Плотность векторная или скалярная величина. Векторные величины и скаляры

Скалярные и векторные величины

Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.

Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.

Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.

Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:

1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);

Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.

Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:

— вектор скорости обозначается символом ,

— вектор ускорения обозначается символом ,

— вектор силы обозначается символом .

Модуль вектора обозначается так:

или — модуль вектора ,

или — модуль вектора ,

или — модуль вектора ,

На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.

Действия с векторами

Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.

Сравнение векторов

Равные векторы.Два вектора равны, если они имеют:

Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:

Сложение векторов

Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Пусть заданы два вектора и (см. рис.). Найдем сумму этих векторов + = . Величины и — это составляющие векторы, вектор — это результирующий вектор.

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

1. Нарисуем вектор .

2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора ; угол между векторами равен (см. рисунок).

3. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и .

5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора .

6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:

;

начало вектора совпадает с началом вектора и началом вектора (направление вектора показано на рисунке).

Правило треугольника для сложения двух векторов:

1. Нарисуем составляющие векторы и так, что начало вектора совпадает с концом вектора . При этом угол между векторами равен .

2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора .

3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:

Вычитание векторов

Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:

Найти разность вектора и вектора — это тоже самое, что найти сумму вектора и вектора , противоположного вектору . Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).

109.201.137.33 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Векторная величина в физике: определение, обозначение, примеры

В математике вектор — это направленный отрезок определенной длины. В физике под векторной величиной понимают полную характеристику некоторой физической величины, которая обладает модулем и направлением действия. Рассмотрим основные свойства векторов, а также примеры физических величин, которые являются векторными.

Скаляры и вектора

Скалярные величины в физике являются параметрами, которые могут быть измерены и представлены одним числом. Например, температура, масса и объем являются скалярами, поскольку они измеряются числом градусов, килограмм и кубических метров соответственно.

В большинстве же случаев оказывается, что число, определяющее скалярную величину, не несет исчерпывающей информации. Например, рассматривая такую физическую характеристику, как ускорение, будет недостаточно сказать, что оно равно 5 м/с 2 , поскольку нужно знать, куда оно направлено, против скорости движения тела, под некоторым углом к этой скорости или иначе. Помимо ускорения, примером векторной величины в физике является скорость. Также в эту категорию входят сила, напряженность электрического поля и многое другие.

Читать еще:  Что означает имя надежда значение имени. Значение имени Надежда (Надя)

Согласно определению векторной величины как направленного в пространстве отрезка, она может быть представлена в виде набора чисел (компонент вектора), если ее рассматривать в определенной системе координат. Чаще всего в физике и математике возникают задачи, которые для описания вектора требуют знания его двух (задачи на плоскости) или трех (задачи в пространстве) компонентов.

Определение вектора в n-мерном пространстве

В n-мерном пространстве, где n — целое число, вектор будет однозначно определен, если известны его n компонент. Каждая компонента представляет собой координату конца вектора вдоль соответствующей оси координат при условии, что начало вектора находится в начале системы координат n-мерного пространства. В итоге вектор может быть представлен так: v = 1, a2, a3, . an>, где a1 — скалярное значение 1-й компоненты вектора v. Соответственно, в 3-х мерном пространстве вектор запишется как v = 1, a2, a3>, а в 2-х мерном — v = 1, a2>.

Как обозначается векторная величина? Любой вектор в 1-мерном, 2-мерном и 3-мерном пространствах можно представить как направленный отрезок, лежащий между точками A и B. В этом случае он обозначается как AB → , где стрелка показывает, что речь идет о векторной величине. Последовательность букв принято указывать от начала вектора к его концу. Это означает, что если координаты точек A и B, например, в 3-мерном пространстве, равны 1, y1, z1> и 2, y2, z2> соответственно, тогда компоненты вектора AB → будут равны 2-x1, y2-y1, z2-z1>.

Графическое представление вектора

На рисунках принято изображать векторную величину в виде отрезка, на его конце имеется стрелочка, указывающая направление действия физической величины, представлением которой она является. Этот отрезок обычно подписывают, например, v → или F → , чтобы было понятно, о какой характеристике идет речь.

Графическое представление вектора помогает понять, куда приложена и в каком направлении действует физическая величина. Кроме того, многие математические операции над векторами удобно совершать, используя их изображения.

Математические операции над векторами

Векторные величины, так же как и обычные числа, можно складывать, вычитать и умножать как друг с другом, так и с другими числами.

Под суммой двух векторов понимают третий вектор, который получается, если суммируемые параметры расположить так, чтобы конец первого совпадал с началом второго вектора, а затем, соединить начало первого и конец второго. Для выполнения этого математического действия разработаны три основных метода:

  1. Метод параллелограмма, заключающийся в построении геометрической фигуры на двух векторах, которые выходят из одной и той же точки пространства. Диагональ этого параллелограмма, которая выходит из общей точки начала векторов, будет являться их суммой.
  2. Метод многоугольника, суть которого состоит в том, что начало каждого последующего вектора следует располагать в конце предыдущего, тогда суммарный вектор будет соединять начало первого и конец последнего.
  3. Аналитический метод, который состоит в попарном сложении соответствующих компонент известных векторов.

Что касается разницы векторных величин, то ее можно заменить сложением первого параметра с тем, который противоположен по направлению второму.

Умножение вектора на некоторое число A выполняется по простому правилу: на это число следует умножить каждую компоненту вектора. В результате получается также вектор, модуль которого в A раз больше исходного, а направление либо совпадает, либо противоположно исходному, все зависит от знака числа A.

Делить вектор или число на него нельзя, а вот деление вектора на число A аналогично умножению на число 1/A.

Скалярное и векторное произведения

Умножение векторов можно выполнять двумя различными способами: скалярно и векторно.

Скалярным произведением векторных величин называется такой способ их умножения, результатом которого является одно число, то есть скаляр. В матричном виде скалярное произведение записывается как строки компонента 1-го вектора на столбец компонент 2-го. В итоге в n-мерном пространстве получается формула: (A → *B → ) = a1*b1+a2*b2+. +an*bn.

В 3-мерном пространстве можно определить скалярное произведение иначе. Для этого нужно умножить модули соответствующих векторов на косинус угла между ними, то есть (A → *B → ) = |A → |*|B → |*cos(θAB). Из этой формулы следует, что если вектора направлены в одном направлении, то скалярное произведение равно умножению их модулей, а если вектора перпендикулярны друг другу, тогда оно оказывается равным нулю. Отметим, что модуль вектора в прямоугольной системе координат определяется как квадратный корень от суммы квадратов компонент этого вектора.

Читать еще:  Видеть себя во сне в военной форме. Сонник - Формы, фигуры

Под векторным произведением понимают такое умножение вектора на вектор, результатом которого также является вектор. Его направление оказывается перпендикулярно каждому из умножаемых параметров, а длина равна произведению модулей векторов на синус угла между ними, то есть A → x B → = |A → |*|B → |*sin(θAB), где значок «x» обозначает векторное произведение. В матричном виде этот вид произведения представляется как определитель, строками которого являются элементарные вектора данной системы координат и компоненты каждого вектора.

Как скалярное, так и векторное произведения используют в математике и физике для определения многих величин, например, площади и объема фигур.

Далее в статье приводятся примеры векторных величин в физике.

Скорость и ускорение

Под скоростью в физике понимают быстроту изменения местоположения данной материальной точки. Измеряется скорость в системе СИ в метрах в секунду (м/с), а обозначается символом v → . Под ускорением понимают быстроту изменения скорости. Ускорение измеряется в метрах в квадратную секунду (м/с 2 ), а обозначается обычно символом a → . Значение 1 м/с 2 говорит о том, что за каждую секунду тело увеличивает свою скорость на 1 м/с.

Скорость и ускорение — это векторные величины, которые участвуют в формулах второго закона Ньютона и перемещения тела как материальной точки. Скорость всегда направлена вдоль направления движения, ускорение же может быть направлено произвольным образом относительно движущегося тела.

Физическая величина сила

Сила — векторная физическая величина, которая отражает интенсивность взаимодействия между телами. Обозначается она символом F → , измеряется в ньютонах (Н). По определению, 1 Н — это сила, способная за каждую секунду времени изменять скорость тела, имеющего массу 1 кг, на 1 м/с.

Эта физическая величина широко применяется в физике, поскольку с ней связаны энергетические характеристики процессов взаимодействия. Природа силы может быть самой разной, например, гравитационные силы планет, сила, которая заставляет двигаться автомобиль, упругие силы твердых сред, электрические силы, описывающие поведение электрических зарядов, магнитные, ядерные силы, которые обуславливают стабильность атомных ядер, и так далее.

Векторная величина давление

С понятием силы тесно связана другая величина — давление. Под ним в физике понимают нормальную проекцию силы на площадку, на которую она действует. Поскольку сила является вектором, то, согласно правилу умножения числа на вектор, давление также будет векторной величиной: P → = F → /S, где S — площадь. Давление измеряется в паскалях (Па), 1 Па — это параметр, при котором перпендикулярная сила в 1 Н действует на поверхность площадью 1 м 2 . Исходя из определения, вектор давления направлен в том же направлении, что и вектор силы.

В физике понятие давления часто используется при изучении явлений в жидкостях и газах (например, закон Паскаля или уравнение состояния идеального газа). Давление тесно связано с температурой тела, поскольку кинетическая энергия атомов и молекул, представлением которой является температура, объясняет природу существования самого давления.

Напряженность электрического поля

Вокруг любого заряженного тела существует электрическое поле, силовой характеристикой которого является его напряженность. Определяется эта напряженность как сила, действующая в данной точке электрического поля на единичный заряд, помещенный в эту точку. Обозначается напряженность электрического поля буквой E → и измеряется в ньютонах на кулон (Н/Кл). Вектор напряженности направлен вдоль силовой линии электрического поля в ее направлении, если заряд положительный, и против нее, если заряд отрицательный.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, можно определить в любой точке, используя закон Кулона.

