

Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n — элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.

Число размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

(1.2)

Пример 8. В соревнованиях участвует 10 человек, трое из них займут 1, 2, 3 место. Сколько существует различных вариантов?

Решение. В этом случае важен порядок распределения мест. Число различных вариантов равно

.

Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначают Pn и вычисляют по формуле

(1.3)

Пример 9. Сколько существует способов расстановки 10 книг на полке?

Решение. Общее число способов расстановки определяется как число перестановок (1.3) из 10 элементов и равно Р10 = 10! = 3628 800.

Сочетанием из n элементов по k называется любой набор из k элементов, принадлежащих n — элементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

(1.4)

Пример 10. Сколько существует способов выбора трех человек из десяти.

Решение. В данном случае при выборе для нас важен только состав наборов по три человека, порядок выбора роли не играет, поэтому, в отличие от предыдущего примера, число способов выбора подсчитаем по формуле сочетаний (1.4)

.

2. Схема выбора с возвращениями

Если при выборе k элементов из n, элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с nовторениями.

Число размещений с повторениями:

(1.5)

Пример 11. В гостинице 10 комнат, каждая из которых может разместить четырех человек. Сколько существует вариантов размещения, прибывших четырех гостей?

Решение. Каждый следующий гость из 4 может быть помещён в любую из 10 комнат, так как рассматривается идеализированный опыт, поэтому общее число размещений, по формуле размещений с повторениями (1.5), равно

.

Если при выборе k элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с nовторениями. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k определяется:

(1.6)

Пример 12. В магазине продается 10 видов тортов. Очередной покупатель выбил чек на три торта. Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных заказов.

Решение. Число равновозможных заказов по формуле (1.6) равно

.

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Основные формулы комбинаторики перестановки. Формулы комбинаторики

1. Элементы комбинаторики.

2. Общие правила комбинаторики.

3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.

4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

1. Комбинаторика и ее возникновение.

Комбинаторика— это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.

Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.

2. Общие правила комбинаторики.

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран m способами, а объект В- k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m + k способами.

1. Допустим, что в ящике находится n разноцветных шаров. Произвольным образом вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Распределим эти n шариков по двум ящикам: в первый- m шариков, во второй- k шариков. Произвольным образом из произвольно выбранного ящика вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из первого ящика шарик можно вынуть m способами, из второго- k способами. Тогда всего способов m+k=n .

Читать еще:  Простыми словами о преобразовании фурье. Описание Image Processing Toolbox

В морском семафоре каждой букве алфавита соответствует определенное положение относительно тела сигнальщика двух флажков. Сколько таких сигналов может быть?

Решение: Общее число складывается из положений, когда оба флажка расположены по разные стороны от тела сигнальщика и положений, когда они расположены по одну сторону от тела сигнальщика. При подсчете числа возможных положений применяется правило суммы.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать m *k способами.

1. Сколько двузначных чисел существует?

Решение: Число десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9. Число единиц может быть обозначено любой цифрой от 0 до 9. Если число десятков равно 1, то число единиц может быть любым (от 0 до 9). Таким образом, существует 10 двузначных чисел, с числом десятков- 1. Аналогично рассуждаем и для любого другого числа десятков. Тогда можно посчитать, что существует 9 *10 = 90 двузначных чисел.

2. Имеется 2 ящика. В одном лежит m разноцветных кубиков, а в другом- k разноцветных шариков. Сколькими способами можно выбрать пару «Кубик-шарик»?

Решение: Выбор шарика не зависит от выбора кубика, и наоборот. Поэтому, число способов, которыми можно выбрать данную пару равно m *k .

3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.

Генеральная совокупность без повторений— это набор некоторого конечного числа различных элементов a1 , a2, a3, . an.

Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.

Выборкой объема k ( k n ) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.

Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n .

Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

число размещений из n по k .

Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n -1 способом и т.д.

Преобразовав данную формулу, имеем:

Следует помнить, что 0!=1.

1. В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?

Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.

2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n , т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?

Решение: Имеем перестановки из 5 элементов.

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.

число сочетаний из n по k

Элементы каждого из сочетаний можно расставить способами. Тогда

1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.

4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

В случае, когда число возможных выборов на каждом шагу зависит от того, какие элементы были выбраны ранее, можно изобразить процесс составления комбинаций в виде «дерева». Сначала из одной точки проводят столько отрезков, сколько различных выборов можно сделать на первом шагу. Из конца каждого отрезка проводят столько отрезков, сколько можно сделать выборов на втором шагу, если на первом шагу был выбран данный элемент и т.д.

При составлении команд космического корабля учитывается вопрос и психологической совместимости участников путешествия. Необходимо составить команду космического корабля из 3 человек: командира, инженера и врача. На место командира есть 4 кандидата: a1, a2, a3, a4 . На место инженера- 3: b1, b2, b3. На место врача- 3: c1, c2, c3 . Проведенная проверка показала, что командир a1 психологически совместим с инженерами b1 и b3 и врачами c 1 и c3 . Командир a2 — с инженерами b1 и b2. и всеми врачами. Командир a3 — с инженерами b1 и b2 и врачами c 1 и c3 . Командир a4-со всеми инженерами и врачом c2. Кроме того, инженер b1 не совместим с врачом c3 , b2— с врачом c1 и b3— с врачом c2. Сколькими способами при этих условиях может быть составлена команда корабля?

Источники:

http://ya-znau.ru/znaniya/zn/80

http://studopedia.ru/7_44268_kombinatorika-osnovnie-formuli-kombinatoriki.html

http://www.sites.google.com/site/teoriaveroyatnosti/teoria/elementy-kombinatoriki

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector