Как решить графические. Графическое решение уравнений — Гипермаркет знаний

Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений

Подытожим наши знания о графиках функций. Мы с вами научились строить графики следующих функций:

у =b (прямую, параллельную оси х);

y = kx (прямую, проходящую через начало координат);

y — kx + m (прямую);

у = х 2 (параболу).

Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости заменить аналитическую модель геометрической (графической), например, вместо модели у = х 2 (которая представляет собой равенство с двумя переменными х и у) рассматривать параболу в координатной плоскости. В частности, это иногда полезно для решения уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах.

Решение. Рассмотрим две функции: у = х 2 , у = х + 2, построим их графики и найдем точки пересечения графиков. Эту задачу мы с вами уже решали (см. пример 2 из § 32 и, соответственно, рис. 59). Парабола у = х 2 и прямая у °° х + 2 пересекаются в точках А (- 1; 1) и В (2; 4).

Как же найти корни уравнения х 2 = х + 2, т. е. те значения x, при которых выражения х 2 и х + 2 принимают одинаковые числовые значения? Очень просто, эти значения уже найдены: х1 = 1, х2 = 2. Это абсциссы точек А и В, в которых пересекаются построенные графики.

Фактически мы использовали следующий алгоритм:

1. Ввели в рассмотрение функции у = х 2 , ух + 2 (для другого уравнения будут, разумеется, иные функции).

2. Построили в одной системе координат графики функций у = х 2 , у = х + 2.

3. Нашли точки пересечения графиков.

4. Нашли абсциссы точек пересечения — это и есть корни уравнения.

Пример 2. Решить уравнение х 2 — х + 4 = 0.

Решение. Здесь придется дополнить выработанный алгоритм еще одним шагом (подготовительным шагом): надо переписать уравнение в виде, для которого имеется алгоритм.

Этот вид таков: х 2 = х — 4. Теперь все в порядке, действуем в соответствии с алгоритмом.

1) Введем две функции: у = х 2 , у = х — 4.
2) Построим в одной системе координат графики функций y= x 2 , y= x — 4 (рис. 61).


3) Точек пересечения у построенных параболы и прямой нет.

Как вы думаете, что означает этот геометрический факт для данной алгебраической задачи (для данного уравнения)? Догадались? А теперь сопоставьте свою догадку с тем, что ниже записано в ответе.

Ответ: уравнение не имеет корней.

Замечание. В § 23 мы уже говорили о том, что существуют так называемые квадратные уравнения —
уравнения вида ах 2 + Ьх + с = 0, где а, и, с — числа, Они решаются по специальным формулам для отыскания корней, но этих формул мы пока не знаем.

Тем не менее некоторые квадратные уравнения мы уже решили. Так, в § 23 мы решили уравнение х 2 — 6х + 5 = 0 методом разложения на множители. А в настоящем параграфе мы решили еще два квадратных уравнения — графическим методом. Это уравнение х 2 — х — 2 = 0 (см. пример 1; правда, там уравнение было записано по-другому: х 2 = х + 2 — но вы же понимаете, что это то же самое) и уравнение х 2 — х + 4 = 0 (см. пример 2).

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

  • повторение изученных графиков функций;
  • повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
  • закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
  • формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
  • формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
  • формирование информационной культуры школьников.

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

Читать еще:  Оригинальные поделки к 8 марта своими

Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

  • в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2Y;
  • в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
  • выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

  • скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • выделить диапазон ячеек B2:V2;
  • на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
  • на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

  • на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

  • самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
  • на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

Примерный результат работы приведен на рис. 10:

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.

II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

  • Перейти на Лист2.
  • Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у1=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).
  • 2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
  • Аналогично Примеру 1 вставить и отформатировать диаграмму типа График, выбрав дополнительно в настройках горизонтальной оси: вертикальная ось пересекает в категории с номером 5.
  • Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

    3 этап: Определение корней уравнения.

    Графики функций у1= и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

    III. Метод Подбор параметра.

    Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

    Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

    Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

    1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

    Построить график функции у=х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

    • выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
    • с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

    Все изменения сразу отобразятся на графике.

    Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

    2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

    График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

    По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.

    3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

    1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

    По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

    • Выделить ячейку Е2;
    • перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

    В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

    В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

    Щелкнуть по кнопке ОК.

    • В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
    • В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

    Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

    Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.

    2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. 2≈4,3029).

    IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

    При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

    3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

    Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

    • ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

    • найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
    • найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

    4. Итог урока.

    Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

    Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

    Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

    5. Домашнее задание.

    Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2= с точностью до 0,01.

    Реферат » Решение уравнений и неравенств графическим способом» ( 9 класс)

    Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

    Как отличить простую усталость от профессионального выгорания?

    Можно ли избежать переутомления?

    МБОУ Алтайская СОШ №1

    Тема : « Графическое решение уравнений и неравенств»

    Учащаяся 9 а класса

    МБОУ Алтайская СОШ №1

    Бабаева Галина Яковлевна,

    МБОУ Алтайской СОШ №1

    С. Алтайское , Алтайский район, 2019 год.

    II . Основная часть

    2. Как графически решить уравнение________________________стр.4

    3. Какие бывают функции ?________________________________стр.4

    4. Графическое решение линейного уравнения с одной переменной.стр.5

    5. Решение квадратного уравнения графическим способом._____ стр6-8

    6. Графическое решение смешанных уравнений._______________стр.8-12. 7. Решение квадратных неравенств графическим способом_______стр.13

    8. Решение линейных неравенств графическим способом стр 14

    IV . Список литературы______________________________________стр.16

    Цель моей работы – изложить графический метод решения уравнений и неравенств, который дает возможность определить корни или доказать ,что уравнение корней не имеет ( или решением неравенства является пустое множество).

    Актуальность темы : графический метод, опирающийся на знания элементарных функций, удобно применять при решении задач на нахождение числа корней и на нахождение корней уравнений.

    Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. В данной исследовательской работе я показала как наиболее удобным способом преобразовывать уравнения . чтобы сводить к построению элементарных функций.

    Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств

    Уравнение – выражение, содержащее переменную.

    Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

    Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

    График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.

    Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

    При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости.

    Заметим , что так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x) , то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

    Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

    В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде f(x)=g(x),где f(x) и g(x) — некоторые функции. Функция f(x) является левой частью , а g(x) — правой частью уравнения.

    Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

    Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция строго возрастает, а функция строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем.

    2. Как графически решить уравнение.

    Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Графическим решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков построенных функций. Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

    3. Какие бывают функции .

    Линейная функция задаётся уравнением у = k*x+ b , где k и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая. Для построения прямой достаточно в таблице значений взять только две точки. Это вытекает из аксиомы планиметрии

    Функция обратной пропорциональности у =k/x , где. График этой функции называется гиперболой.

    Функция (х– a)^2+ (у – b)^2 = r^2 , где а , b и r – некоторые числа. Это окружность радиуса r с центром в т. А ( а , b ).

    Квадратичная функция y = a *х 2 + b*x+ c , где а, b, с – некоторые числа и

    а не равно 0. Графиком этой функции является парабола.

    Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.

    Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

    В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

    опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y , отобразить симметрично оси ОХ.

    Элементарная функций, содержащая модуль :

    4. Графическое решение линейного уравнения с одной переменной.

    Как мы уже знаем, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и уравнение решено. Мы нашли корень .А я покажу , как это сделать графическим способом.

    Задание . Решить графическим способом уравнение : 2 x 10 = 2

    1)Перенесем слагаемые следующим образом: 2 x = 12.

    2) Построим графики функций: y=2x и y=12.

    Но можно решать и по-другому.

    Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

    Построим графики функций: y=2 x − 10 y =2

    5. Решение квадратного уравнения графическим способом.

    Для этого преобразуем уравнение к виду: х 2 =-2x+8 . Построим графики функций: у = -2x+8 и у = х 2

    Получим точки пересечения графиков данных функций.

    В ответ запишем абсциссы этих точек : x = -4 и x =2.

    Данное уравнение можно решить , переписав уравнение следующим образом: x^2 – 8 = -2x

    Тогда будем строить графики функций: y = x^2 – 8 и y = -2x.

    А также уравнение можно решить , переписав следующим образом:

    Тогда будем строить графики следующих функций : y = x^2 + 2x и y = 8 .

    При этом абсциссы точек пересечения графиков будут одинаковые :

    Задание. Решить уравнение: x² – 2x = 0

    Перепишем уравнение в виде : x² = 2x

    Построим графики функций y = x² и y = 2 и найдем точки их пересечения :

    Задание. Решить уравнение: х 2 +2=0

    Преобразуем так: х 2 = -2

    Построим графики функций: у=-2 и у= х 2

    Графики функций не пересекаются ,поэтому уравнение решений не имеет.

    Ответ : решений нет.

    6. Графическое решение смешанных уравнений.

    Задание. Решить уравнение: 3/х +2 =х

    1)Перенесем слагаемые таким образом: 3/ х = х-2

    2) Построим графики функций от каждой части уравнения.

    Найдем координаты точек пересечения графиков данных функций.

    Из построения видно, что графики функций пересекаются в точках с координатами : (3;1) и(-1;-3).

    Задание. Решить уравнение: 2 х^3 – x — 1=0

    Перепишем его так : 2 х 3 = x + 1

    Построим графики функций от левой и правой части уравнения:

    у= 2 х 3 (графиком этой функции является кубическая парабола) и график от правой части уравнения :у=х+1

    Из построения видно, что абсцисса точки пересечения является х=1. значит, в ответ нужно записать: х=1

    Решим графическим способом такое уравнение : х 3 =8.

    Строим графики функций: у = х 3 и у=8., затем найдем абсциссу точки пересечения графиков этих функций.

    Задание. Решить уравнение: √x – 0.5x = 0

    Перепишем так: √x = 0.5x

    Построим графики функций: у= 0.5x и у = √x

    Как видно из построения, графики функций пересекаются в двух точках:

    Нас интересует только координата x.

    Значит уравнение √x – 0.5x = 0 имеет два корня: x 1 = 0 и x 2 = 4.

    7. Решение квадратных неравенств графическим способом.

    Способ , который нам хорошо известен при изучении данной темы по учебнику.

    Я же предлагаю переписать неравенство следующим образом : х^2-4>3х.

    Построим графики функций от левой и правой частей неравенства.

    Выделим ту часть, где график от левой части выше графика от правой части.

    На мой взгляд такое решение более красивое , интересное и более понятное.

    8. Решение линейных неравенств и систем неравенств графическим способом.

    ,

    Называют ся линейными неравенствами .

    График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения).

    Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости.

    С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства

    Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов.

    Суть графического способа решения неравенств следующая:

    рассматривают функции y = f(x) и y = g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого.

    Те промежутки, на которых график функции у = f (х) выше графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;

    график функции y = f(х) не ниже графика функции y = g(x) являются решениями неравенства f(x) ≥ g(x) ;

    график функции у = f (х) ниже графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x) ;

    график функции y = f(х) не выше графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x) ≤ g(x) .

    Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x) , являются решениями уравнения f(x) = g(x) .

    Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и квадратных неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали некоторые свойства функций.

    Иногда при графическом решении некоторых уравнений и неравенств корни определяются только приближённо в силу того, что невозможно с высокой точностью построить график функции, измерить абсциссы или ординаты точек пересечения графика с осями координат или с другими графиками. Тем не менее, той точности, которую обеспечивает графический метод, бывает вполне достаточно для практических нужд.

    Построение графиков основывается на знании основных элементарных функций, и на основные методы построения графиков функций. В работе представлено достаточное количество примеров, раскрывающих графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, который доступен для понимания .

    Работа может быть использована для углубления и расширения знаний в области построения графиков функций и использовании графического метода при решении некоторых видов уравнений и неравенств. Теорию можно использовать так же при подготовки к экзаменам , к олимпиадам.

    Я свою работу представляла учащимся 8-х и 9-х классов нашей школы. И продолжаю дополнять свои исследования , а именно находить красивые решения линейных неравенств и систем неравенств.

    Это и закрепление изученных свойств функций, и прекрасная демонстрация их применения на практике.

    В старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями , с другими уравнениями и неравенствами и м не интересно будет продолжить свой проект.

    Источники:

    http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9

    http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/564361/

    http://infourok.ru/referat-reshenie-uravneniy-i-neravenstv-graficheskim-sposobom-klass-3684418.html

    Ссылка на основную публикацию
    Статьи на тему:

    Adblock
    detector