Найти матрицу обратную заданной. Обратная матрица и её свойства
Содержание
- 1 Найти матрицу обратную заданной. Обратная матрица и её свойства
- 1.1 Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.
- 1.2 Метод присоединённой (союзной) матрицы
- 1.3 Обратная матрица.
- 1.4 Метод обратной матрицы.
- 1.5 Решение обратной матрицы.
- 1.6 Нахождение обратной матрицы.
- 1.7 Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы.
Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.
Матрица $A^<-1>$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^<-1>cdot A=Acdot A^<-1>=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.
Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.
Обратная матрица $A^<-1>$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^<-1>$ существует, то она единственная.
Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.
Метод присоединённой (союзной) матрицы
Пусть задана матрица $A_
- Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $Delta Aneq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
- Составить алгебраические дополнения $A_
$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_ ^<*>=left(A_ right)$ из найденных алгебраических дополнений. - Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^<-1>=frac<1>
cdot >^T$.
Матрицу $>^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.
Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.
Найти матрицу, обратную к матрице $A=left( begin
Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.
Ответ: матрицы $A^<-1>$ не существует.
Найти матрицу, обратную к матрице $A=left(begin
Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:
$$ Delta A=left| begin
Так как $Delta A neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^<*>=left( begin
Транспонируем полученную матрицу: $>^T=left( begin
$$ A^<-1>=frac<1><-103>cdot left( begin
Итак, обратная матрица найдена: $A^<-1>=left( begin
Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.
Ответ: $A^<-1>=left( begin
Найти обратную матрицу для матрицы $A=left( begin
Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:
$$ Delta A=left| begin
Так как $Delta Aneq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:
Используя формулу $A^<-1>=frac<1>
$$ A^<-1>=frac<1><26>cdot left( begin
Итак, $A^<-1>=left( begin
Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.
Ответ: $A^<-1>=left( begin
Найти матрицу, обратную матрице $A=left( begin
Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.
Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.
Например, для первой строки получим:
Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:
А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:
Матрица из алгебраических дополнений: $A^*=left(begin
Присоединённая матрица: $^T=left(begin
$$ A^<-1>=frac<1><100>cdot left( begin
Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.
Ответ: $A^<-1>=left( begin
Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.
Обратная матрица.
Обратная матрица — это матрица A −1 , при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E:
Метод обратной матрицы.
Метод обратной матрицы – это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.
Суть метода обратной матрицы.
Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:
Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B,
где – матрица системы,
– столбец неизвестных,
– столбец свободных коэффициентов.
Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A -1 , в результате чего имеем:
A -1 * A * X = A -1 * B
Зная, что A -1 * A = E, тогда E * X = A -1 * B либо X = A -1 * B.
Следующим шагом определяется обратная матрица A -1 и умножается на столбец свободных членов B.
Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0. Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A. Если det A ≠ 0, то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0, то такая система методом обратной матрицы не решается.
Решение обратной матрицы.
Последовательность действий для решения обратной матрицы:
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Получаем определитель матрицы A. Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
- Находим транспонированную матрицу AT.
- Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
- Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.
- Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.
Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C.
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Вычисляем алгебраические дополнения.
- Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C.
- Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
- Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.
Нахождение обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы – это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.
Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.
Пример нахождения обратной матрицы.
Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:
Из 1й строки вычитаем 2ю:
От второй строки отнимаем 2 первых:
1ю и 2ю строки меняем местами:
От 2й строки отнимаем 2 первых:
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке добавляем 2ю:
Итак, слева имеем единичную матрицу, а, значит, матрица, которая стоит справа, будет обратной к заданной изначально.
Т.о., имеем .
Ответ после нахождения обратной матрицы:
Замечание. Если на каком-либо этапе в «левой» матрице образуется нулевая строка, значит, что заданная изначально не имеет обратной.
Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы.
Пусть А — квадратная матрица. Матрица В называется обратной левой матрицей по отношению к матрице А, если
матрица С называется обратной правой по отношению к А, если
.
Убедимся, что если матрицы В и C существуют, то они совпадают между собой. Действительно, это следует из сочетательного свойства произведения:
Таким образом, правые и левые обратные матрицы совпадают с одной и той же матрицей. Ее называют просто обратной матрицей и обозначают А -1 .
Вычислить определитель данной матрицы. Если
, то обратной матрицы не существует
Методы нахождения:
Метод Гаусса—Жордана(метод элементарных преобразований)
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .
С помощью матрицы алгебраических дополнений
— транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Полученная матрица A −1 и будет обратной. Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.
Ранг матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.
Пусть в матрице А размерность m x n выбраны k строк и k столбцов, k
Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:
109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Источники:
http://math1.ru/education/matrix/inverse0.html
http://www.calc.ru/Obratnaya-Matritsa.html
http://studopedia.ru/20_13411_obratnaya-matritsa-metodi-nahozhdeniya-obratnoy-matritsi.html