Предел икс стремится к бесконечности. Калькулятор онлайн.Решение пределов

Решение пределов

Наш калькулятор решает пределы без подробного решения. Нужен ответ – воспользуйся калькулятором! Вы получите ответ за секунду!

Что такое предел?

Предел функции (предельное значение функции) в предельной для области определения функции заданной точке — это величина, к которой стремится значение функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Если предел функции существует, говорят, что функция сходится к указанному значению. Если такого предела не существует – функция расходится.

Другими словами, если некоторая переменная величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной функции в некотором интервале f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Определение предела функции часто формулируют на языке окрестностей. Предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения. Можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция. При этом сами концы интервала в область определения не входят.

На расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удаленной точки. Поэтому допустимо описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также ситуации, когда сама функция стремится к бесконечности в заданной точке. Предел последовательности при этом предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции в данной точке означает, что для любого заранее заданного значения области значений имеется такая окрестность этого значения, при которой в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел, равный значению функции в данной точке, такая функция является непрерывной в данной точке.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Решение пределов.

Решение пределов – это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

1.Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.

2.Если х стремится не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть ∞. Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо ∞ – бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля – бесконечно малое – например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.

3.Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо ∞. Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Если вышеприведенные пункты правил решения пределов вам не совсем понятны, то приведем те же правила, но перефразировав. Итак, алгоритм решения пределов:

1. Подставить в выражение предельное значение аргумента.
2. Определить наличие неопределенности. Если неопределенности нет, записываем ответ.
3. При наличии неопределенности необходимо, исходя из ее вида, выбрать соответствующее правило ее устранения.
4. Провести манипуляции с выражением в соответствии с применяемым правилом, и новую форму предела начать решать по этому алгоритму, начиная с п.1.

Сложение пределов.

Сложение пределов – это процесс увеличения значения предела функции, путем добавления к нему другого предела. Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:

Расширенное правило суммы пределов:

Также важно знать, что предел суммы множества функций также равняется сумме пределов этих функций.

Пример сложения пределов функции:

Необходимо найти предел .

Для решения этого предела воспользуемся свойством сложения пределов функции, разложив функцию на несколько отдельных и найдем предел каждой функции последовательно.

Ответ: .

Вычитание пределов.

Вычитаение пределов – это процесс уменьшиеня значения предела функции, путем вычитания из него другого предела, равного первому или отличному от него по величине. Предел разности двух функций равен разности их пределов:

Это свойство (касаемо суммы пределов тоже) будет действовать на случай любого фиксированнго количества слагаемых.

Расширенное правило разности пределов:

Как и в случае с суммой нескольких функций – предел суммы нескольких функций равен разности пределов каждой из функций.

Сумма и разность пределов очень связаны друг с другом и обычно их формулы объединяются в одну, используя знак ± или подобные записи формул:

Как решать пределы с бесконечностью

Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:

Первым делом подставляем $ xto infty $ в предел, чтобы попытаться его вычислить.
$$ lim _limits frac = frac = $$

Вычисление не дало результата, так как появилась неопределенность. Чтобы устранить её, вынесем за скобки в числителе и знаменателе $x$ с наибольшей степенью.

Максимальная степень у $x^3$, поэтому вынесли именно её, а затем выполнили сокращение. Пользуясь тем, что $lim_limits frac<1> = 0$ получаем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Так как предел стремится к бесконечности, то подставляем её в функцию под знаком предела.

Получили неопределенность. Для избавления от неё умножим и разделим функцию под знаком предела на сопряженную к ней. Она будет отличаться только одним знаком.

По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ сворачиваем числитель. А знаменатель пока не трогаем.

Снова подставляем бесконечность в предел и получаем $frac<1>$, что равняется нулю. Поэтому записываем сразу ответ.

При подставлении $x to infty $ в предел получаем неопределенность. $$ lim_limits bigg (frac<3x-4> <3x+2>bigg)^frac <2>= bigg[fracbigg]^ <[infty]>$$

Для решения примера понадобится формула второго замечательного предела. $$lim_limits bigg(1+frac<1> bigg)^x = e qquad (1) $$

Из выражения, стоящего под знаком предела вычитаем единицу, чтобы его подстроить под формулу (1).

Перепишем предел из условия задачи в новом виде и подставим в него $xto infty$.

Пользуясь формулой (1) проведем вычисление лимита. В скобках перевернем дробь.

По условиями формулы второго замечательного предела (1) в скобках знаменатель дроби должен быть равен степени за скобкой. Выполним преобразование степени. Для этого умножим и разделим на $frac<3x+2><-6>$.

Остаётся сократить степень экспоненты и найти её предел.

Предел дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $x$.

Источники:

http://www.pocketteacher.ru/calculator-predelov-ru

http://www.calc.ru/Resheniye-Predelov.html

http://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/predely-s-beskonechnostyu.html