Магнитная индукция

Магнитное поле, как показали в XIX веке ученые Максвелл и Фарадей, тесно связано с электрическим полем. Так, изменяющееся электрическое поле порождает магнитное, и наоборот. Поэтому оба вида полей описываются в рамках электромагнитных физических явлений.

Магнитная индукция описывает силовые свойства магнитного поля. Магнитная индукция — величина скалярная или векторная? Понять это можно, зная, что она определяется через силу F → , действующую на заряд q, который пролетает со скоростью v → в магнитном поле, согласно следующей формуле: F → = q*|v → x B → |, где B → — магнитная индукция. Таким образом, отвечая на вопрос, величина скалярная или векторная — магнитная индукция, можно сказать, что это вектор, который направлен от северного магнитного полюса к южному. Измеряется B → в теслах (Тл).

Читать еще:  Личная карточка формы т 2 заполняется. Личная карточка

Физическая величина кандела

Еще одним примером векторной величины является кандела, которая вводится в физику через световой поток, измеряемый в люменах, проходящий через поверхность, ограниченную углом в 1 стерадиан. Кандела отражает яркость света, поскольку показывает плотность светового потока.

Плотность векторная или скалярная величина. Векторные величины и скаляры

В физике существуют скалярные величины (скаляры) и векторные величины (векторы). Хотя, правильнее в последнем случае все-таки говорить векторная величина, часто говорят, например, «вектор скорости».

Упрощенно можно сказать, что скаляр — это просто число.

Векторная величина — это когда есть число, которое имеет еще и направление в пространстве. Вектор в трехмерном пространстве можно представить в виде тройки чисел, каждое из которых есть компонента вектора относительно соответствующей координаты в трехмерной системе координат.

Чтобы совсем запутаться, рекомендую обратиться к Википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Векторная_величина.

Для тех, кто любит попроще — первый том Фейнмановских лекций по физике.

Для нас важно понять два момента:

1) Примерами скаляров являются: длина, площадь, время, масса, плотность, температура и т.п.

Для наших задач достаточно понимания скаляра, как величины (числа с размерностью) без направления.

2) Под вектором мы будем понимать направленный отрезок. То есть три числа (мы ведь живем в трехмерном пространстве), которые преобразуются по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой.

Попробуем обойтись без математических формул этих правил. Просто представим в нашем трехмерном пространстве направленный отрезок. Некую стрелку, которая, для простоты, неподвижна, неизменна, и имеет направление от одного конца к другому. Или даже представим, что у нас есть определенная операция перемещения в пространстве. У нее есть величина (расстояние перемещения по прямой из начальной точки в конечную) и направление.

И представим систему координат (например, прямоугольную), которая неподвижна относительно нас, и начало отсчета которой совпадает с началом нашего направленного отрезка.

Отлично! Тогда координаты «заостренного» конца нашего «направленного» отрезка с началом в точке (0,0,0) в этой системе координат будут выражаться тремя числами (Ах, Аy, Аz). Будет ли эта тройка чисел вектором?

Будет! Мы же сами задали эти три числа, как координаты вектора .

Теперь мы берем и поворачиваем произвольно нашу систему координат (но пока не сдвигаем начало координат). Тогда в новой системе координат координаты нашего вектора будут x’, Аy’, Аz’). Заметьте, сам наш вектор (направленный отрезок в трехмерном пространстве) не изменился. Как бы мы не вращали систему координат, тройка чисел будет меняться, но вектор (в смысле направленного отрезка) останется на своем месте. Он смотрит в одну и ту же «точку вселенной». О как! И длина его не меняется из-за вращения системы координат.

А теперь вывод. То, что важно для физики!

Если у нас есть три какие-то величины (возможно, мы даже не знаем, связаны ли они между собой), которые изменяются с изменением системы координат, по такому же закону, по которому изменяются компоненты вектора из предыдущего абзаца ((Ах, Аy, Аz) —> (Аx’, Аy’, Аz’)), то мы можем смело утверждать, что эти три величины представляют собой компоненты какого-то вектора.

Формулы можно посмотреть у Фейнмана или еще где-нибудь. Они пока для понимания не столь важны. А важно следующее!

Рассмотрим подробнее физические величины в нашем трехмерном пространстве. Зададим прямоугольную систему координат X , Y , Z . Помним, что у нас есть еще время t.

Теперь посмотрим, что есть что.

Путь вектор или скаляр? Скаляр. Почему?

Перемещение — вектор. У перемещения есть начало и конец, есть величина перемещения и направление перемещения. Таким образом, у него три компоненты — три величины, по одной на каждую из координат.

Далее сами перебираем физические величины и определяем, что есть скаляр, а что вектор!

Источники:

http://studopedia.ru/18_51473_skalyarnie-i-vektornie-velichini.html

http://www.syl.ru/article/409251/vektornaya-velichina-v-fizike-opredelenie-oboznachenie-primeryi

http://www.sites.google.com/site/fizikaetoprosto2016/12-skalary-i-vektory

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector