Математическая формула. Математика, которая мне нравится

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Иоганн Георг Зейфус

Георг Зейфус родился в 1832 году в семье регистратора судебной палаты Иоганна Хайнриха Зейфуса и Сюзанны Магдалины Ноак. Он учился в Höhere Gewerbeschule Darmstadt, Высшей торговой школе Дармштадта, основанной в 1836 году. Гюнтер Керн в книге Die Entwicklung des Faches Mathematik an der Universität Heidelberg 1835-1914 (Universitätsbibliothek, Heidelberg, 1992) пишет:

«Как признает сам Зейфус, в юности он проявлял больше интереса к языкам и истории, чем к математике. В пятнадцать лет он поступил в Политехникум в Дармштадте, где, вдохновленный своим учителем Штрекером, посвятил себя изучению математики, механики, физики и химии, но продолжал посещать занятия по латыни, французскому языку, а также истории Германии и литературе».

Политехникум, который Керн упоминает в этой цитате, на самом деле является Высшей торговой школой Дармштадта, переименованной в Политехническую школу в 1868 году, спустя много лет после того, как Зейфус ее окончил. В торговой школе Зейфус изучал математику, техническое рисование, физику и химию. Он получил там также практические инженерные навыки. Из его учителей стоит отметить Эдмунда Кюльпа (1800-1862) ̶ учившегося у Адольфа Кетле в Брюсселе. Кюльп учился в Гейдельбергском университете и получил докторскую степень в университете Гисена в 1824 году. В первые годы обучения в школе химию Зейфусу преподавал Адольф Штрекер (1822-1871), но Штрекер ушел в 1846 году в Университет Гисена. Другим учителем Зейфуса был Людвиг Кристиан Винер, назначенный в школу в 1848 году и преподававший физику, механику, гидравлику и описательную геометрию. Зейфус окончил Высшую торговую школу в 1850 году «summa cum laude» (с максимальным возможным баллом) и начал изучать математику в университете Юстуса Либига в Гисене.

В Гисене основным его интересом был анализ конечных разностей. Полученные результаты он обобщил в двух своих статьях, написанных в 1856 и 1858 годах. Читать полностью ‘Иоганн Георг Зейфус’ »

О вычислении арифметических корней

Посвящаю
Виктору Ивановичу Поленякину,
Георгию Иосифовичу Кирьянову

В процессе решения практических расчётных задач довольно часто возникает необходимость вычисления корней разной степени. Обычно при программировании на ЭВМ для этой цели используются стандартные библиотечные функции вычисления логарифма и экспоненты или итерационные методы. Аналитические методы последовательных приближений, часто применяемые при вычислении арифметических корней, имеют универсальный характер, однако обладают некоторыми недостатками, одним из которых является зависимость времени вычисления от величины аргумента и от выбора первого приближения. Значительно лучшие характеристики при вычислении, например, квадратного корня, показывает метод, описанный в статье “Оригинальный метод извлечения квадратного корня” (www.hijos.ru/2012/04/25/), который можно отнести к группе методов “цифра за цифрой”. Особенность этого метода, основанного на свойстве суммы членов арифметической прогрессии нечётных чисел, заключается в получении на каждом циклически повторяющемся шаге одной верной цифры результата.

В ходе анализа данного метода возникла идея распространить его концепцию на процесс вычисления корней -й степени, а также провести численное исследование получаемых алгоритмов. Основанием для такого подхода является то обстоятельство, что последовательность нечётных чисел, используемая для вычисления квадратного корня — это не только арифметическая прогрессия с шагом , но, — главное в этой идее, — также ряд первых конечных разностей (далее — конечные разности) для квадратичной функции с единичным шагом изменения аргумента.

Упомянем коротко метод “цифра за цифрой”, применяемый для “ручного” вычисления квадратного корня, заключающийся в том, что из подкоренного числа, разбитого на пары, в определённом порядке последовательно вычитается выражение (здесь — целое число, составленное из уже найденных цифр корня, — искомая следующая цифра корня, определяемая подбором), при условии, чтобы значение этого выражения не превышало текущее уменьшаемое. Детально этот способ описан в учебной и справочной литературе, сейчас он имеет лишь историческое значение. Читать полностью ‘О вычислении арифметических корней’ »

Одаренная (2017)

«Вы забыли про отрицательные значения показательной степени.»
(Мэри)

Людям часто бывает интересно, как совмещается увлечение чем-либо (наукой, спортом или чем-то еще, что требует больших затрат времени и сил) с реальной человеческой жизнью. И этот фильм о том же.

Маленькая девочка Мэри очень любит математику. Любит до такой степени, что часто ради чтения интересной математической книги, расчетов на компьютере готова пожертвовать обычными для детей ее возраста и любимыми ими занятиями: прогулкой, играми. Мэри всего семь лет, но она чрезвычайно одарена, и ее знания превосходят не только норму для детей ее возраста, но и то, что изучили окружающие ее взрослые, подавляющее большинство из них.

Читать еще:  Уроки изучения арабского языка. Арабский язык для начинающих

Так получилось, что воспитывает Мэри ее дядя Фрэнк, который беспокоится о том, чтобы Мэри выросла доброй, отзывчивой, чтобы она любила людей. Он не хочет, чтобы занятия математикой отняли у девочки детство и обычные человеческие переживания (такой пример он уже видел). Фрэнк увез девочку в небольшой городок, где занимается починкой лодочных моторов. Не самое обычное занятие для бывшего профессора, оставившего преподавание и комфортную городскую жизнь ради племянницы… У Фрэнка и Мэри очень теплые, добрые отношения. И Мэри в самом деле очень по-доброму относится к окружающим ее людям и животным. Читать полностью ‘Одаренная (2017)’ »

Лемма Бёрнсайда и задача об ожерельях

Недавно натолкнулась на интересную комбинаторную задачу, которая, как выяснилось, имеет отношение к разным проблемам в разных разделах математики, причем не только математики.

Задача. Сколько существует различных ожерелий, составленных из красных и синих бусин? (Считается, что два ожерелья одинаковы, если одно можно получить из другого поворотом.)

Эта задача решается с помощью леммы Бернсайда, которая позволяет получить и множество других интересных результатов.

Сначала немного истории. Уильям Бернсайд (1852–1927) привел доказательство этой леммы в своей книге в 1897 г. Однако выяснилось, что данную формулу знали еще Коши (1845 г.) и Фробениус (1887 г.). Видимо, лемма была настолько хорошо известна, что Бернсайд не указал авторство Коши. Данный результат имеет несколько названий (кроме уже приведенного): лемма Коши — Фробениуса, лемма не Бернсайда (в области теории групп очень многие результаты принадлежат именно Бернсайду).

Для формулировки леммы понадобятся некоторые сведения. Поскольку нас интересует задача об ожерельях, на ее примере и будем все рассматривать.

Обозначим через множество всех ожерелий. Пусть — множество всех различных поворотов ожерелий (ясно, что разных поворотов всего ). Очевидно, что — группа. При этом каждому ожерелью из можно сопоставить ожерелье, полученное из него с помощью поворота . При этом два ожерелья считаются одинаковыми, или эквивалентными, если одно можно перевести в другое каким-либо поворотом из . Таким образом, все ожерелья разбиваются на классы эквивалентности, или орбиты. Наша задача — найти число различных орбит. Читать полностью ‘Лемма Бёрнсайда и задача об ожерельях’ »

Таинственное число 6174

Никто не может раскрыть тайну

Число — в самом деле загадочное число. Это не бросается в глаза. Но как мы сейчас увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну числа .

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Деолали, Индия, разработал процесс, известный теперь как операция Капрекара. Сначала выберем четырехзначное число, состоящее хотя бы из двух различных цифр. Затем переставим его цифры, чтобы получить самое большое и самое маленькое из возможных чисел, образованных цифрами этого числа. Наконец, вычтем самое маленькое число из самого большого, получим новое число, для которого снова повторим операцию.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к неожиданному результату. Давайте попробуем делать ее, начиная с числа . Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, равно , минимальное — или (если одна или несколько цифр равны нулю, поместим нули слева для минимального числа). Читать полностью ‘Таинственное число 6174’ »

Числа Лишрел

«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека» (Леопольд Кронекер)

Возьмем число. Переставим его цифры в обратном порядке, получим еще одно число. Теперь сложим эти два числа. Является ли сумма палиндромом (числом, читающимся с конца так же, как с начала)? Если нет, переставим цифры суммы и повторим процесс. Будем продолжать операции перестановки цифр и сложения до тех пор, пока не получим палиндром. Большинство чисел становятся палиндромами очень быстро, за несколько итераций. Возьмем, например, число ; требуется всего две итерации.

7 причин полюбить математику

Знание математики непременно пригодится в жизни — и речь не о решении тригонометрических уравнений.

Учитель математики и экономики ГОБУ «Физтех-лицей» им П. Л. Капицы, специалист по педагогике и психологии одарённых детей.

Нередко девятиклассники спрашивают меня на уроках: «А зачем нам тригонометрия?» А в классе десятом-одиннадцатом возникает вопрос: «А зачем нам интегралы и производная? И метод координат в геометрии?»

Все трудные темы вызывают подобные вопросы. «Скорее всего, нам это в жизни не пригодится», — говорят мои ученики. И если проанализировать статистику выпускников, они правы. Лишь небольшая часть из них будет использовать что-либо из вышеперечисленного. И ещё меньше — применять на будущей работе все математические знания из школьной программы.

Давайте разберёмся, в чём смысл предмета и почему вообще стоит полюбить математику.

Причина 1. Однозначность

Как на развитие государства повлияли реформы Петра I? Спорная тема. Почему Тарас Бульба убил своего сына? Написано множество статей с различными толкованиями. Может ли правовое государство прослушивать собственных граждан? Вопрос неоднозначный.

И наконец: 3х + 4х = 7х. Всегда. Вчера, 50 лет назад, в Африке, в кризис, в ненастную погоду.

Причина 2. Развитие мышления

Ребёнок научился считать, и если он будет заниматься только вычислениями, то рано или поздно он остановится в развитии. Да, можно считать устно, используя сложные алгоритмы в уме, но развиваться будет только скорость мышления, а не глубина.

Читать еще:  Чихнуть в четверг к чему это. Чихалка четверг

Далее следует знакомство с переменными, геометрией, тригонометрией, стереометрией, логарифмами и производной с первообразной. И каждая следующая, более сложная тема ведёт к тому, что у обучающегося развиваются интеллектуальные способности: навыки анализа и обобщения, абстрактное мышление и способность мыслить концепциями.

Причина 3. Возможность размышлять об абстрактном

Мы знаем, что один утконос плюс два утконоса будет три утконоса. Хотя мало кто, решая эту задачу, видел утконоса вживую. Именно математика учит нас размышлять о том, чего у нас нет в реальности, проектировать. Мы используем входящую информацию настоящего времени, чтобы планировать долгосрочное или краткосрочное будущее. И качество подобного планирования сильно зависит от наших математических способностей.

Причина 4. Принятие сложных решений

Если у нас только n рублей, а на отпуск надо n + 20 000 рублей, то мы выбираем вариант подешевле, так как математика научила нас сравнивать. И как бы нам ни хотелось отправиться в отпуск мечты, суровая математическая реальность нам говорит, что не получится.

Вот классическая задача для пятого-шестого класса. В городе А живут 100 детей, в городе В — 300 детей. Расстояние между городами — 10 км. В какой точке нужно построить школу, чтобы дети совокупно преодолевали как можно меньшее расстояние? Ответ — в конце статьи.

Причина 5. Да, это практически применимо

Влияние математики на успешную деятельность программистов, учёных и инженеров самоочевидно.

Много раз я встречал инженеров, которые используют тригонометрию при проектировании. Успешные офисные работники обладают конкурентным преимуществом, умея оптимизировать свою деятельность.

Причина 6. Мы учимся алгоритмам

Мы не задумываемся, когда повторяем бытовые алгоритмы. Мы не думаем, как дышать, как шнуровать обувь, мы не планируем тысячный по счёту путь на работу. Да, большинством из этих навыков мы овладели задолго до того, как пошли в школу.

Но если речь идёт об алгоритмах высокого уровня, то здесь нам помогает математика. Сделать правильный раствор вещества, провести операцию (хирург принимает решения на основе входящей информации, и двух одинаковых пациентов будет лечить одинаково), принять логистические решения и прочее.

Также математика говорит нам, что глупо совершать одинаковые действия и надеяться на разный результат. Ваш коллега заваривает кофе по привычному алгоритму, а кофеварка не работает. Он повторяет такое же действие ещё раз, ещё — а кофе всё нет. Проанализируйте его математический уровень.

Причина 7. Генерировать и распознавать ложь

Она может быть разных видов.

Шуточная ложь: «Пожалуй, эта лучшая статья про математику от учителя математики на Лайфхакере за 2018 год». Подобным сужением информационного поля мы можем не только шутить, но и вводить в заблуждение.

Статистика как ложь: «По статистике, большинство из тех кто пил воду, умерли». Это самый банальный пример. Есть поизящнее, с тем же самым неправильным пониманием корреляции: «Все, кто добился успеха в жизни, видели закат или принимали ванну, а может быть, — и то, и другое. Вывод очевиден. Хочешь стать успешным — принимай ванну на закате».

Следующий вид лжи в статистике может навредить не только тому, кто её читает, но и тому, кто собирает данные. Это ложность выборки. Вы открываете своё дело и проводите опрос около бизнес-центра, допустим, о кондитерских изделиях. Вы получили выборку в 1 500 человек, поняли, что хочет видеть будущий покупатель, и открываете у себя в спальном районе кондитерскую с учётом пожеланий народа. Но клиенты не идут, и вы банкрот.

Эта ловушка может быть расставлена специально. Например, исследование эффективности зубной пасты на людях, только что вышедших от дантиста. Спортивные исследования на студентах и проекция результатов на старшее поколение. Исследование общественного мнения через интернет: «Как показывает интернет-опрос, у 100% населения есть доступ к интернету».

Существует также ложь вероятности. Не все достаточно верно оценивают связь между событиями и количеством повторений. Первый пример: если вероятность того, что дом на берегу моря затопит, например, 1/10 000, то при подсчёте вероятности затопления сразу двух домов мы получим 1/100 000 000. Это неверно, потому что, если дом затопило, это значит, что случилась природная катастрофа: сильный ливень, большие волны вызвали наводнение. Очевидно, что в таких условиях затопит много домов, и вероятность затопления второго дома намного выше.

Второй пример на количество повторений. Если мы имеем маленькую вероятность события, но его условия часто повторяются, то оно, скорее всего, произойдёт. Допустим, вероятность поскользнуться в ванне без коврика — 1/5 000. Как часто мы принимаем душ? Один-два раза в день. Значит, можно предположить, что если мы не постелим на дно ванны коврик, то примерно раз в 10 лет мы всё-таки поскользнёмся, и тут уже исход зависит от ловкости и удачи.

Изучайте математику, понимайте жизнь.

Ответ на задачу: построить школу нужно в городе В, как это ни печально для ребят из города А.

Математические формулы. Шпаргалка для ЕГЭ с математики -best

#математика

Формулы сокращенного умножения

(а+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(а-b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

Читать еще:  Глаза, полные лжи. Как Аугусто Пиночет вошёл в историю (25 фото)

a 3 – b 3 = (a-b)( a 2 + ab + b 2 )

a 3 + b 3 = (a+b)( a 2 – ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b+ 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b+ 3ab 2 — b 3

Свойства степеней

a m/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a — r = 1/ a r (a>0, r ε Q)

a m · a n = a m + n

a m : a n = a m – n (a≠0)

Первообразная

Если F’(x) = f(x), то F(x) – первообразная

x n = x n +1 /n+1 + C

a x = a x / ln a + C

cos x = sin x + C

1/ sin 2 x = – ctg x + C

1/ cos 2 x = tg x + C

sin x = – cos x + C

Геометрическая прогрессия

q – знаменатель прогрессии

b n = b1 · q n – 1 – n-ый член прогрессии

Модуль

-a, если a 3 ; P = 6 a 2

S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A

A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr 2 h

8. Цилиндр круговой: SБОК = 2 πrh

9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr 2 h

10. Конус круговой: SБОК = 1/2 pL= πrL

Тригонометрические уравнения

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn

sin x = -1, x = – π/2 + 2 πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x = π + 2 πn

Теоремы сложения

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny

cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny

sin (x -y) = sinx ·cosy – cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 — + tg x ·tg y

ctg (x ±y) = tg x — + tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x — +y/2)

cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x — +y/2)

1 + cos 2x = 2 cos 2 x; cos 2 x = 1+cos2x/2

1 – cos 2x = 2 sin 2 x; sin 2 x = 1- cos2x/2

a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

а – сторона, d – диагональ S = a 2 = d 2 /2

a – сторона, d1, d2 – диагонали, α – угол между ними S = d1d2/2 = a 2 sinα

9. Правильный шестиугольник

a – сторона S = (3√3/2)a 2

S = (L/2) r = πr 2 = πd 2 /4

Правила дифференцирования

( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x)

(tg x)’ = 1/ cos 2 x

(ctg x)’ = – 1/ sin 2 x

(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

Уравнение касательной к графику функции

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b

Формула Ньютона-Лебница

t π/4 π/2 3π/4 π cos √2/2 0 -√2/2 1 sin √2/2 1 √2/2 0 t 5π/4 3π/2 7π/4 cos -√2/2 0 √2/2 1 sin -√2/2 -1 -√2/2 0 t π/6 π/4 π/3 tg 0 √3/3 1 √3 ctg — √3 1 √3/3

in x = b x = (-1) n arcsin b + πn

cos x = b x = ± arcos b + 2 πn

tg x = b x = arctg b + πn

ctg x = b x = arcctg b + πn

Теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов: с 2 =a 2 +b 2 -2ab cos y

Неопределенные интегралы

∫ x n dx = (x n +1 /n+1) + C

∫ sin x dx = – cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ dx/sin 2 x = -ctg + C

∫ dx/cos 2 x = tg + C

∫ x r dx = x r+1 /r+1 + C

Логарифмы

Градус 30 45 60 sin 0 1/2 √2/2 √3/2 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 tg 0 √3/3 1 √3 t π/6 π/3 2π/3 5π/6 cos √3/2 1/2 -1/2 -√3/2 sin 1/2 √3/2 √3/2 1/2 90 120 135 150 180 1 √3/2 √2/2 1/2 0 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 — -√3 -1 √3/3 0 t 7π/6 4π/3 5π/3 11π/6 cos -√3/2 -1/2 1/2 √3/2 sin -1/2 -√3/2 -√3/2 -1/2

Формулы двойного аргумента

cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x -1 = 1 – 2 sin 2 x = 1 – tg 2 x/1 + tg 2 x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg 2 x

tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg 2 x

ctg 2x = ctg 2 x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg 3 x / 1 – 3 tg 2 x

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) – cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

Формулы дифференцирования

x’ = 1 (sin x)’ = cos x

(kx + m)’ = k (cos x)’ = – sin x

(1/x)’ = – (1/x 2 ) ( ln x)’ = 1/x

(e x )’ = e x ; (x n )’ = nx n-1 ;(log a x)’=1/x ln a

Площади плоских фигур

1. Прямоугольный треугольник

S = 1/2 a·b (a, b – катеты)

2. Равнобедренный треугольник

S = (a/2)·√ b 2 – a 2 /4

3. Равносторонний треугольник

S = (a 2 /4)·√3 (a – сторона)

4. Произвольный треугольник

a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

S = 1/2 a·h = 1/2 a 2 b sin C =

a 2 sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α

cos (x + π/2) = -sin x

Формулы tg и ctg

tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x

ctg (x + πk) = ctg x

ctg (x ± π) = ± ctg x

tg (x + π/2) = – ctg x

ctg (x + π/2) = – tg x

sin 2 x + cos 2 x =1

1 + tg 2 x = 1/ cos 2 x

1 + ctg 2 x = 1/ sin 2 x

tg 2 (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

cos 2 (x/2) = 1 + cos x/ 2

sin 2 (x/2) = 1 – cos x/ 2

P = 4 πR 2 = πD 2

V = πh 2 (R-1/3h) = πh/6(h 2 + 3r 2 )

SБОК = 2 πRh = π(r 2 + h 2 ); P= π(2r 2 + h 2 )

V = 1/6 πh 3 + 1/2 π(r 2 + h 2 )· h;

14. Шаровой сектор:

V = 2/3 πR 2 h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

Формула корней квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)

Если D=0, то x = -b/2a (D = b 2 -4ac)

Если D>0, то x1,2 = -b± /2a

Арифметическая прогрессия

a n+1 = a n + d, где n – натуральное число

d – разность прогрессии;

a n = a 1 + (n – 1)·d – формула n-го члена

Радиус описанной окружности около многоугольника

R = a/ 2 sin 180/n

Радиус вписанной окружности

L = 2 πR S = πR 2

Площадь конуса

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилещащему. Котангенс – наоборот.

Источники:

http://hijos.ru/

7 причин полюбить математику

http://shpora.me/best/math

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector