Высказывания. логические операции (связки)

Высказывания. логические операции (связки)

Изучить основы алгебры логики.

Задачи лабораторной работы

В результате прохождения занятия студент должен:

    • определения основных понятий (простое и сложное высказывания, логические операции, логические выражения, логическая функция);
    • порядок выполнения логических операций;
    • алгоритм построения таблиц истинности;
    • схемы базовых логических элементов;
    • законы логики и правила преобразования логических выражений;
    • применять загоны логики для упрощения логических выражений;
    • строить таблицы истинности;
    • строить логические схемы сложных выражений.

Общие теоретические сведения

Основные понятия алгебры логики

Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

Пример. предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если. то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками .

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».


НЕ
Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание ¬А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда ¬А=«Сегодня не пасмурно».

И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А • В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Читать еще:  Ехать куда то во сне к чему. Что говорит сонник

Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» — истинно, а высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 больше 10» — ложно.

(или плюсом). Высказывание АВ ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Пример: Высказывание «Число 6 делится на 2 или число 6 больше 10» — истинно, а высказывание «Число 6 делится на 5 или число 6 больше 10» — ложно.

ЕСЛИ … ТО Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «. влечет …», называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

. Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Пример: Высказывание «Число является четным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Число является нечетным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» — ложно.

ЛИБО … ЛИБО Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или . Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.

Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на 3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.

.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическая формула — это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Логическая функция — это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Пример. – логическая функция двух переменных A и B.

Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности .

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.)

Читать еще:  К чему приснились инопланетяне? К чему снится Инопланетяне во сне.

Логическая переменная – это простое высказывание.
Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Например,

Многие люди не любят сырую погоду.

Пусть А = «Многие люди любят сырую погоду». Получаем логическую функцию F(A) = не А.

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Логическая формула (логическое выражение) — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Значение логической функции зависит от значений входящих в нее логических переменных. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

1. Логическое умножение (конъюнкция), от лат. konjunctio – связываю:
• Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И;
• в языках программирования — And.
• Принятые обозначения: / , •, и, and.
• В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств.

Пример:
Рассмотрим составное высказывание «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 10». Выделим простые высказывания:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «3 • 3 = 10» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A / B = 1 / 0 = 0 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание ложное.

2. Логическое сложение (дизъюнкция), от лат. disjunctio – различаю:
• Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ;
• в языках программирования — Or.
• Обозначение: /, +, или, or.
• В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.

Пример:
Рассмотрим составное высказывание «2 • 2 = 4 или 2 • 2 = 5». Выделим простые выска-зывания:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «2 • 2 = 5» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A / B = 1 / 0 = 1 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание истинно.

3. Отрицание (инверсия), от лат. InVersion – переворачиваю:

• Соответствует частице НЕ, словосочетаниям НЕВЕРНО, ЧТО или НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИСТИНОЙ, ЧТО;
• в языках программирования — Not;
• Обозначение: не А, ¬А, not
• В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества.

Высказывания. логические операции (связки)

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

Читать еще:  Максим имя какой национальности. Максим: значение имени и характер владельца

1. Логические выражения и логические операции

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний:

  1. Москва – столица России.
  2. Число 27 является простым.
  3. Волга впадает в Каспийское море.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

Следующие предложения высказываниями не являются:

  • Давай пойдем гулять.
  • 2*x>8.
  • a*x2+b*x+c=0.
  • Который час?

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Примеры высказываний:

  1. Сегодня светит солнце.
  2. Трава растет.

Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта (в пермом предложении — погоды, во втором — окружающего мира). Каждое из этих высказываний несет значение «истина» или «ложь».

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно.

Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложныелогическими функциями. Значения логической функции также только или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и , если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:

Источники:

http://www.sites.google.com/a/ssga.ru/ssga4school/informatika/practics/lab-2

http://mir-logiki.ru/algebra_visk/

http://ifn.kemsu.ru/edu_materials_ict/uch-mathematics/papers/posobie/r3-1.htm

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector