Боковая грань пирамиды. Геометрические фигуры

Боковая грань пирамиды. Геометрические фигуры

Пирамида — (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник,
основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие
общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные,
четырехугольные и т. д.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой
пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на
плоскость основания.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса .

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основани

Если все боковые ребра равны, то:

  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
  • также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра
    • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

    где — площадь основания и — высота;

    • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

    • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

    • Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

    где — апофема , — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.

    Особые случаи пирамиды

    Правильная пирамида

    Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник , а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

    • боковые ребра правильной пирамиды равны;
    • в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
    • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
    • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания [6] ;
    • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

    Прямоугольная пирамида

    Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

    Усечённая пирамида

    Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

    Пирамида

    Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

    По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

    Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

    Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

    Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

    Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

    Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

    Некоторые свойства пирамиды

    1) Если все боковые ребра равны, то

    около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

    Верно и обратное.

    Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

    Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

    2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    Верно и обратное.

    Виды пирамид

    Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

    Для правильной пирамиды справедливо:

    – боковые ребра правильной пирамиды равны;

    – в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

    – в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

    – около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

    – площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


    Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

    Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

    Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

    Пирамида (геометрия)

    Пирами́да (др.-греч. πυραμίς , род. п. πυραμίδος ) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину [1] . По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса [уточнить] [источник не указан 64 дня]

    Содержание

    История развития геометрии пирамиды

    Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит [2] , а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

    Элементы пирамиды

    • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [3] ;
    • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
    • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
    • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
    • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
    • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
    • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

    Углы пирамиды

    Развёртка пирамиды

    Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

    Свойства пирамиды

    Если все боковые ребра равны, то:

    • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
    • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
    • также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

    Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

    • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
    • высоты боковых граней равны;
    • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

    Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

    Сфера

    • около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). [4] Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
    • в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

    Конус

    • Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); [5]
    • Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
    • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

    Цилиндр

    • Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
    • Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

    Формулы, связанные с пирамидой

    • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

    где — площадь основания и — высота;

    • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

    • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

    • Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

    где — апофема , — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.

    Особые случаи пирамиды

    Правильная пирамида

    Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

    • боковые ребра правильной пирамиды равны;
    • в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
    • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
    • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания [6] ;
    • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

    Прямоугольная пирамида

    Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

    Усечённая пирамида

    Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

    Связанные определения

    Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

    Интересные факты

    • Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

    Примечания

    1. Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. — Просвещение, 2003 г.. — ISBN 5-09-010773-4
    2. Б. Л. ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — КомКнига, 2007 г.. — ISBN 978-5-484-00848-3
    3. Апофема, БСЭ
    4. С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов Изучение геометрии в 10-11-х классах.
    5. А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008 г.. — ISBN 978-5-09-019708-3
    6. «Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. — научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск

    Литература

    • Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е. — Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
    • А. Ю. Калинин, Д. А. Терешин Стереометрия. 11 класс. — Физматкнига, 2005. — ISBN 5-89155-134-9
    • А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008. — ISBN 978-5-09-019708-3

    См. также

    Ссылки

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое «Пирамида (геометрия)» в других словарях:

    Пирамида (значения) — В Викисловаре есть статья «пирамида» Пирамида (геометрия) тип многогранников. Пирамида (архитектура) вид архитектурного сооружения в форме пирамиды. Пирамида (посёлок) русский шахтёрский посёлок на … Википедия

    ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

    МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — геометрия пространств размерности, большей трех; термин применяется к тем пространствам, геометрия к рых была первоначально развита для случая трех измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, прежде всего евклидово пространство,… … Математическая энциклопедия

    Египетская пирамида — Пирамиды в Гизе Пирамида в иероглифах … Википедия

    N-мерная евклидова геометрия — N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным[1], и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений[2], N мерная… … Википедия

    Сакральная геометрия — Религиозные геометрические фигуры Сакральная геометрия (от лат. sacralis священный, обладающий святостью, признаваемый божественным) совок … Википедия

    Конструктивная блочная геометрия — (Constructive Solid Geometry, CSG) технология, используемая в моделировании твёрдых тел. Конструктивная блочная геометрия зачастую, но не всегда, является способом моделирования в трёхмерной графике и САПР. Она позволяет создать сложную сцену или … Википедия

    Конструктивная сплошная геометрия — Конструктивная блочная геометрия (Constructive Solid Geometry, CSG) технология, используемая в моделировании твёрдых тел. Конструктивная блочная геометрия зачастую, но не всегда, является способом моделирования в трёхмерной графике и САПР. Она… … Википедия

    Призма (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Призма … Википедия

    Объём (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения). Объём это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого… … Википедия

    Источники:

    http://www.sites.google.com/site/azz181818/home/telo-geometriceskoe/piramida

    http://egemaximum.ru/piramida/

    http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/59962

    Читать еще:  Что значит если приснился бог. Приснился Бог — что это значит
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector