Найти матрицу обратную заданной. Обратная матрица и её свойства

Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.

Матрица $A^<-1>$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^<-1>cdot A=Acdot A^<-1>=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^<-1>$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^<-1>$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^<-1>$, требуется осуществить три шага:

1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $Delta Aneq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
2. Составить алгебраические дополнения $A_$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_^<*>=left(A_ right)$ из найденных алгебраических дополнений.
3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^<-1>=frac<1>cdot >^T$.

Матрицу $>^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.

Найти матрицу, обратную к матрице $A=left( begin 5 & -4 &1 & 0 \ 12 &-11 &4 & 0 \ -5 & 58 &4 & 0 \ 3 & -1 & -9 & 0 end right)$.

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Ответ: матрицы $A^<-1>$ не существует.

Найти матрицу, обратную к матрице $A=left(begin -5 & 7 \ 9 & 8 endright)$. Выполнить проверку.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ Delta A=left| begin -5 & 7\ 9 & 8 endright|=-5cdot 8-7cdot 9=-103. $$

Так как $Delta A neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^<*>=left( begin 8 & -9\ -7 & -5 endright)$.

Транспонируем полученную матрицу: $>^T=left( begin 8 & -7\ -9 & -5 endright)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^<-1>=frac<1>cdot >^T$, имеем:

$$ A^<-1>=frac<1><-103>cdot left( begin 8 & -7\ -9 & -5 endright) =left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright) $$

Итак, обратная матрица найдена: $A^<-1>=left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^<-1>cdot A=E$ или $Acdot A^<-1>=E$. Проверим выполнение равенства $A^<-1>cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^<-1>$ не в форме $left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright)$, а в виде $-frac<1><103>cdot left( begin 8 & -7\ -9 & -5 endright)$:

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.

Ответ: $A^<-1>=left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright)$.

Найти обратную матрицу для матрицы $A=left( begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2end right)$. Выполнить проверку.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ Delta A=left| begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2end right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $Delta Aneq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

Используя формулу $A^<-1>=frac<1>cdot >^T$, получим:

$$ A^<-1>=frac<1><26>cdot left( begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end right)= left( begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end right) $$

Итак, $A^<-1>=left( begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^<-1>cdot A=E$ или $Acdot A^<-1>=E$. Проверим выполнение равенства $Acdot A^<-1>=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^<-1>$ не в форме $left( begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end right)$, а в виде $frac<1><26>cdot left( begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end right)$:

$$ Acdot> =left( begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4\ 0 & 3 & 2end right)cdot frac<1><26>cdot left( begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end right) =frac<1><26>cdotleft( begin 26 & 0 & 0 \ 0 & 26 & 0 \ 0 & 0 & 26end right) =left( begin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1end right) =E $$

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.

Ответ: $A^<-1>=left( begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end right)$.

Найти матрицу, обратную матрице $A=left( begin 6 & -5 & 8 & 4\ 9 & 7 & 5 & 2 \ 7 & 5 & 3 & 7\ -4 & 8 & -8 & -3 end right)$.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:

Матрица из алгебраических дополнений: $A^*=left(begin 556 & -300 & -536 & -112\ -77 & 50 & 87 & 4 \ -93 & 50 & 83 & 36\ 473 & -250 & -463 & -96endright)$.

Присоединённая матрица: $^T=left(begin 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96endright)$.

$$ A^<-1>=frac<1><100>cdot left( begin 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96 end right)= left( begin 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 end right) $$

Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.

Ответ: $A^<-1>=left( begin 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 end right)$.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.

Обратная матрица.

Обратная матрица — это матрица A −1 , при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E:

Метод обратной матрицы.

Метод обратной матрицы – это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.

Суть метода обратной матрицы.

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A -1 , в результате чего имеем:

A -1 * A * X = A -1 * B

Зная, что A -1 * A = E, тогда E * X = A -1 * B либо X = A -1 * B.

Следующим шагом определяется обратная матрица A -1 и умножается на столбец свободных членов B.

Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0. Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A. Если det A ≠ 0, то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0, то такая система методом обратной матрицы не решается.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы:

1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
2. Получаем определитель матрицы A. Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
3. Находим транспонированную матрицу AT.
4. Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
5. Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.
6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C.

1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
2. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
3. Вычисляем алгебраические дополнения.
4. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C.
5. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Нахождение обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы – это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.

Пример нахождения обратной матрицы.

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:

Из 1й строки вычитаем 2ю:

От второй строки отнимаем 2 первых:

1ю и 2ю строки меняем местами:

От 2й строки отнимаем 2 первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке добавляем 2ю:

Итак, слева имеем единичную матрицу, а, значит, матрица, которая стоит справа, будет обратной к заданной изначально.

Т.о., имеем .

Ответ после нахождения обратной матрицы:

Замечание. Если на каком-либо этапе в «левой» матрице образуется нулевая строка, значит, что заданная изначально не имеет обратной.

Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы.

Пусть А — квадратная матрица. Матрица В называется обратной левой матрицей по отношению к матрице А, если

матрица С называется обратной правой по отношению к А, если

.

Убедимся, что если матрицы В и C существуют, то они совпадают между собой. Действительно, это следует из сочетательного свойства произведения:

Таким образом, правые и левые обратные матрицы совпадают с одной и той же матрицей. Ее называют просто обратной матрицей и обозначают А -1 .

Вычислить определитель данной матрицы. Если , то обратной матрицы не существует

Методы нахождения:

Метод Гаусса—Жордана(метод элементарных преобразований)

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

— транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A −1 и будет обратной. Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Ранг матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.

Пусть в матрице А размерность m x n выбраны k строк и k столбцов, k

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Источники:

http://math1.ru/education/matrix/inverse0.html

http://www.calc.ru/Obratnaya-Matritsa.html

http://studopedia.ru/20_13411_obratnaya-matritsa-metodi-nahozhdeniya-obratnoy-matritsi.html